Commandino teoremi

Adını İtalyan matematikçi Federico Commandino (1509-1575)'dan alan Commandino teoremi, bir dört yüzlünün dört kenarortayının, onları ${\displaystyle 3:1}$ oranında bölen bir ${\displaystyle S}$ noktasında kesiştiğini belirtir. Bir dört yüzlüde kenarortay, tepe noktasını karşı yüzün ağırlık merkeziyle, yani karşı üçgenin ağırlık merkeziyle birleştiren bir doğru parçasıdır. ${\displaystyle S}$ noktası aynı zamanda dört yüzlünün (tetrahedron) ağırlık merkezidir.^[1][2][3]

Teorem, De Centro Gravitatis Solidorum (Katıların Ağırlık Merkezi, The Center of Gravity of Solids, 1565) adlı çalışmasında dört yüzlünün dört kenarortayının aynı noktada kesiştiğini belirten Commandino'ya atfedilir. Ancak, 19. yüzyıl bilgini Guillaume Libri'ye göre, Francesco Maurolico (1494-1575) sonucu daha önce bulduğunu iddia etti. Yine de Libri, eserinde kullanmış gibi görünen Leonardo da Vinci'nin bu teoremi daha önce bildiğini düşünüyordu. Julian Coolidge bu değerlendirmeyi paylaştı, ancak da Vinci'nin çalışmalarında teoremin açık bir ifadesi veya matematiksel bir yaklaşımını bulamadığını belirtti.^[4] Diğer bilim adamları, sonucun antik çağda Yunan matematikçiler tarafından zaten bilinmiş olabileceğini tahmin ettiler.^[5]

Commandino teoremi, herhangi bir boyuttaki simpleksler için doğrudan bir analojiye sahiptir:^[6]

${\displaystyle \Delta }$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(d,n\in \mathbb {N} ,n\geq d)}$'de ${\displaystyle d>1}$ bazı boyutların bir ${\displaystyle d}$-simpleksi olsun ve ${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{p}}$ onun köşeleri olsun. Ayrıca, ${\displaystyle \ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{d}}$ ${\displaystyle \Delta }$'nin kenarortayları olsun, her tepe noktasını karşı tarafın ağırlık merkeziyle birleştiren ${\displaystyle V_{i}}$ doğruları, ${\displaystyle (d-1)}$ boyutlu faset ${\displaystyle V_{0}\ldots V_{i-1}V_{i+1}\ldots V_{d}}$ olsun. Sonra, bu doğrular bir ${\displaystyle S}$noktasında birbirleriyle ${\displaystyle d:1}$ oranında kesişir.

İlk analojinin aşağıdaki ile daha genel bir sonuçla kanıtlanması kolaydır ve bu, fizikteki kaldıraçların çalışma şekline benzer:^[7]

${\displaystyle m}$ ve ${\displaystyle k}$ doğal sayılar olsun, böylece bir ${\displaystyle \mathbb {R} }$-vektör uzayında ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, ${\displaystyle m+k}$ ikili farklı noktalar ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}}$ verilmiştir.

${\displaystyle S_{X}}$, ${\displaystyle X_{i}\;(i=1,\dots ,m)}$ noktalarının ağırlık merkezi olsun, ${\displaystyle S_{Y}}$ ${\displaystyle Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)}$ noktalarının ağırlık merkezi olsun ve ${\displaystyle S}$ de tüm bu ${\displaystyle m+k}$ noktanın ağırlık merkezi olsun.

Sonra,

${\displaystyle S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}}$'dir.

Özellikle ağırlık merkezi ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle {\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}}$ doğrusu üzerinde yer alır ve onu ${\displaystyle k:m}$ oranına böler.

Önceki teoremin, Commandino teoreminin yukarıda belirtilen genellemesinden başka ilginç sonuçları da vardır. İlk olarak Mathematische Unterhaltungen'de Alman fizikçi Friedrich Eduard Reusch tarafından açıklanan, bir dört yüzlünün ağırlık merkeziyle ilgili aşağıdaki teoremi kanıtlamak için kullanılabilir:^[8][9]

Bir dört yüzlünün ağırlık merkezini, iki karşıt kenarının iki çiftinin orta noktalarını alarak ve karşılık gelen orta noktaları kendi orta doğrularıyla birleştirerek bulabiliriz. Her iki orta doğrunun kesişme noktası, dört yüzlünün ağırlık merkezi olacaktır.

Bir dört yüzlü, üç karşıt ikilide altı kenara sahip olduğundan, aşağıdaki sonuç elde edilir:^[8]

Bir dört yüzlüde, karşı kenar orta noktalarına karşılık gelen üç orta doğru kesişir ve kesişme noktaları, dört yüzlünün merkezidir.

Bir dört yüzlünün dört köşesinin hepsinin eş düzlemli olduğu ve tek bir düzlemde uzandığı, böylece dejenere bir dörtgene dönüştüğü, Pierre Varignon'un adını taşıyan Varignon teoremi, Reusch teoreminin spesifik bir durumunu gösterir ve aşağıdakileri belirtir:^[10][11]

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$'de bir dörtgen verilmiş olsun. Daha sonra, karşı kenar orta noktalarını birbirine bağlayan iki orta doğru, dörtgenin ağırlık merkezinde kesişir ve onunla ikiye bölünür.

• Weisstein, Eric W. "Commandino's Theorem" 11 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ MathWorld.
• A Couple of Nice Extensions of the Median Properties 2 Nisan 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Commandino's Theorem 16 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @ GeoGebra

• Court, N. A. “On the Cevian Tetrahedron.” The American Mathematical Monthly, vol. 43, no. 2, 1936, pp. 89–91. JSTOR, www.jstor.org/stable/2301198.
• Mammana, M. F., Micale, B., & Pennisi, M. (2008). On the centroids of polygons and polyhedra. In Forum Geometricorum (Vol. 8, ss. 121-130)., Makale 11 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Daniela Ferrarello, Maria Flavia Mammana, Mario Pennisi, From 2d to 3d geometry: discovering, conjecturing, proving, Makale 11 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Mammana M.F. (2019) The Modernity of the Meraner Lehrplan for Teaching Geometry Today in Grades 10–11: Exploiting the Power of Dynamic Geometry Systems. In: Weigand HG., McCallum W., Menghini M., Neubrand M., Schubring G. (eds) The Legacy of Felix Klein. ICME-13 Monographs. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-99386-7_11