Cours d'Analyse

Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique Augustin-Louis Cauchy tarafından 1821'de yayınlanan sonsuz küçükler hesabında ufuk açıcı bir ders kitabıdır. Bu makale, kitabın içeriğini açıklarken Bradley ve Sandifer'in çevirisini takip etmektedir.

Giriş'in 1. sayfasında Cauchy şöyle yazıyor:

Çevirmenler bir dipnotta şu yorumu yapıyor:

Cauchy şöyle devam ediyor:

Sayfa 6'da, Cauchy önce değişken nicelikleri tartışır ve sonra limit kavramını aşağıdaki terimlerle ortaya koyar:

Sayfa 7'de, Cauchy bir sonsuz küçüğü aşağıdaki şekilde tanımlamaktadır:

Cauchy şunları ekliyor:

Sayfa 10'da, Bradley ve Sandifer, versed kosinüs ile coversed sinüsü karıştırıyorlar. Cauchy başlangıçta sinüs versus (versine)'yi siv(θ) = 1 − cos(θ) olarak ve kosinüs versus (şimdi coversine^[2] olarak da bilinen) cosiv(θ) = 1 − sin(θ) olarak tanımladı. Bununla birlikte, çeviride, kosinüs versus (ve cosiv), versed sinüsten ziyade yanlış olarak versed kosinüs (şimdi vercosine^[3] olarak da bilinir) ile ilişkilendirildi.

lim

gösterimi sayfa 12'de tanıtılıyor. Çevirmenler bir dipnotta şunu gözlemlerler: "Lim" notasyonu, limit için ilk olarak Simon Antoine Jean L'Huilier (1750-1840) tarafından [L'Huilier 1787, s. 31]'de kullanıldı. Cauchy bunu [Cauchy 1821, s. 13]'te “lim” olarak yazdı. Dönem [Cauchy 1897, s. 26] ile ortadan kaybolmuştu."

Bu bölümün uzun başlığı "Sonsuz küçük ve sonsuz büyük nicelikler ve fonksiyonların sürekliliği üzerine. Çeşitli özel durumlarda fonksiyonların tekil değerleri." Sayfa 21'de, Cauchy şöyle yazıyor:

Aynı sayfada, böyle bir değişkenin Cauchy'de bulunabilecek tek açık örneğini buluyoruz:

${\displaystyle {\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{7}},\ldots }$

Sayfa 22'de Cauchy, sonsuz küçüklerin büyüklük dereceleri tartışmasını şu şekilde başlatır: ${\displaystyle \alpha }$ sonsuz küçük bir miktar, yani sayısal değeri sonsuza kadar azalan bir değişken olsun. ${\displaystyle \alpha }$'nın çeşitli tam sayı kuvvetleri olduğunda, yani

${\displaystyle \alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots }$

Aynı hesaplamaya girildiğinde, bu çeşitli kuvvetler sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü derece vb.'den sonsuz küçük olarak adlandırılır. Cauchy, "n dereceli sonsuz küçük miktarların genel biçiminin şöyle olacağını belirtir (burada n bir tam sayıyı temsil eder):

${\displaystyle k\alpha ^{n}\quad {}}$ ya da en azından ${\displaystyle {}\quad k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon )}$ .

Sayfa 23-25'te Cauchy, çeşitli derecelerdeki sonsuz küçüklerin özellikleri üzerine sekiz teorem sunar.

Bu kısmın adı "Fonksiyonların Sürekliliği"dir. Cauchy aşağıdaki şekilde yazıyor:

“	"Eğer bu limitler arasında bulunan bir x değeri ile başlayarak, x değişkenine sonsuz küçük bir ${\displaystyle \alpha }$ artışı eklersek, fonksiyonun kendisi fark kadar artırılır. ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$ "	„

ve belirtir ki;

“	"Bu limitler arasındaki her x değeri için, ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$ farkının sayısal değeri ${\displaystyle \alpha }$ sayısal değeriyle süresiz olarak azalırsa, f(x) fonksiyonu belirlenen limitler arasında x’in sürekli bir fonksiyonudur."	„

Cauchy, aşağıdaki terimlerle italik bir süreklilik tanımı sağlamaya devam ediyor:

Sayfa 32'de Cauchy, ara değer teoremini belirtir.

Kısım 6.1'deki Teorem I'de (Bradley ve Sandifer tarafından yapılan çeviride sayfa 90), Cauchy toplam teoremini aşağıdaki terimlerle sunar.

Burada seri (1) Sayfa 86'da görünür: (1) ${\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},u_{n+1},\ldots }$^{[not 2][1]}

Notlar

1. ^ "Cours d'Analysis"te, Cauchy sayıları, "nicelikler" ve "işaretli olanlar" olarak adlandırarak ayırt eder. Dolayısıyla bu bağlamdaki "sayısal değer", modern dilde "gerçek bir sayının mutlak değeri"dir.
2. ^ Buradaki "dizi", modern kullanımda olduğu gibi "dizilerin toplamı" anlamına gelir, ancak "Cours d'Analysis"te Cauchy, yakınsak serilerin toplamını temsil etmek için dizinin her terimini + ile bağlamak için gösterimi kullandı. Günümüzde seriler, her terimi virgülle ayırarak basitçe ifade edilir.

Dipnotlar

• Cauchy, Augustin-Louis (1821). "Analyse Algébrique". Cours d'Analyse de l'Ecole royale polytechnique. 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi. Erişim tarihi: 7 Kasım 2015.  ("Free version". archive.org. )
• Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (14 Ocak 2010) [2009]. Buchwald, J.Z. (Ed.). Cauchy's Cours d'analyse: An Annotated Translation. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Cauchy, Augustin-Louis. Springer Science+Business Media, LLC. ss. 10, 285. doi:10.1007/978-1-4419-0549-9. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN 2009932254. 1441905499, 978-1-4419-0549-9. 24 Haziran 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 9 Kasım 2015. 
• Grabiner, Judith V. (1981). The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus. Cambridge: MIT Press. ISBN 0-387-90527-8.