D'Agostino'nun K-kare sınaması

İstatistik bilim dalında D'Agostino'nun K² sınaması normal dağılımdan ayrılmayı ölçmek için kullanılan bir uygulama iyiliği ölçüsüdür. Örneklem basıklık ve çarpıklık ölçülerinin dönüşümlerinden elde edilmiştir. K² istatistiği şöyle elde edilir:

n değerinin gözlem sayısı ve böylelikle genellikle serbestlik derecesi olduğu bilinmektedir. Örneklem çarpıklık ölçüsü, ${\displaystyle {\sqrt {b_{1}}}}$, şöyle tanımlanır:

${\displaystyle {\sqrt {b_{1}}}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\mu _{3}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}}$

Örneklem basıklık ölçüsü, ${\displaystyle {\sqrt {b_{2}}}}$ ise şöyle tanimlanır:

${\displaystyle b_{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\mu _{4}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}}}$

Burada ${\displaystyle {\bar {x}}}$ örneklem ortalaması, σ² ikinci merkezsel moment veya varyans ve sırasiyla μ₃ ve μ₄ üçüncü ve dördüncü merkezsel moment lerdir.

Önce, çarpıklık ölçüsü ${\displaystyle {\sqrt {b_{1}}}}$ 'nin bir dönüşümü olan

${\displaystyle Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)}$

hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

${\displaystyle Y={\sqrt {b_{1}}}\cdot {\sqrt {\frac {(n+1)(n+3)}{6(n-2)}}}}$

${\displaystyle \beta _{2}\left({\sqrt {b_{1}}}\right)={\frac {3(n^{2}+27n-70)(n+1)(n+3)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}}}$

${\displaystyle W^{2}=-1+{\sqrt {2(\beta _{2}\left({\sqrt {b_{1}}}\right)-1)}}}$

${\displaystyle \delta =1/{\sqrt {ln(W)}}}$

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {2}{W^{2}-1}}}}$

${\displaystyle Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)=\delta ln\left(Y/\alpha +{\sqrt {(Y/\alpha )^{2}+1}}\right)}$

Sonra, basıklık ölçüsü olan ${\displaystyle b_{2}}$ 'in bir dönüşümü olan ${\displaystyle Z\left(b_{2}\right)}$ hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade de yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

${\displaystyle E\left(b_{2}\right)={\frac {3(n-1)}{n+1}}}$

${\displaystyle \sigma _{b_{2}}^{2}={\frac {24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^{2}(n+3)(n+5)}}}$

${\displaystyle x={\frac {b_{2}-E\left(b_{2}\right)}{\sigma _{b_{2}}}}}$

Bundan sonra ise, basıklık ifadesinin çaprazlığı bulunur:

${\displaystyle {\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}={\frac {6(n^{2}-5n+2)}{(n+7)(n+9)}}{\sqrt {\frac {6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}}}$

${\displaystyle A=6+{\frac {8}{\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}\left[{\frac {2}{\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}+{\sqrt {1+{\frac {4}{\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}}\right]}$

${\displaystyle Z\left(b_{2}\right)=\left(\left(1-{\frac {2}{9A}}\right)-{\sqrt[{3}]{\frac {1-2/A}{1+x{\sqrt {2/(A-4)}}}}}\right){\sqrt {\frac {9A}{2}}}}$

Şimdi, bu ${\displaystyle Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)}$ ile ${\displaystyle Z\left(b_{2}\right)}$ ifadelerini birleştirip normallik sınaması için D'Agustino'nun sınama istatistiği şöyle tanımlanır:

${\displaystyle K^{2}=\left(Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)\right)^{2}+\left(Z\left(b_{2}\right)\right)^{2}}$

${\displaystyle K^{2}}$ istatistiği yaklaşık olarak serbestlik derecesi 2 olan bir ${\displaystyle \chi ^{2}}$ ile dağılım gösterir.

• Normallik sınamaları
• Kolmogorov-Smirnov sınaması
• Shapiro-Wilk sınaması
• Smirnov-Cramér-von-Mises sınaması
• Jarque-Bera sınaması

• D'Agostino, Ralph B., Albert Belanger, and Ralph B. D'Agostino, Jr. "A Suggestion for Using Powerful and Informative Tests of Normality", The American Statistician, Cilt. 44, No. 4. (Kasım., 1990), say. 316-321.