Dört kutuplu

Bir kuadrupol veya dört kutuplu genellikle daha karmaşık bir yapının çeşitli düzenlemelerini yansıtan çok kutuplu genişlemenin bir parçasıdır. Örnekle açıklamak gerekirse, kuadrupol elektrik yükü, elektrik akımı ya da ideal formunda bulunan çekim kütlesinin birer konfigürasyon dizisidir.

Kuadrupol moment tensörü ikinci dereceden bir tensördür(3x3 matrix)  Q ile ifade edilir ve ilkköşegen toplamıdır (yani ${\displaystyle Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0}$). Böylece kuadrupol moment tensörü 9 bileşenlidir ancak simetri ve köşegen toplamı sıfır olması özellliğinden dolayı bunlardan sadece 5 i bağımsızdır.

Nokta yüklerden oluşan ayrık bir sistem için (ya da kütleler kütleçekim kuadrupolü açısından ele aldığımızda), her bir yük ${\displaystyle q_{l}}$ ve (ya da kütle için ${\displaystyle m_{l}}$) ve pozisyonu koordinat düzleminde orijine göre ${\displaystyle {\vec {r_{l}}}=(r_{xl},r_{yl},r_{zl})}$ ise,  Q matrisinin bileşenleri aşağıdaki gibi tanımlanır:

${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{l}q_{l}(3r_{il}r_{jl}-\|{\vec {r_{l}}}\|^{2}\delta _{ij})}$.

${\displaystyle i,j}$ -endeksleri Kartezyen koordinatları ${\displaystyle x,y,z}$ de çalıştırılır ve  ${\displaystyle \delta _{ij}}$ Kronecker delta fonksiyonudur..

Yük yoğunluğuna sahip sürekli bir sistem için (ya da kütle yoğunluğu) ${\displaystyle \rho (x,y,z)}$, Q kuadrupol moment tensörünün bileşenleri Kartezyen uzayında r ın integrali ile ifade edilir:^[1]

${\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (3r_{i}r_{j}-\|{\vec {r}}\|^{2}\delta _{ij})\,d^{3}\mathbf {r} }$

Herhangi birçok kutuplu momentte olduğu gibi, eğer bir alt derecede moment sıfırdan farklıysa (monopol ya da dipol durumlarda) kuadrupol değeri seçilen koordinat orijinine göre değişir. Örneğin, bir zıt işaretli ve eşit güçte iki yükden oluşmuş bir dipolde yükler sıfırdan farklı bir kuadrupol momente sahiptir.Eğer orijin yüklerin konfigürasyon merkezine kaydırılırsa(burada konfigürasyon iki yük arasındadır) ya da merkez orijindeyse kuadrupol moment sıfıra indirgenir. Aksine, eğer dipol ve ya monopol moment kaybolursa, kuadrupole moment kaybolmaz, (örneğin aynı büyüklükte dört alternatif işaretli yükün kare şeklinde dizilimi) böylece kuadrupole moment koordinattan bağımsızdır.

Eğer her bir yük "${\displaystyle 1/r}$" alanın kaynağı ise, elektrik alan ya da kütleçekim alanı gibi, kuadrupole momentten alanın potansiyeline katkısı:

${\displaystyle V_{q}(\mathbf {R} )={\frac {k}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,n_{i}n_{j}\ ,}$

burada R yüklerin sisteminde orijin ile bir vektör n,  R yönünde birim vektör. Burada ${\displaystyle k}$ alanın çeşidine göre değişen sabiti ve kullanılan birimleri ifade eder. ${\displaystyle n_{i},n_{j}}$ öğeleri birim vektörün kuadrupol momente konumuna ilişkin bileşenleridir.

Elektrik kuadrupolün  en basit örneği karenin köşelerinde alternatif pozitive ve negative yüklerin bulunmasıyla oluşur. Bu düzenlemenin monopol momenti (sadece total yük) sıfırdır. Benzer şekilde, dipolü de seçilen koordinat orijinine bağlı olmaksızın sıfırdır. Ama bu düzenlemede kuadrupole moment koordinat orijinin nerede olduğu önemli olmaksızın sıfıra indirgenemez. Elektrik yük kuadrupolü için elektrik potansiyeli: ^[2]

${\displaystyle V_{q}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,n_{i}n_{j}\ ,}$  ile ifade edilir.

burada  ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ elektrik geçirgenliktiir ve ${\displaystyle Q_{ij}}$ tanımı yukarıda yer almaktadır.

Uç bir genelleme ("nokta octopol") olurdu: Sekiz alternatif nokta yükü de bir paralelkenarın köşelerinde iken. Örneğin bir kenar uzunluğu a olan bir küp. Bu düzenlemenin "Octopol moment" i, "octopole sınırı" içerisinde ${\displaystyle \lim _{a\to 0;\,a^{3}\cdot Q\to {\rm {const.}}}}$,  üçüncü dereceden bir diyagonal tensöre denk gelir. Çok kutuplular dipolar (kuadrupolar, octapolar) olarak nokta dipollerin düzenlenmesi ile elde ediliyor, nokta monopolleri olarak değil, örneğin 2^l-1.

Bilinen tüm manyetik kaynaklar dipole alanlar verir. Ancak, dört özdeş çubuk mıknatıs birinin kuzey kutbu bir diğerinin güney kutbuna dik olduğunda manyetik kuadrupol yapmak mümkün olur. Böyle bir yapılandırma dipole momenti iptal eder ve bir dört kutuplu moment verir ve kuadrupol alan büyük mesafeler için dipolünden daha hızlı artacaktır.

Kalıcı mıknatıslar içen bir manyetik kuadrupol örneği sağda gösterilmiştir. Elektromıknatısın benzer konsept tasarımı (kuadrupol mıknatıslar) genellikle parçaçık hızlandırıcılarda yüklü parçaçık demetlerine odaklanmak ya da ışın taşıma hatlarında güçlü bir odaklama yöntemi olarak kullanılır. Kuadropol - dipol keşisimi eşlenmemiş nükleonun ana atom tarafından dönüşünün çarpımı ile bulunabilir. Burada iki zıt kutup güney, iki zıt kutup kuzey olmak üzere dört çelik kutup ucu vardır. Bu uçların etrafına sarılmış boru bobinlerden akan büyük elektrik akımı çeliği mıknatıslandırır.

Değişen bir manyetik kuadrupol moment elektromanyetik radyasyon üretir.

kütle kuadrupol elektrik yük quadrupolüne benzemektedir. Basitçe yük yoğunluğu kütle yoğunluğu ile yer değiştirilir ve negatif işaret eklenir çünkü kütleler her zaman pozitiftir ve kuvvet her zaman çekicidir. Böylece kütleçekim kuadrupolü,

${\displaystyle V_{q}(\mathbf {R} )=-G{\frac {1}{2}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,n_{i}n_{j}\ .}$ ile ifade edilir.

Örneğin, Dünya kendi etrafında döndüğü için, kutupları yassılaşmıştır (kutuplarda basık).Bunun sonucunda sıfırdan farklı bir kuadrupol momentin varlığından bahsedilebilinir. Bu kuadrupol Dünya kütleçekim alanına etkisi, Dünyaya yakın yapay uydular için son derece büyük önem taşırken bu durum Ay için daha az önem taşır çünkü etkisi ${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}}$ ile düşmekte.

Ayrıca kuadrupol özel görelilik açısından da önemlidir çünkü, zaman içinde değişirken kütleçekim radyasyonu oluşturur. Bu osilasyon elektriği, manyetik dipol ve daha çok kutuplular tarafından elektromanyetik radyasyon üretilmesiyle benzemektedir. Ama,  sadece kuadrupol ve daha çok kutuplular kütleçekim yayabilir. burada radyasyon yoktur. Benzer şekilde kütle dipol için sistemin kütlesi dipolün merkezindedir ve birinci türevi momentuma tekabül eder. Momentum korunumundan dolayı burada da kütle dipol radyasyon yaymayacaktır. Kütle dört kutuplu zamanla değişebilir ama kütleçekimi radyasyona en düşük seviyede katılır.^[3]

Eşit kütleli ve birbirinin yörüngesinde olan nokta kütle çiftleri radyasyon yayan sistem (yaklaşık olarak özel durumda ikili kara delik) için en basit ve en önemli örnektir. Dipol moment sabit olduğu için kolaylık sağlamak amacıyla koordinat oriijini iki nokta arasına doğru yerleştirebiliriz. Noktalar merkezdenters yönde fakat birim uzaklıkta olması için koordinatı ölçeklendirirsek, dipole moment sıfır olacaktır. Sistemin kuadrupol momenti basitçe,

${\displaystyle Q_{ij}=M(3x_{i}x_{j}-\delta _{ij})}$ olacaktır.

burada M her bir noktanın kütlesidir  ve ${\displaystyle x_{i}}$ pozisyon vektörünün (birim vektör) bileşenlerinden birisidir. Onları yörüngede bu x-vektörü döndürecektir. Bu yüzden zamana göre ilk türevi ve zamana göre ikinci türevi var bir sıfır olmayacaktır (seçilen koordinata bağlı olmaksızın). Bu nedenle sistem kütleçekim dalgaları yayacaktır. Bu yolla enerji kaybedilmesi ilk olarak benzer kütlede nötron yıldızı ile aynı yöründe bir pulsar olan Hulse-Taylor ikilisinin periyot değişiminde anlaşılmıştır.

Sadece elektrik yükü ve çok kutuplu akımların elektromanyetik alana katkıda bulunması gibi, kütle ve kütle-akım kutuplar özel görelilikte kütleçekim alanına katkıda bulunurlar. Bu sözde ''gravitomanyetik'' etkilere neden olur. Çok kutuplularda (multipole) değişen kütle-akım kütleçekim radyasyonu verebilir. Ancak, çok kutuplu akımların katkısı genellikle kütle kuadrupolden az olacaktır.

• Çoklu kutup açılımı8 Eylül 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.