Cisim (cebir)

Cisim, halka ve grup gibi soyut bir cebirsel yapıdır.^[1] Kabaca, elemanları arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfıra bölme hariç) yapılabilen ve bu işlemlerde sayılardan alışık olduğumuz temel aritmetik kurallarının geçerli olduğu bir küme olarak tanımlanabilir.^[1]

Her cisim bir halkadır, fakat bunun tersi geçerli değildir. Mesela tam sayılar kümesi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ bir halka olduğu halde, içinde bölme yapılamadığı için cisim değildir. Değişmeli bölenler halkasına cisim denir.

Rasyonel sayılar ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ve gerçel sayılar ${\displaystyle \mathbb {R} }$, cisimlerin başlıca örneklerindendir. Ancak soyut cebirde toplama ve çarpma işlemlerinin tanımlı olduğu daha başka cisimler hayal etmek de mümkündür.

Cisim kavramını ilk ortaya atan Richard Dedekind olmuştur. Dedekind, bu yapı için Almancada "cisim" ya da "vücut" anlamına gelen Körper kelimesini kullanmıştır.

${\displaystyle \mathbb {K} }$ boş olmayan bir küme olsun. Bu kümenin bir cisim olması için, elemanları arasında ${\displaystyle +}$ ile gösterip ve toplama diye adlandıracağımız ve ${\displaystyle *}$ ile gösterip çarpma diye adlandıracağımız iki tane ikili işlem tanımlanmış olması gereklidir. Ayrıyeten, bu işlemlerin bazı özellikleri sağlaması gerekmektedir. Toplama işlemi için;

• Birleşme Özelliği Her ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {K} }$ üçlüsü için ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c):=a+b+c}$
• Birim Elemanın Varlığı Öyle bir ${\displaystyle 0\in \mathbb {K} }$ mevcuttur ki her ${\displaystyle a\in \mathbb {K} }$ için ${\displaystyle a+0=0+a=a}$
• Ters Elemanların Varlığı Her ${\displaystyle a\in \mathbb {K} }$ için öyle bir ${\displaystyle -a\in \mathbb {K} }$ elemanı mevcuttur ki ${\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0}$
• Değişme Özelliği Her ${\displaystyle a,b\in \mathbb {K} }$ ikilisi için ${\displaystyle a+b=b+a}$

özelliklerinin hepsi sağlanmalıdır. Cisimlerde, çarpma işlemi de benzer özellikleri sağlamaktadır:

• Birleşme Özelliği Her ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {K} }$ üçlüsü için ${\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c:=a*b*c}$
• Birim Elemanın Varlığı Öyle bir ${\displaystyle 1\in \mathbb {K} }$ mevcuttur ki her ${\displaystyle a\in \mathbb {K} }$ için ${\displaystyle 1*a=a*1=a}$
• Ters Elemanların Varlığı Her ${\displaystyle a\in \mathbb {K} \setminus \{0\}}$ için öyle bir ${\displaystyle a^{-1}\in \mathbb {K} \setminus \{0\}}$ elemanı mevcuttur ki ${\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=1}$
• Değişme Özelliği Her ${\displaystyle a,b\in \mathbb {K} }$ ikilisi için ${\displaystyle a*b=b*a}$

Dikkat edilmesi gereken husus, çarpmada 0'ın ters elemanının bulunmamasıdır. Çarpma ve toplama işlemleri ise, birbirleri ile

• Dağılma Özelliği Her ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {K} }$ üçlüsü için ${\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c}$

sayesinde bağlanır. Bu özelliklerin yanı sıra, tek elemandan oluşan trivial cismi cisim olarak saymak bazen problemlere yol açtığından,

• Trivial Olmama ${\displaystyle 0\neq 1}$

varsayımı eklenir, çünkü ${\displaystyle 0=1}$ olduğu durumda cisimdeki tüm elemanların birbirine eşit olduğu istisnai ve düzensiz bir yapı ortaya çıkar.

Bu aksiyomlar sağlandığı anda bazı kurallar otomatikman kanıtlanır:

• Yutan Eleman Her ${\displaystyle x\in \mathbb {K} }$ için ${\displaystyle 0*x=0}$
• Sıfır Bölenlerinin Yokluğu ${\displaystyle x,y\neq 0}$ ise ${\displaystyle x*y\neq 0}$
• Sadeleşme Özelliği Eğer ${\displaystyle x+y=x+z}$ ise veya ${\displaystyle 0}$'dan farklı ${\displaystyle x}$'ler için ${\displaystyle xy=xz}$ ise ${\displaystyle y=z}$
• Çıkarma ve Bölme Verilen iki ${\displaystyle x,y\in \mathbb {K} }$ için ${\displaystyle x+r=y}$ ve ${\displaystyle x\neq 0}$ ise ${\displaystyle sx=y}$ özelliğini sağlayan bir ve sadece bir ${\displaystyle r,s\in \mathbb {K} }$ mevcuttur. Bunlar, ${\displaystyle r:=y-x}$ ve ${\displaystyle s:=y/x}$ şeklinde gösterilir.
• ${\displaystyle -1*x=-x}$ ve dolayısıyla ${\displaystyle -y*x=-x*y}$
• Üs Alma Kısaca, ${\displaystyle n}$ tane ${\displaystyle x*x*...*x}$ yerine ${\displaystyle x^{n}}$gösterimi kullanılır. Bu gösterim, aşağıdaki özellikleri sağlar:
  • ${\displaystyle (x^{-1})^{n}=(x^{n})^{-1}:=x^{-n}}$
  • ${\displaystyle (x*y)^{n}=x^{n}*y^{n}}$
  • ${\displaystyle x^{n}*x^{m}=x^{n+m}}$

Bir cismin içinde daha küçük cisimlerin bulunduğu durumları incelemek çoğu zaman kullanışlıdır. Bu yüzden, ${\displaystyle \mathbb {K} \subset \mathbb {L} }$ olsun ve hem ${\displaystyle \mathbb {K} }$ hem de ${\displaystyle \mathbb {L} }$ birer cisim olsun. Bu durumda ${\displaystyle \mathbb {K} }$'ya ${\displaystyle \mathbb {L} }$'nin bir altcismi ve ${\displaystyle \mathbb {L} }$'ye de ${\displaystyle \mathbb {K} }$'nın bir uzantısı denir. Cisim Teorisindeki birçok kuram, cisim uzantıları kullanılarak kanıtlandığından altcisimler ve uzantılar vazgeçilmezdir.

Hiçbir altcismi bulunmayan cisimlere asal cisim denir. İki altcismin kesişimi de yine bir altcisim olduğundan, herhangi bir ${\displaystyle \mathbb {L} }$ cisminin tüm altcisimlerini kesiştirince biricik bir asal cisim ${\displaystyle \mathbb {K} }$ elde edilir. Dolayısıyla her ${\displaystyle \mathbb {L} }$ cisminin içinde bir ve yegâne bir asal cisim ${\displaystyle \mathbb {K} }$ bulunur ve ${\displaystyle \mathbb {K} }$, ${\displaystyle \mathbb {L} }$'yi karakterize eder.

Mesela rasyonel sayıların kümesi ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ bir asal cisimdir. Bunun yanında yukarıda bahsedilen ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ cisimleri de birer asal cisimdir. Hatta bunlar dışında asal cisim bulunmamaktadır.

Eğer bir ${\displaystyle \mathbb {L} }$ cisminin çarpımsal birim elemanı ${\displaystyle 1}$'in hiçbir tam katı ${\displaystyle 0}$'a eşit değilse, yani hiçbir zaman ${\displaystyle 1+1+1+...=0}$ olmuyorsa, ${\displaystyle \mathbb {L} }$'nin karekteristiğinin 0 olduğu söylenir. Şayet belirli bir n için n tane ${\displaystyle 1+1+1+...=0}$ oluyorsa, bu özelliği sağlayan en küçük n'e o cismin karekteristiği denir. Bir cismin karekteristiği daima ya 0 ya da bir asal sayı olur.

Karekteristiği 0 olan bir cismin içinde daima rasyonel sayılar ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ bir altcisim olarak bulunur. Karekteristiği p olan cisimlerin içinde de ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ cismi bulunur. Bu cisimler asal cisim olduğundan, bir cisim içinde bulunan asal cismi sadece o cismin karekteristiğine bakarak bulmak mümkündür

İki cismin arasında bulunan benzerlikler, homomorfizma olarak adlandırılır. Resmen, bir ${\displaystyle \phi :\mathbb {K} \mapsto \mathbb {L} }$ eşlemesinin bir homomorfizma olması için, aşağıdaki özellikleri sağlaması gerekir:

• ${\displaystyle \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)}$
• ${\displaystyle \phi (xy)=\phi (x)\phi (y)}$

Kısaca, ${\displaystyle \phi }$ eşlemesi, toplama ve çarpmaya saygı göstermelidir.

Halkalar, cisimlerin daha genelleştirilmiş versiyonlarıdır. Halkalarda çarpma işleminin ters elemanlı ve değişmeli olması şartı aranmaz. Bunun bir sonucu olarak yukarıdaki özelliklerin birçoğu kaybolur, mesela bazı halkalarda 0'dan farklı iki sayının çarpımı 0 olabilir.

0'dan farklı iki sayının çarpımının asla 0 olmadığı halkalara tamlık bölgesi denir. Eleman sayısı sonlu olan tüm tamlık bölgeleri aynı zamanda bir cisimdir. Sonsuz elemanlı tamlık bölgelerini kullanarak da bir cisim elde etmek mümkündür. Sonsuz tamlık bölgelerine örnek olarak tam sayıların kümesi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$'yi alalım.

Bir tamlık bölgesinden cisim elde etmenin bir yolu, ortaokulda gösterilen kesir kavramından esinlenmektir. ${\displaystyle I}$ bir tamlık bölgesi olsun. O zaman ${\displaystyle I}$'dan aldığımız ikililerin kümesi olan ${\displaystyle I^{2}}$'den ikinci elemanın 0 olduğu ikilileri çıkardıktan sonra bir cisim yapısı, şu şekilde tanımlanabilir:

Öncelikle, iki ikilinin eşitlik şartlarını gevşetip, ${\displaystyle (a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2})\in I^{2}}$ ikililerini ${\displaystyle a_{1}b_{2}=b_{1}a_{2}}$ özelliği sağlandığı sürece eşdeğer kabul edilen bir ilişki tanımlanır. ${\textstyle b_{1},b_{2}\neq 0}$ olduğu sürece bu ilişkinin bir eşitlik ilişkisi olduğunu göstermek zor değildir. Bu şekilde ${\displaystyle I^{2}}$'yi birbirine eşdeğer kabul ettiğimiz altkümelere indirgemek mümkündür.

Çarpma işlemini akla gelen şekilde ${\displaystyle (a_{1},b_{1})*(a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2})}$ olarak tanımlamak mümkündür. Bu işlemin birleşmeli, değişmeli, birim elemanlı ve ters elemanlı olduğunu görmek de zor değildir. Aynı zamanda bu ilişki, yukarıda tanımlanan eşdeğerlik kuralıyla da çelişkisizdir. Bu tanım ve bu eşitlik kaidesi altında, verilen bir ${\displaystyle (a,b)}$ ikilisinin tersi ${\displaystyle (b,a)}$ olur. Bu şekilde inşa ettiğimiz yapı, ${\displaystyle I}$'da olmayan ters elemanlarla donatılır.

Toplama işlemini ise biraz daha karmaşık bir şekilde tanımlamak gerekir: ${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2},b_{1}b_{2})}$ kuralıyla. Toplama işlemini ancak bu şekilde tanımlarsak yukarıda sağlanan eşitlik ilişkisi ile çelişkisiz olur. Yine bu tanımdaki toplamanın birleşmeli, değişmeli, sıfırlı ve ters elemanlı olduğu barizdir.

Bu işlemler ve bu eşitlik ilişkisi, nihayetinde bir cisim teşkil eder. Bu noktadan itibaren ${\displaystyle (a,b):={\frac {a}{b}}}$ olarak alıştığımız şekilde gösterilebilir. Daha önemlisi, ${\displaystyle (a,1)}$ şeklinde olan elemanlar ile ${\displaystyle I}$ arasında bir bijektif homomorfizma bulunduğundan ${\displaystyle I}$'nın bu oluşturduğumuz yeni cismin bir parçası olduğunu söylemek mümkündür. Dolayısıyla bu yöntem ile herhangi bir değişmeli tamlık bölgesini kapsayan bir cisim elde etmek mümkündür.

Tam sayılar ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ üzerinde bu yapıyı kullanmak, bize rasyonel sayılar cismi ${\displaystyle \mathbb {Q} }$'yu verir.^[2]

Tamlık bölgelerini kullanarak daha küçük cisimler elde etmenin bir yolu ise, bölüm halkalarını kullanmaktır. Şimdi ${\displaystyle I}$ yine bir tamlık bölgesi olsun ve ${\displaystyle n\in I}$ ise ${\displaystyle I}$'nın bir elemanı olsun. Yeni bir halka elde etmek için öncelikle bir eşitlik ilişkisi tanımlayalım: ${\displaystyle x\equiv y\mod n}$ diye gösterdiğimiz ilişki, sadece ve sadece ${\displaystyle x-y}$, ${\displaystyle n}$'in bir katı ise geçerli olsun. Bu eşitlik ilişkisi, toplama ve çarpma altında da bozulmaz, dolayısıyla yeni bir halka tanımlanmış olur ve bu halka ${\displaystyle I/(n)}$ şeklinde gösterilebilir. Eğer ${\displaystyle n}$ bir asal eleman ise, bu yeni ürettiğimiz halka aynı zamanda bir cisim yapısına sahip olur.

Bu yöntemi kullanarak ${\displaystyle \mathbb {Z} }$'den modülo 7 tam sayıların cismini elde etmek mümkündür. Bu şekilde ${\displaystyle \mathbb {Z} }$'den elde edilen cisimler ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ile gösterilir. Mesela ${\displaystyle \mathbb {F} _{7}}$'de her sayının gerçekten bir çarpımsal tersi vardır:

• Grup
• Halka