İçeriğe atla

Commandino teoremi

Bir dört yüzlünün (tetrahedron) kenarortayları bir (şeklin ağırlık merkezi-centroid) noktasında kesişirse,

Adını İtalyan matematikçi Federico Commandino (1509-1575)'dan alan Commandino teoremi, bir dört yüzlünün dört kenarortayının, onları oranında bölen bir noktasında kesiştiğini belirtir. Bir dört yüzlüde kenarortay, tepe noktasını karşı yüzün ağırlık merkeziyle, yani karşı üçgenin ağırlık merkeziyle birleştiren bir doğru parçasıdır. noktası aynı zamanda dört yüzlünün (tetrahedron) ağırlık merkezidir.[1][2][3]

Teorem, De Centro Gravitatis Solidorum (Katıların Ağırlık Merkezi, The Center of Gravity of Solids, 1565) adlı çalışmasında dört yüzlünün dört kenarortayının aynı noktada kesiştiğini belirten Commandino'ya atfedilir. Ancak, 19. yüzyıl bilgini Guillaume Libri'ye göre, Francesco Maurolico (1494-1575) sonucu daha önce bulduğunu iddia etti. Yine de Libri, eserinde kullanmış gibi görünen Leonardo da Vinci'nin bu teoremi daha önce bildiğini düşünüyordu. Julian Coolidge bu değerlendirmeyi paylaştı, ancak da Vinci'nin çalışmalarında teoremin açık bir ifadesi veya matematiksel bir yaklaşımını bulamadığını belirtti.[4] Diğer bilim adamları, sonucun antik çağda Yunan matematikçiler tarafından zaten bilinmiş olabileceğini tahmin ettiler.[5]

Genellemeler

Commandino teoremi, herhangi bir boyuttaki simpleksler için doğrudan bir analojiye sahiptir:[6]

, 'de bazı boyutların bir -simpleksi olsun ve onun köşeleri olsun. Ayrıca, 'nin kenarortayları olsun, her tepe noktasını karşı tarafın ağırlık merkeziyle birleştiren doğruları, boyutlu faset olsun. Sonra, bu doğrular bir noktasında birbirleriyle oranında kesişir.

Tam genellik

İlk analojinin aşağıdaki ile daha genel bir sonuçla kanıtlanması kolaydır ve bu, fizikteki kaldıraçların çalışma şekline benzer:[7]

ve doğal sayılar olsun, böylece bir -vektör uzayında , ikili farklı noktalar verilmiştir.
, noktalarının ağırlık merkezi olsun, noktalarının ağırlık merkezi olsun ve de tüm bu noktanın ağırlık merkezi olsun.
Sonra,
'dir.
Özellikle ağırlık merkezi , doğrusu üzerinde yer alır ve onu oranına böler.

Reusch teoremi

Önceki teoremin, Commandino teoreminin yukarıda belirtilen genellemesinden başka ilginç sonuçları da vardır. İlk olarak Mathematische Unterhaltungen'de Alman fizikçi Friedrich Eduard Reusch tarafından açıklanan, bir dört yüzlünün ağırlık merkeziyle ilgili aşağıdaki teoremi kanıtlamak için kullanılabilir:[8][9]

Bir dört yüzlünün ağırlık merkezini, iki karşıt kenarının iki çiftinin orta noktalarını alarak ve karşılık gelen orta noktaları kendi orta doğrularıyla birleştirerek bulabiliriz. Her iki orta doğrunun kesişme noktası, dört yüzlünün ağırlık merkezi olacaktır.

Bir dört yüzlü, üç karşıt ikilide altı kenara sahip olduğundan, aşağıdaki sonuç elde edilir:[8]

Bir dört yüzlüde, karşı kenar orta noktalarına karşılık gelen üç orta doğru kesişir ve kesişme noktaları, dört yüzlünün merkezidir.

Varignon teoremi

Bir dört yüzlünün dört köşesinin hepsinin eş düzlemli olduğu ve tek bir düzlemde uzandığı, böylece dejenere bir dörtgene dönüştüğü, Pierre Varignon'un adını taşıyan Varignon teoremi, Reusch teoreminin spesifik bir durumunu gösterir ve aşağıdakileri belirtir:[10][11]

'de bir dörtgen verilmiş olsun. Daha sonra, karşı kenar orta noktalarını birbirine bağlayan iki orta doğru, dörtgenin ağırlık merkezinde kesişir ve onunla ikiye bölünür.

Kaynakça

  1. ^ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. The Mathematical Association of America, 2015, 9780883853580, pp. 97–98
  2. ^ Nathan Altshiller-Court: The Tetrahedron and Its Circumscribed Parallelepiped. The Mathematics Teacher, Vol. 26, No. 1 (JANUARY 1933), ss. 46–52 (JSTOR 10 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.)
  3. ^ Norman Schaumberger: Commandino's theorem. The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 13, No. 5 (Nov., 1982), s. 331 (JSTOR 17 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.)
  4. ^ Nathan Altshiller Court: Notes on the centroid. The Mathematics Teacher, Vol. 53, No. 1 (January 1960), ss. 34 (JSTOR 11 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.)
  5. ^ Howard Eves: Great Moments in Mathematics (before 1650). MAA, 1983, 9780883853108, s. 225
  6. ^ Egbert Harzheim (1978). Einführung in die kombinatorische Topologie (Almanca). Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. s. 33. ISBN 3-534-07016-X. 
  7. ^ Egbert Harzheim (1978), written at p. 31, Einführung in die Kombinatorische Topologie (Almanca), Darmstadt, ISBN 3-534-07016-X 
  8. ^ a b Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Zweites Heft. 1973, s. 100, 128
  9. ^ In den Mathematische Unterhaltungen (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung Der Spitzbogen verwiesen.
  10. ^ Coxeter, op. cit., S. 242
  11. ^ DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, s. 652

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar

  • Court, N. A. “On the Cevian Tetrahedron.” The American Mathematical Monthly, vol. 43, no. 2, 1936, pp. 89–91. JSTOR, www.jstor.org/stable/2301198.
  • Mammana, M. F., Micale, B., & Pennisi, M. (2008). On the centroids of polygons and polyhedra. In Forum Geometricorum (Vol. 8, ss. 121-130)., Makale 11 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Daniela Ferrarello, Maria Flavia Mammana, Mario Pennisi, From 2d to 3d geometry: discovering, conjecturing, proving, Makale 11 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Mammana M.F. (2019) The Modernity of the Meraner Lehrplan for Teaching Geometry Today in Grades 10–11: Exploiting the Power of Dynamic Geometry Systems. In: Weigand HG., McCallum W., Menghini M., Neubrand M., Schubring G. (eds) The Legacy of Felix Klein. ICME-13 Monographs. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-99386-7_11

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Üçgen</span> üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimi

Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir.

<span class="mw-page-title-main">Grup teorisi</span> simetrileri inceleyen matematik dalı

Grup teorisi veya Grup kuramı, simetrileri inceleyen matematik dalıdır. Simetri kuramı olarak da adlandırılabilir. Bir nesnenin simetrileri ile kast edilen, nesneye uygulandığında nesneye hiçbir etki olmamış gibi sonuç veren dönüşümlerdir. Her nesnenin en az bir simetrisi vardır: hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü. Bahsettiğimiz dönüşümlerin tersleri de vardır ve aradığımız özellikleri sağlarlar. Son olarak da dönüşümlerin art arda yapılması, birleşimli bir işlemdir. Bu üç koşula sırasıyla birim elemana sahip olma, elemenların tersi olma ve grup işleminin birleşmeli olması denir. Bu kavramların matematikte soyutlanması, üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümeler ile yapılır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:

<span class="mw-page-title-main">Türev</span> Fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun türevi denir.

<span class="mw-page-title-main">İş (fizik)</span>

Fizikte, bir kuvvet bir cisim üzerine etki ettiğinde ve kuvvetin uygulama yönünde konum değişikliği olduğunda iş yaptığı söylenir. Örneğin, bir valizi yerden kaldırdığınızda, valiz üzerine yapılan iş kaldırıldığı yükseklik süresince ağırlığını kaldırmak için aldığı kuvvettir.

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

<span class="mw-page-title-main">Kütle merkezi</span>

Fizikte, uzaydaki ağırlığın dağılımının ağırlık merkezi, birbirlerine göre olan ağırlıkların toplamlarının sıfır olduğu noktadır. Ağırlık dağılımı, ağırlık merkezi etrafında dengelenir ve dağılan ağırlığın kütle pozisyon koordinatlarının ortalaması onun koordinatlarını tanımlar. Ağırlık merkezine göre formüle edildiği zaman mekanikte hesaplamalar basitleşir.

<span class="mw-page-title-main">Kenarortay</span>

Kenarortay üçgende bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçası. Kenarortayların kesiştiği noktaya o üçgenin ağırlık merkezi denir ve G harfi ile adlandırılır.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken X için olasılık yoğunluk fonksiyonu bir reel sayılı sürekli fonksiyonu olup f ile ifade edilir ve şu özellikleri olması gereklidir:

Pürüzsüz (gıcır) çokkatlı, türevli topolojide bir çeşit topolojik çokkatlı. Tanımı sayesinde, üzerinde türev alınabilir bir uzaydır. Örneğin türev ve integralin ilk tanımlandığı gerçel sayılar kümesi, 1 boyutlu pürüzsüz bir çokkatlıdır.

<span class="mw-page-title-main">Cebirsel topoloji</span>

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı incelemek için kimi cebirsel, aritmetik veya topolojik değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.

Hiperbolik düzlemin dönüşüm grubu, genel Möbius grubunun alt grubu olup ile gösterilir. Üst yarı düzlemi koruyan bu grup Riemann küresi üzerinde tanımlıdır. nin etkisi altında hiperbolik doğrular yine hiperbolik doğrulara giderken, herhangi iki eğri arasındaki açının mutlak değerinin, hiperbolik uzunluk ve uzaklığın korunması grubun karakteristik özelliklerinden bazılarıdır. Bu özelliklerden önemli bir sonuca, hiperbolik düzlemin dönüşüm grubuyla hiperbolik yarı düzlemin izometri grubunun eşyapılı olduğuna, varmak mümkündür.

<span class="mw-page-title-main">Dört yüzlü</span>

Geometride tetrahedron veya dört yüzlü, dört üçgen yüzden oluşan bir çokyüzlüdür (polihedron), her köşesinde üç üçgen birleşir. Düzgün dört yüzlü dört üçgenin eşkenar olduğu bir dört yüzlüdür ve Platonik cisimlerden biridir. Dörtyüzlü, dört yüzü olan tek konveks çokyüzlüdür. Tetrahedron isminin sıfat hali "tetrahedral"dır.

Çokludoğrusal cebir veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir çokludoğrusal harita her değişken içinde ayrı ayrı doğrusal birkaç değişkenin bir fonksiyondur. Daha kesin olarak, çokludoğrusal harita şöyle bir fonksiyondur:

<span class="mw-page-title-main">Thales teoremi</span>

Geometride, Thales teoremi, A, B ve C, AC çizgisinin bir çap olduğu bir daire üzerinde farklı noktalar ise, ∠ABC açısının bir dik açı olduğunu belirtir. Thales teoremi, çevre açı teoreminin özel bir durumudur ve Öklid'in Elemanlar adlı eserinin üçüncü kitabında 31. önermenin bir parçası olarak bahsedilmiş ve kanıtlanmıştır. Genellikle, teoremin keşif için şükran kurbanı olarak bir öküz sunduğu söylenen Miletli Thales'e atfedilir, ancak bazen Pisagor'a da atfedilir.

Montgomery Eğrisi Peter L. Montgomery tarafından 1987'de tanımlanmış, klasik Weierstrass formundan farklı bir eliptik eğri formudur. Belirli hesaplamalar için ve özellikle farklı kriptografi uygulamalarında kullanılır.

Pólya'nın sayma teoremi, bir küme üzerindeki bir grup davranışının yörünge sayısını veren Burnside önsavını izleyen ve genelleştiren bir kombinatorik teoremidir. Teorem; ilk olarak 1927 yılında J. Howard Redfield tarafından yayımlanmış, 1937'de ise teoremin ortaya çıkardığı sonuçları birçok sayma problemine, özellikle kimyasal bileşiklerin sayımına uygulayarak büyük ölçüde yaygınlaştıran George Pólya tarafından yeniden keşfedilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Apollonius teoremi</span> Öklid geometrisinde bir teorem

Geometri'de, Apollonius teoremi, üçgenin bir kenarortay uzunluğunu kenarlarının uzunluklarıyla ilişkilendiren bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Bézout teoremi</span> aciklama

Bézout teoremi, cebirsel geometride n değişkenli n polinomun ortak sıfırlarının sayısı ile ilgili bir ifadedir. Orijinal biçiminde teorem, genel olarak ortak sıfırların sayısının, polinomların derecelerinin çarpımına eşit olduğunu belirtir. Adını Fransız matematikçi Étienne Bézout'dan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">De Gua teoremi</span>

Adını Fransız matematikçi Jean Paul de Gua de Malves'den alan De Gua teoremi, Pisagor teoreminin üç boyutlu bir analojisidir.

Matematikte, karmaşık koordinat uzayı de ya da bu uzayın altkümeleri üzerinde tanımlı ve karmaşık değer alan fonksiyonların teorisine; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisine çok değişkenli karmaşık analiz denir.