Dönel simetri

Dönel simetrisi olan bir cisim, belli bir dönmeden sonra aynı görünür. Bir cismin birden çok dönel simetriği olabilir; örneğin, yansıma ve ters çevrilmeyi saymazsak, Man Adası bayrağında görünen triskelion şeklinin üç adet dönel simetriği vardır, bir diğer deyişle üçlü simetriye sahiptir. Dönel simetri derecesi, bir şeklin başka bir kenarından veya köşesinden aynı görünmesi için kaç derece döndürülmesi gerektiği anlamına karşılık gelir.

Matematiksel olarak nitelikli bir tanımlama ile, dönel simetri, m-boyutlu Öklid uzayda bazı veya tüm dönmeler için olan simetridir. Dönme, doğrudan izometridir. Dolayısıyla, dönel simetri için bir simetri grubu, E⁺(m) 'nin bir altgrubudur (bakınız Öklid grubu)

Tüm noktalarda tüm dönmeler için simetri olması demek, tüm ötelemeler için öteleme simetrisi olmasıdır; bu durumda uzay homojendir ve simetri grubu E(m)'nin tamamıdır. Vektör alanları simetrisi için adapte edilmiş simetri kavramı ile, simetri grubu E⁺(m) olarak da ifade edilebilir.

Bir nokta etrafındaki dönmeler için olan simetri için o nokta orijin olarak kabul edilebilir. Bu dönmeler özel ortogonal grup SO(m)'yi oluştururlar,. Bu grup, determinantı 1 olan m×m ortogonal matrisler grubudur. m=3 için bu dönme grubudur.

Bu terimin bir diğer anlamı ile, bir cismin dönme grubu, E⁺(n) (direkt izometriler grubu) içindeki simetri grubudur. bir diğer deyişle, tam simetri grubu ile direkt izometriler grubunun arakesiti. Kiral cisimler için bu tam simetri grubu ile aynı şeydir.

Fizik kanunları eğer uzayın farklı doğrultuları için fark gözetmezlerse, "SO(3)-değişmez"dir. Noether's teoremi nedeniyle, fiziksel bir sistemin dönel simetrisi, açısal momentumun korunumu yasasına denktir. Ayrıca bakınız dönel değişmezlik.

2 boyutlu uzayda belli bir nokta için, veya 3 boyutlu uzayda belli bir eksen için n'-li dönel simetri (diğer deyişle n-katlı dönel simetri veya n. mertebeden ayrık dönel simetri) demek, 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3/7 °, vs.) kadar bir dönme o cismi değiştirmiyor demektir. "1-li simetri" (veya onun eşanlamlısı "1-katlı simetri") dönel simetri yok demektir; "2-katlı simetri" ise en basit simetridir, "temel simetrinin iki katı" anlamına gelmez.

n'li simetriyi kastetmek için kullanılan notasyon C_n veya kısaca "n" dir. Asıl simetri grubu, simetri noktası veya ekseni ve n'nin belirtilmesi ile ifade edilir. Her bir nokta veya simetri ekseni için soyut grup tipi, n. mertebeden devirli grup Z_n'dir. Aynı şey için C_n notasyonu da kullanılsa da, geometrik ve soyut C_n terimlerinin ayrıdedilmesi gereklidir: aynı soyut grup tipinde geometrik olarak farklı olan başka simetri grupları olabilir, bakınız 3B'de devirli gruplar.

Temel bölgeler (İng fundamental domain) 360°/n'lik bir daire kesmesidir.

Ayrıca yansıma simetrisi olmayan örnekler:

• n = 2, 180°: diad, bu simetriye sahip dörtgenler parallelkenarlardır; diğer örnekler: harflerden Z, N, S; renkler dikkate alınmazsa: yin ve yang sembolü.
• n = 3, 120°: triad, triskelion, Borromean halkaları;
• n = 4, 90°: tetrad, swastika
• n = 6, 60°: heksad, raelian sembolü, yeni versiyonu
• n = 8, 45°: oktad, Oktagonal mukarnas, computer-generated (CG), ceiling

C_n, n-kenarlı bir çokgenin 2B'de dönel grubudur, n-yüzlü bir piramidin de 3B'de dönel grubudur.

Dönel simetrisi olan ama yansıma simetrisi olmayan tipik bir 3 boyutlu cisme örnek, bir pervanedir.

Aynı noktadan geçen birden çok simetri eksenli ayrık simetri için, aşağıdaki olasılıklar mevcuttur:

• n-li bir eksene ek olarak, n adet ikili eksen: 2n (n ≥2) dereceli D_n dihedral grupları. Bu, düzgün bir prizmanın veya bipiramidin dönme grubudur. Aynı notasyon kullanılsa da, geometrik ve soyut D_n ayırdedilmelidir: aynı soyut gruba ait olup geometrik olarak farklı olan diğer simetri grupları vardır, bakınız 3 boyutta dihedral simetri grupları.
• 4×3-lü ve 3×2-li eksenler: düzgün bir dörtyüzlünün 12. mertebeden dönme grubu. Bu grup A₄ almaşık grubu ile izomorfiktir.
• 3×4-lü, 4×3-lü, and 6×2-li eksenler: Bir küpün ve bir sekizyüzlünün 24. mertebeden dönme grubu O. Bu grup, S₄ simetri grubu ile izomorfiktir.
• 6×5-li, 10×3-lü, and 15×2-li eksenler: bir onikiyüzlünün ve bir 20 yüzlünün 60. mertebeden dönme grubu I. Bu grup, almaşık grup A₅ ile izomorfiktir. D₃'ün 10 versiyonu ve D₅'in 6 versiyonunu içerir (prizma ve antiprizma gibi dönel simetriler).

Platonik cisimler durumunda, 2-li dönel simetri eksenleri, karşı kenarların orta noktalarından geçer, bu eksenlerin sayıları kenarlar sayısının yarısıdır. Diğer eksenler karşı köşelerden ve karşı yüzlerin ortalarından geçer. Bunun tek istisnası dörtyüzlüdür, bunda 3-lü simetri eksenlerinin hepsi bir köşe ve karşı yüzün ortasından geçer.

Herhangi bir açı için dönel simetri, iki boyutta, dairesel simetridir. Temel bölge yarı-doğrudur

Üç boyutta, silindirik simetri ile küresel simetri ayrımı yapılabilir: bunların birincisi, bir eksen etrafında dönme sonucunda bir değişiklik olmamasıdır, ikincisi ise, herhangi bir dönme sonucu bir değiklik olmamasıdır. Yani silindirik koordinat sistemi kullanılması durumunda açıdan bağımsız olma durumu vardır; temel bölge, eksenden başlayan bir yarı düzlemdir. Küresel koordinat sistemi kullanılması durumunda her iki açıdan bağımsız olma durumu vardır; temel bölge, sırasıyla, eksenden başlayan bir yarı düzlem ve ışınsal bir yarı-doğrudur.

Eksenel simetrik, bir cismin silindirik simetriye veya eksenel simetriye sahip olması durumu için kullanılan bir sıfattır. Yaklaşık olarak küresel simetriye sahip bir cisme örnek, Dünya'dır (yoğunluk ve kimyasal özellikler bakımından).

Dördüncü boyutta, bir düzlem etrafında sürekli veya ayrık dönel simetri olmasının karşılığı, her dik düzlemde, kesişme noktası etrafında, 2B dönel simetri olmasıdır. Dört boyutlu bir cisim, birbirine dik iki düzlem etrafında dönel simetriye sahip olabilir, yani iki dönel simetrili 2B şeklin kartezyen çarpımı ise. Bunun örneği duosilindir ve çeşitli duoprizmalardır.

Öteleme simetrisi ile beraber 2-katlı dönel simetri, Frieze gruplarından biridir. İlkel hücre başına iki dönel merkez (İng. rotocenter) vardır.

Çifte öteleme simetrisi ile birlikte, dönel gruplar aşağıdaki duvar kağıdı gruplarından birine aittir. Bunlar, ilkel hücre başına simetri eksenleri ile listelenmiştir:

• p2 (2222): 4×2-katlı; paralelogram-sal, diktörtgensel ve eşkenar dörtgensel bir latisin (kafesin) dönel grubu.
• p3 (333): 3×3-katlı; herhangi bir latisin dönel grubu değildir (her latis başaşağı aynıdır ama bu simetri grubu için bu geçerli değildir). Bunun bir örneği, iki farklı renkte eşkenar üçgenler ile, düzgün üçgensel döşenmiş düzlemin dönel grubudur.
• p4 (442): 2×4-katlı, 2×2-katlı; kare latisin dönel grubu.
• p6 (632): 1×6-katlı, 2×3-katlı, 3×2-katlı; altıgensel latisin dönel grubu.
• 2-katlı dönel merkezler (olası 4-katlı ve 6-katlı dönel merkezler de dahil olmak üzere), eğer varsalar, öteleme latisinin 1/2 çarpanıyla ölçeklenmiş bir latisin ötelemesini meydana getirirler. Bir boyutlu öteleme simetrisi durumunda, benzer bir özellik vardır ama "latis" terimi kullanılmaz.
• 3-katlı dönel merkezler (olası 6-katlı dönel merkezler de dahil olmak üzere), eğer varsalar, düzgün bir altıgensel latis meydana getirirler. Bu latis, 30° (veya eşdeğer olarak 90°) döndürülmüş ve ${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$ çarpanıyla ölçeklenmiş bir öteleme latisine eşittir.
• 4-katlı dönel merkezler, eğer varsalar, bir düzgün karesel latis meydana getiriler. Bu latis, 45° döndürülmüş ve ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$ çarpanı ile ölçeklenmiş öteleme latisine eşittir.
• 6-katlı dönel merkezler eğer varsa, düzgün bir altıgensel latis meydana getirirler. Bu latis, öteleme latisinin bir ötelemesine eşittir.

Bir latisin ölçeklenmesi, birim alandaki noktaların sayısını ölçek çarpanı ile böler. Dolayısıyla, ilkel hücre başına 2-, 3-, 4- ve 6- katlı dönel merkezlerin sayısı, sırasıyla, 4, 3, 2 ve 1'dir (4-katlıyı 2-katlının bir özel hâli olarak dahil edersek)

Bir nokta etrafında 3-katlı dönel simetri ve bir diğer nokta etrafında 2-katlı dönel simetri olması (veya, 3 boyutta, paralel eksenler için aynı durumun olması), p6 dönel grubu anlamına gelir, yani belli bir noktada (veya 3B için, belli bir eksende) çifte öteleme simetrisi ve altı-katlı dönel simetri vardır. Bir çift dönel merkez tarafından meydana gelen simetrideki öteleme uzaklığı, iki nokta arasındaki uzaklığın 2√3 katıdır.

Wikimedia Commons'ta Dönel simetri ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

• Dönel simetri örnekleri19 Ocak 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Math Is Fun sitesinden)