Cebirsel sayı alanı

Matematikte, cebirsel sayı alanı (veya basitçe sayı alanı) rasyonel sayılar alanının sonlu derecede bir uzantısıdır. $K$ rasyonel sayılar alanının $\mathbb {Q}$ alan uzantısı iken $K/\mathbb {Q}$ sonlu dereceye sahiptir (ve bu nedenle cebirsel bir alan uzantısıdır). Burada derece alanın bir vektör uzayı üzerindeki boyutunu ifade eder. Cebirsel sayı alanları, rasyonel sayıların alanının cebirsel alan uzantısı olduğundan, rasyonel sayıları içerir ve rasyonel sayılar üzerinde bir vektör uzayı olarak düşünüldüğünde sonlu boyuta sahiptir.

Cebirsel sayı alanlarının ve daha genel olarak rasyonel sayılar alanının cebirsel uzantılarının incelenmesi, cebirsel sayı teorisinin ana konusunu oluşturur. Bu yöntem cebirsel yöntemler kullanarak olağan rasyonel sayıların ardındaki gizli yapıları ortaya koymaktadır.

Kaynakça

A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Class Fields, Universitext, New York: Springer-Verlag, 1988
Keith Conrad, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf 22 Aralık 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Algebraic Number Fields, 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1996, ISBN 978-0-8218-0429-2
Helmut Hasse, Number Theory, Springer Classics in Mathematics Series (2002)
Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6 Yazar |ad1= eksik |soyadı1= (yardım); Birden fazla |sürüm= ve |seri= kullanıldı (yardım)
Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8
Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4
André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Matematik</span> nicelik, yapı, uzay ve değişim gibi konularla ilgilenen bilim dalı

Matematik ; sayılar, felsefe, uzay ve fizik gibi konularla ilgilenir. Matematikçiler ve filozoflar arasında matematiğin kesin kapsamı ve tanımı konusunda görüş ayrılığı vardır.

Sayı, sayma, ölçme ve etiketleme için kullanılan bir matematiksel nesnedir. En temel örnek, doğal sayılardır. Sayılar, sayı adı (numeral) ile dilde temsil edilebilir. Daha evrensel olarak, tekil sayılar rakam adı verilen sembollerle temsil edilebilir; örneğin, "5" beş sayısını temsil eden bir rakamdır. Yalnızca nispeten az sayıda sembolün ezberlenebilmesi nedeniyle, temel rakamlar genellikle bir rakam sisteminde organize edilir, bu da herhangi bir sayıyı temsil etmenin organize bir yoludur. En yaygın rakam sistemi Hint-Arap rakam sistemidir, bu sistem on temel sayısal sembol, yani rakam kullanılarak herhangi bir negatif olmayan tam sayının temsil edilmesine olanak tanır. Sayılar sayma ve ölçme dışında, etiketlerde, sıralamada ve kodlarda kullanılmak için de sıklıkla kullanılır. Yaygın kullanımda, bir rakam ile temsil ettiği sayı net bir şekilde ayrılmaz.

Tam sayılar, sayılar kümesinde yer alan sıfır (0), pozitif yönde yer alan doğal sayılar ve bunların negatif değerlerinden oluşan negatif sayılardan oluşan sayı kümesidir.

Doğal sayılar, $\text{[math]}$ şeklinde sıralanan tam sayılardır ve kimi tanımlamalara göre 0 sayısı da bu kümeye dâhil edilebilir. Aralarında standart ISO 80000-2'nin de bulunduğu bazı tanımlar doğal sayıları $0$ ile başlatır ve bu durum negatif olmayan tam sayılar için $0, 1, 2, 3, ...$ şeklinde bir karşılık bulurken, bazı tanımlamalar $1$ ile başlamakta ve bu da pozitif tam sayılar için $1, 2, 3, ...$ şeklinde bir eşlenik oluşturur. Doğal sayıları sıfır olmadan ele alan metinlerde, sıfırın da dahil edildiği doğal sayılar bazen tam sayılar olarak adlandırılırken diğer bazı metinlerde bu terim, negatif tam sayılar da dahil olmak üzere tam sayılar için kullanılmaktadır. Özellikle ilkokul seviyesindeki eğitimde, doğal sayılar, negatif tam sayıları ve sıfırı dışlamak ve saymanın ayrık yapısını, gerçek sayıların bir karakteristiği olan ölçümün sürekliliğiyle karşıtlık oluşturmak amacıyla sayma sayıları olarak adlandırılabilir.

Matematikte reel sayılar kümesi, Fransızca réel “gerçek” den gelmektedir. Oranlı sayılar kümesinin evrim sürecinden elde edilen bir varsayım kombinasyonudur. Reel sayılar kümesi $\text{[math]}$ sembolüyle gösterilir.

p-sel sayılar, rasyonel sayıların p-sel norma göre genişletilmesiyle elde edilirler, p-sel sayılar cismi geleneksel olarak $\text{[math]}$ simgesiyle gösterilir. Her p-sel sayı, p bir asal sayı ve k bir tam sayı olmak üzere $\text{[math]}$ için;

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Aritmetiğin temel teoremi</span>

Matematik'te aritmetiğin temel teoremi, aynı zamanda benzersiz çarpanlara ayırma teoremi ve asal çarpanlara ayırma teoremi olarak da adlandırılır, şunu belirtir: 1'den büyük her tamsayı, benzersiz bir şekilde asal sayıların üslerinin çarpımı olarak gösterilebilir.

<span class="mw-page-title-main">Asal sayı</span> sadece iki pozitif tam sayı böleni olan doğal sayılardır

Bir asal sayı, yalnızca 1'den büyük olup kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilemeyen bir doğal sayıdır. 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı adı verilir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır çünkü onu bir çarpım olarak ifade etmenin mümkün olan yolları, 1 × 5 veya 5 × 1, yalnızca 5 sayısını içermektedir. Ancak, 4 bir bileşik sayıdır çünkü bu, her iki sayının da 4'ten küçük olduğu bir çarpım şeklindedir. Asal sayılar, aritmetiğin temel teoreminden ötürü sayı teorisi alanında merkezi öneme sahiptir: 1'den büyük her doğal sayı, ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıralamalarından bağımsız bir şekilde, benzersiz olarak çarpanlarına ayrılabilir.

<span class="mw-page-title-main">Rasyonel sayılar</span>

Rasyonel sayılar, iki tam sayı arasındaki oranı temsil eden, bir pay $p$ ve sıfırdan farklı bir payda $q$ olmak üzere, bir bölme işlemi veya kesir formunda ifade edilebilen sayıları tanımlar. Örneğin, $\text{[math]}$ rasyonel bir sayı olarak kabul edilir, bu kapsamda her tam sayı da rasyonel sayılar kategorisindedir. Rasyonel sayılar kümesi, çoğunlukla kalın harf biçimindeki Q veya karatahta vurgusu kullanılarak $\text{[math]}$ şeklinde ifade edilir.

İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılar kümesine dahil olmayan gerçek sayılardır. Payı ve paydası birer tam sayı olan bir kesir olarak ifade edilemeyen bu sayılara $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ve $\text{[math]}$ örnek verilebilir. $\text{[math]}$ veya $\text{[math]}$ ile gösterilir. Bu sayıların ondalık açılımı, kendini tekrar etmeden, sonsuza kadar sürer. Bu açılım irrasyonel sayıların hemen hemen hepsinde düzensizdir; ancak bir düzen de gösterebilir, örneğin bütün sayıların sırayla yazılmasıyla edilecek 0,12345678910111213... sayısı irrasyoneldir. İrrasyonel sayıların ilk gerçek değerini Archimedes kullanmıştır.

Cebirsel sayılar, rasyonel katsayıları olan tek değişkenli sıfırdan farklı bir polinomun kökü olarak ifade edilebilen sayılardır. Mesela, altın oran, $\text{[math]}$ , cebirsel bir sayı örneğidir çünkü $x 2 - x - 1$ polinomunun bir köküdür. Bu durumda, söz konusu polinomun değerinin sıfıra eşitlendiği x değeridir. Diğer bir örnek olarak, $\text{[math]}$ biçimindeki karmaşık sayı, $x 4 + 4$ polinomunun bir kökü olduğundan dolayı cebirsel sayı olarak kabul edilir.

<span class="mw-page-title-main">Alan Baker</span> İngiliz matematikçi (1939-2018)

Alan Baker, sayı teorisindeki etkili yöntemler, özellikle de transandantal sayı teorisinden doğan konular üzerine yaptığı çalışmalarla tanınan İngiliz bir matematikçiydi.

Temsil teorisi soyut cebirdeki cebirsel yapıları, daha somut olan matematiksel nesnelerin dönüşümleri olarak tasvir etmeye çalışan bir matematik dalıdır. Örneğin soyut bir $\text{[math]}$ grubunu bir vektör uzayı $\text{[math]}$ 'nin eşyapı dönüşüm grubunun( $\text{[math]}$ ) içinde görmeye çalışır. Böyle temsillere doğrusal temsil denir, çünkü bu temsil aslında $\text{[math]}$ grubundan genel lineer grup $\text{[math]}$ 'ye bir morfizma yazmak demektir. Böyle bir temsil bulmaktaki amaç, $\text{[math]}$ grubunu çalışmak için lineer cebir kullanmaktır. Soyut gruplardaki çarpma işlemi, özellikle bir bilgisayar için matris çarpmasından daha zordur. Soyut bir grubun doğrusal temsillerini kullanarak, gruptaki kimi hesaplamaları bilgisayara yaptırmak daha kolay olur.

Vladimir İgoreviç Arnold Sovyet-Rus matematikçi. En iyi entegre sistemlerin stabilitesi ile ilgili Kolmogorov-Arnold-Moser teoremi ile tanınmasına rağmen, dinamik sistem teorisi, cebir, felaket teorisi, topoloji, cebirsel geometri, sezgisel geometri, diferansiyel denklemler, klasik mekanik dahil olmak üzere birçok alanda önemli katkılarda bulunmuştur., Hidrodinamik ve tekillik teorisi, ADE sınıflandırma problemini ortaya çıkarmak da dahil olmak üzere, ilk ana sonucundan bu yana - 19 yaşında 1957'de Hilbert'in on üçüncü probleminin çözdü. İki yeni matematik dalı kurdu: KAM teorisi ve topolojik Galois teorisi öğrencisi Askold Hovanskiy ile).

<span class="mw-page-title-main">André Weil</span> Fransız matematikçi (1906 – 1998)

André Weil, sayılar teorisi ve cebirsel geometri alanındaki çalışmaları ile tanınan Fransız matematikçidir. Matematiksel Bourbaki grubunun kurucu üyesiydi. Filozof Simone Weil kız kardeşi, yazar Sylvie Weil ise kızıdır.

Matematiksel analizde, küme üzerindeki bir ölçü, bu kümenin her bir uygun alt kümesine bir sayı atamanın sistematik bir yoludur ve sezgisel olarak kümenin boyutu olarak yorumlanır. Bu anlamda ölçü, uzunluk, alan ve hacim kavramlarının bir genellemesidir. Özellikle önemli bir örnek, Öklid geometrisinin geleneksel uzunluğunu, alanını ve hacmini $n$ -boyutlu Öklid uzayının $R n$ uygun alt kümelerine atayan bir Öklid uzayındaki Lebesgue ölçüsüdür. Örneğin, gerçek sayılardaki $[0, 1]$ aralığının Lebesgue ölçüsü, kelimenin günlük anlamındaki uzunluğudur ve tam olarak 1'dir.

<span class="mw-page-title-main">Ludwig Bieberbach</span>

Ludwig Georg Elias Moses Bieberbach, Alman matematikçi ve Nazidir.

Yuri İvanoviç Manin, cebirsel geometri ve diyofant geometri alanındaki çalışmaları ve matematiksel mantıktan teorik fiziğe kadar birçok açıklayıcı çalışmasıyla tanınmış bir Rus matematikçidir. Ayrıca Manin, 1980 yılında Computable and Uncomputable adlı kitabıyla kuantum bilgisayar fikrini ilk önerenlerden birisidir.

İlk olarak ideal teori olarak bilinen Komütatif (değişmeli) cebir, cebirin değişmeli halkalarını, halkaların ideallerini ve bu halkalar üzerindeki modülleri inceleyen dalıdır. Hem cebirsel geometri hem de cebirsel sayı teorisi değişmeli cebire dayanır. Değişmeli halkaların öne çıkan örnekleri arasında polinom halkaları; sıradan tamsayılar dahil olmak üzere cebirsel tam sayı halkaları $\text{[math]}$ ; ve p -sel tam sayıları içerir.

Çizilebilir sayı terimi, geometri ve cebirde kullanılır ve bir reel sayı $\text{[math]}$ 'nin, belirli koşullar altında bir çizgi olarak çizilebilip çizilemeyeceğini ifade eder. Eğer birim uzunlukta herhangi çizgiyi kullanarak, sadece pergel ve cetvel yardımıyla ve belirli sayıda adımda, r uzunluğunda bir başka çizgi çizebilirse, bu durumda r sayısı çizilebilir bir sayıdır. Başka bir deyişle, r sayısını, sadece tam sayıları ve temel matematik işlemleri ile karekök alma işlemini kullanarak açık bir şekilde ifade edebiliyorsa, r sayısı çizilebilir kabul edilir.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.