Cebirsel sayılar

Cebirsel sayılar, rasyonel (veya bununla eş değer olarak, tam sayı) katsayıları olan tek değişkenli sıfırdan farklı bir polinomun kökü olarak ifade edilebilen sayılardır. Mesela, altın oran, ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$, cebirsel bir sayı örneğidir çünkü x² − x − 1 polinomunun bir köküdür. Bu durumda, söz konusu polinomun değerinin sıfıra eşitlendiği x değeridir. Diğer bir örnek olarak, ${\displaystyle 1+i}$ biçimindeki karmaşık sayı, x⁴ + 4 polinomunun bir kökü olduğundan dolayı cebirsel sayı olarak kabul edilir.

Tüm tam ve rasyonel sayılar, cebirsel sayıların birer örneğidir; bunun yanında, tam sayıların köklerini içeren sayılar da cebirsel niteliktedir. π ve e gibi, cebirsel olmayan reel ve karmaşık sayılar, transandantal sayı olarak tanımlanmaktadır.

Cebirsel sayılar kümesi, sayılabilir sonsuz bir yapıya sahiptir ve sayılamaz karmaşık sayılar kümesinin bir alt kümesi olarak, Lebesgue ölçümü çerçevesinde ölçüsü sıfır değerindedir. Bu bağlamda, karmaşık sayıların büyük çoğunluğu transandantal karakterdedir.

• Tüm rasyonel sayılar, cebirsel sayı kategorisindedir. Bir tam sayı a ile sıfırdan farklı bir doğal sayı b'nin oranı olarak ifade edilen her rasyonel sayı, önceden belirtilen tanımı karşılar çünkü x = a/b ifadesi, sıfırdan farklı bir polinomun, özellikle bx − a polinomunun, köküdür.^[1]
• Tam sayı katsayılarına sahip ax² + bx + c kuadratik polinomunun irrasyonel çözümleri olan kuadratik irrasyonel sayılar, cebirsel sayılardır. Eğer kuadratik polinom monik karakterdeyse (a = 1), bu kökler kuadratik tam sayı olarak nitelendirilir.
  • Her iki a ve b değeri de tam sayı olan karmaşık sayılar a + bi, Gauss tam sayıları olarak adlandırılır ve kuadratik tam sayılardır. Bunun nedeni, a + bi ve a − bi'nin, x² − 2ax + a² + b² kuadratik denkleminin iki kökü olmasıdır.
• Bir cetvel ve pergel kullanılarak belirlenmiş bir birim uzunluktan hareketle oluşturulabilecek sayılara çizilebilir sayı denir. Tüm kuadratik irrasyonel kökleri, tüm rasyonel sayıları ve bu sayıların temel aritmetik işlemler ve karekök çıkarma kullanılarak oluşturulabilen tüm sayıları içerir. (Karmaşık sayılar için +1, -1, +i ve -i yönlerinin belirlenmesiyle, ${\displaystyle 3+i{\sqrt {2}}}$ gibi sayılar çizilebilir olarak düşünülür.)
• Temel aritmetik işlemler ve n'inci kök çıkarımı kullanılarak cebirsel sayılardan türetilen herhangi bir ifade, bir başka cebirsel sayıyı meydana getirir.
• Temel aritmetik işlemler ve n'inci kök çıkarımı aracılığıyla açıklanamayan polinom kökleri (mesela, x⁵ − x + 1 gibi polinomların kökleri) bulunmaktadır. Bu durum, 5 veya daha yüksek dereceli pek çok polinom için mümkündür ancak tümü için geçerli değildir.
• π'nin rasyonel çarpanları ile oluşturulan açıların trigonometrik fonksiyonlar değerleri (tanımsız oldukları durumlar hariç): örneğin, cos π/7, cos 3π/7 ve cos 5π/7, 8x³ − 4x² − 4x + 1 = 0 polinomunu karşılar. Bu polinom, rasyonel sayılar üzerinde indirgenemezdir ve dolayısıyla söz konusu üç kosinüs, eşlenik cebirsel sayılar olarak nitelendirilir. Aynı şekilde, tan 3π/16, tan 7π/16, tan 11π/16 ve tan 15π/16 sayıları, indirgenemez x⁴ − 4x³ − 6x² + 4x + 1 = 0 polinomunu sağladığı için, eşlenik cebirsel tam sayılardır. Bu, derecelerle ölçüldüğünde rasyonel sayılara denk gelen açıların bir eşdeğeridir.
• İrrasyonel sayıların bir kısmı cebirsel olabilirken, bir kısmı cebirsel olmayabilir:
  • Örneğin, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ve ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}$ sayıları, sırasıyla x² − 2 ve 8x³ − 3 polinomlarının kökü oldukları için cebirsel sayılar kategorisindedir.
  • φ simgesi ile gösterilen altın oran, x² − x − 1 polinomunun bir kökü olması nedeniyle cebirsel bir sayıdır.
  • π ve e gibi sayılar, cebirsel sayılar kategorisinde yer almazlar (bu konu hakkında daha fazla bilgi için Lindemann–Weierstrass teoremine bakınız).^[2]

• Eğer rasyonel katsayılar içeren bir polinom, en küçük ortak kat ile çarpılırsa, sonuç olarak tam sayı katsayıları olan ve aynı köklere sahip bir polinom elde edilir. Bu durum, bir cebirsel sayının, tam sayı veya rasyonel katsayılar içeren bir polinomun kökü olarak eş değer şekilde tanımlanabileceğini ortaya koyar.
• Herhangi bir cebirsel sayı için, bu sayının bir kökü olduğu ve en düşük dereceye sahip rasyonel katsayılı monik polinom tek ve benzersizdir. Bu polinom, minimal polinom olarak adlandırılır. Minimal polinomun derecesi n ise, bu cebirsel sayının derecesinin n olduğu söylenir. Mesela, tüm rasyonel sayıların derecesi bir olup, 2. dereceye sahip bir cebirsel sayı kuadratik irrasyonel olarak nitelendirilir.
• Cebirsel sayılar, reel sayılar alanında yoğun bir yapı sergiler. Bu durum, içlerinde rasyonel sayıların da bulunması ve rasyonel sayıların reel sayılar içerisinde yoğun bir dağılım göstermesi gerçeği ile doğrudan ilişkilidir.
• Cebirsel sayılar kümesi, sayılabilir (enumerate edilebilir) niteliktedir,^[3][4] bu nedenle karmaşık sayılar içerisinde bir alt küme olarak kabul edildiklerinde Lebesgue ölçümü sıfırdır (temelde, cebirsel sayılar karmaşık sayılar içinde herhangi bir yer kaplamaz). Bu, "neredeyse tüm" reel ve karmaşık sayıların transandantal olduğunu ifade eder.
• Cebirsel sayılar, hesaplanabilir, aynı zamanda tanımlanabilir ve aritmetik özellikler taşırlar.
• Gerçek sayılar a ve b için, a + bi biçimindeki karmaşık sayı, yalnızca a ve b ikilisi cebirsel olduğunda cebirsel karakterdedir.^[4]

İki cebirsel sayının toplamı, farkı, çarpımı ve (payda sıfırdan farklı olduğunda) bölünmesi sonucunda elde edilen sayılar da cebirsel niteliktedir. Bu, kalan yardımıyla kanıtlanabilir ve sonuç olarak cebirsel sayılar, bir alan teşkil eder^[5] ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ (ara sıra ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ile temsil edilir, fakat bu genellikle adele halkası için kullanılır). Cebirsel sayılar olarak katsayılara sahip bir polinom denkleminin tüm kökleri tekrar cebirsel sayılardır. Bu, cebirsel sayılar alanının cebirsel olarak kapalı olduğunu belirtmekle yeniden formüle edilebilir. Gerçekte, bu alan, rasyonelleri içeren en küçük cebirsel olarak kapalı alandır ve bu sebepten dolayı rasyonellerin cebirsel kapanışı olarak isimlendirilir.

Tam sayılar başlangıç noktası alınarak, sonlu sayıda toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemleri ve (mümkünse karmaşık olabilecek) n'inci kök alma işlemleri ile elde edilebilen her sayı cebirseldir. Bununla birlikte, bu durumun tersi geçerli değildir: Bu yöntemle elde edilemeyen cebirsel sayılar mevcuttur. Bu tür sayılar, genellikle derecesi 5 veya daha yüksek olan polinomların kökleridir ve bu, Galois teorisinin bir sonucudur (örneğin, beşinci dereceden denklemler ve Abel teoremine bakınız). Örnek olarak, aşağıdaki denklem:

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

yalnızca radikaller ve temel aritmetik işlemler kullanılarak ifade edilemeyen eşsiz bir reel köke sahiptir.

Cebirsel sayılar, rasyonel sayılar temel alınarak polinomlar yardımıyla açık ya da dolaylı bir şekilde ifade edilebilen tüm sayılardır. Bu tanım, "kapalı form sayıları" kavramına genişletilebilir ki bu sayılar farklı yollarla tanımlanabilir. En kapsamlı tanımıyla, polinomlar, üstel işlevler ve logaritmalar yardımıyla açıkça ya da dolaylı olarak ifade edilebilen tüm sayılar "temel sayılar" olarak adlandırılır ve bu kategoriye cebirsel sayılarla birlikte bazı transandantal sayılar da dahildir. En dar tanımıyla ise, polinomlar, üstel işlevler ve logaritmalar yardımıyla açıkça ifade edilen sayılar ele alınır – bu, tüm cebirsel sayıları kapsamaz ancak e veya ln 2 gibi bazı sade transandantal sayıları içerir.

Bir cebirsel tam sayı, tam sayı katsayıları bulunan ve baş katsayısı 1 olan (bir monik polinom) bir polinomun kökü olarak tanımlanabilen bir cebirsel sayıdır. Cebirsel tam sayı örnekleri arasında ${\displaystyle 5+13{\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle 2-6i,}$ ve ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ yer alır. Böylece, cebirsel tam sayılar, her ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ için monik polinomlar x − k'ın kökleri olan tam sayıları da içeren, tam sayıların bir üst kümesini teşkil eder. Bu anlamda, cebirsel tam sayılar, cebirsel sayılara için ne ise, tam sayılar da rasyonel sayılara odur.

Cebirsel tam sayıların toplamları, farkları ve çarpımları da cebirsel tam sayıları oluşturur, bu da cebirsel tam sayıların bir halka yapısı oluşturduğunu gösterir. Cebirsel tam sayı teriminin kökeni, cebirsel tam sayı olabilen rasyonel sayıların yalnızca tam sayılar olması gerçeğinden ve herhangi bir sayı alanındaki cebirsel tam sayıların, birçok açıdan tam sayılara benzer özellikler göstermesinden kaynaklanır. K bir sayı alanı ise, bu alanın tam sayılar halkası, K içerisindeki cebirsel tam sayıları içeren alt halkadır ve genellikle O_K ile ifade edilir. Bu yapılar, Dedekind bölgesinin örnek teşkil eden temel örnekleridir.

Sayı sistemleri Karmaşık ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ Reel ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ Rasyonel ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ Tam sayı ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ Doğal ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ Sıfır: 0 Bir: 1 Asal sayılar Bileşik sayılar Negatif tam sayılar Kesir Sonlu ondalık sayı İkili (sonlu ikili) Devirli ondalık sayı İrrasyonel Cebirsel irrasyonel Aşkın Sanal

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-004763-5, MR 1129886 
• Hardy, Godfrey Harold; Wright, Edward M. (1972), An introduction to the theory of numbers, 5th, Oxford: Clarendon, ISBN 0-19-853171-0 
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990) [1st ed. 1982], A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd, Berlin: Springer, doi:10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, MR 1070716 
• Lang, Serge (2002) [1st ed. 1965], Algebra, 3rd, New York: Springer, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• Niven, Ivan M. (1956), Irrational Numbers, Mathematical Association of America 
• Ore, Øystein (1948), Number Theory and Its History, New York: McGraw-Hill