İçeriğe atla

Cauchy dağılımı

Cauchy-Lorentz
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Cauchy dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu
Yeşil çizgi standart Cauchy fonksiyonunu gösterir.
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Cauchy dağılımı için yığmalı dağılım fonksiyonu
Renkler yukarıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu eğrilerinin aynıdır.
Parametreler konum (reel)
olcek (reel)
Destek
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalamatanımlanmamış
Medyan
Mod
Varyanstanımlanmamış
Çarpıklıktanımlanmamış
Fazladan basıklıktanımlanmamış
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf) {{{mf}}}
Karakteristik fonksiyon

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Cauchy-Lorentz dağılımı bir sürekli olasılık dağılımı olup, bu dağılımı ilk ortaya atan Augustin Cauchy ve Hendrik Lorentz anısına adlandırılmıştır. Matematik istatistikçiler genel olarak Cauchy dağılımı adını tercih edip kullanmaktadırlar ama fizikçiler arasında Lorentz dağılımı veya Lorentz(yen) fonksiyon veya Breit-Wigner dağılımı olarak bilinip kullanılmaktadır.

Fizik biliminde Cauchy-Lorentz dağılımının kullanıldığı alanların bazıları şöyle anılabilir: Zorlanan rezonans fenomenini açıklayan deferensiyel eşitliğine çözüm sağlaması, spektroskopi alanında bir doğruşekil ile ayrım gösteren frekans aralığında aynı şekilde tüm atomlar birbirleriyle karşılıklı etkilemekteyken homojen genişlemeye tabi olmaları sonucu ortaya çıkan spektral doğrularının şeklinin tanımlanması, birçok mekanizmanın (özellikle çarpışmadan genişlemede) homojen genişleme göstermesinin açıklanması.

Karakterizasyon

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Cauchy dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu şudur:

Burada x0 dağılımın doruğunu tanımlayan konum parametresi ve γ ise yarı-maksimumda yarı-genişliği tanımlayan ölçek parametresidir.

Lorentziyen fonksiyonun genliği şöyle verilir:

Fizikte üç parametreli Lorentziyen fonksiyon çok kere şu türde verilir:

Burada I doruktaki yüksekliktir.

x0 = 0 ve γ = 1 olduğu zamanki özel hale standart Cauchy dağılımı adı verilir ve bunun olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle ifade edilir:

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

Cauchy dağılımı için ters yığmalı dağılım fonksiyonu şu olur:

Özellikleri

Cauchy dağılımı, tanımlanan hiçbir ortalaması, varyansı veya daha yüksek derecede momenti olmayan bir dağılıma örnektir. Mod değeri ve medyan değeri çok kesinlikle tanımlanmıştır ve her ikisi de x0a eşittirler.

Eğer U ve V iki tane bağımsız 0 beklenen değerli ve 1e eşit varyanslı normal dağılım gösteren rassal değişkenlerse, U/V oranı standart Cauchy dağılımı gösterir.

Eğer X1, …, Xn her biri bir standart Cauchy dağılımı gösteren bağımsız ama aynı dağılımlı rassal değişkenlerse, örneklem aritmetik ortalaması yani

(X1 + … + Xn)/n

ifadesi de aynı dağılımı gösterir (Uçsal değerlerden etkilenmeyen örneklem medyanı merkezsel konum ölçüsü olarak kullanılır.) Bunun doğru olduğunu ispatlamak için örneklem ortalamasının karakteristik fonksiyonu şöyle hesaplanabilir:

Burada örneklem ortalamasıdır. Bu örneğin göstermektedir ki merkezsel limit teoremini daha basitleştirmek için kabul edilmesi gereken sonlu varyans hipotezinin bir kenara bırakılması uygun değildir . Bu sonuç, aynı zamanda Cauchy dağılımının özel bir hali olduğu Levy çarpık alfa-durağan dağılımları için de geçerli olan merkezsel limit teoreminin alışılmış olandan daha genelleştirilmiş bir şekline bir örnek sağlamaktadır.

Cauchy dağılımı bir sonsuza kadar bölünebilir olasılık dağılıma örnektir. Ayrıca kesinlikle dengelilik gösteren bir dağılımdır.

Standart Cauchy dağılımı 1 serbestlik derecesi bulunan Student'in t-dağılımı ile aynıdır.

Cauchy dağılımının ait olduğu konum-ölçek ailesi tipte dağılımlara lineer kesirsel dönüşümler altında kapalı olma karakterini taşırlar.

Karakteristik fonksiyon

X Cauchy dağılım gösteren bir rassal değişken olsun. Cauchy dağılımı için karakteristik fonksiyon şöyle verilir:

Neden ortalama tanımlanmaz?

Eğer bir olasılık dağılımı f(x) ile ifade edilen bir olasılık yoğunluk fonksiyonu gösteriyorsa, ortalama veya beklenen değeri şudur:

Burada sorun bunun şu ifade ile aynı olup olmadığıdır:

Verilen (2) ifadesinin en çok bir terimi sonsuz ise bu iki ifade birbirine aynıdır. Fakat Cauchy dağılımı halinde (2) ifadesi için (sırayla pozitif ve negatif olan) her iki terim de sonsuzdur. Bu demektir ki (2) tanımlanamamaktadır. Ayrıca eğer (1) bir Lebesque integrali olarak kabul edilirse, bu halde (1) de tanımlanamamaktadır; çünkü o zaman (1) ifadesinin (")nin pozitif ve negatif terimleri arasındaki fark olduğu görülür. Buna karşılık (1) ifadesi bir bir Lebesque integrali olacak yerde bir has olmayan integral olarak kabul edilirse, o halde (1)'in mutlaka her zaman iyi-tanımlanma karakteri bulunmayacaktır ama zaten (2) tanımlamamaktadır. O zaman (1) ifadesi şöyle yazılabilir:

ve bu sıfıra eşit olan Cauchy ana değeridir. Fakat (1) ifadesi değişik şekilde şöyle de yazılabilir:

Bu integral hesaplanınca açıkça görülür ki bu sıfır değerde değildir.

Beklenen değer için olasılık kuramında ortaya çıkarılan çeşitli sonuçlar (örneğin güçlü büyük sayılar yasası), beklenen değeri bulunmayan Cauchy dağılımı için uygun olmamaktadır.

Neden ikinci moment sonsuzdur?

Ortalama anlamsız olduğu için bir standart Cauchy dağılımı için varyans veya standart sapma kavramları da anlamsızdır. Ancak ortalama etrafında ikinci momentin ele alınması imkân dahilindedir. Su ifadeye göre

görülmektedir ki Cauchy dağılım için ortalama etrafındaki ikinci moment sonsuzdur.

İlişkili dağılımlar

  • İki bağımsız standart normal dağılım gösteren rassal değişkenin birbirine oranı bir standart Cauchy dağılımı gösterir. Cauchy dağılımının bir oran dağılımı olduğu böylece açığa çıkar.
  • Standart Cauchy dağılımı, yani Cauchy(0,1) 1 serbestlik derecesi gösteren Student'in t dağılımına eşit olup Student'in t-dağılımının bir özel halidir.
  • Levy çarpık alfa-durağan dağılım ile ilişki şöyle verilir: Eğer ise, o halde olur.

Relativistik Breit-Wigner dağılımı

Nükleer fizikte ve parçacık fiziğinde, bir rezonansın enerji profili relativistik Breit-Wigner dağılımı ile belirtilir.

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Student'in t dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında t-dağılımı ya da Student'in t dağılımı genel olarak örneklem sayısı veya sayıları küçük ise ve anakütle normal dağılım gösterdiği varsayılırsa çıkartımsal istatistik uygulaması için çok kullanılan bir sürekli olasılık dağılımıdır. Çok popüler olarak tek bir anakütle ortalaması için güven aralığı veya hipotez sınaması ve iki anakütle ortalamasının arasındaki fark için güven aralığı veya hipotez sınamasında, yani çıkarımsal istatistik analizlerde, uygulama görmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Normal dağılım</span> sürekli olasılık dağılım ailesi

Normal dağılım, aynı zamanda Gauss dağılımı veya Gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen, birçok alanda pratik uygulaması olan, çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesidir.

<span class="mw-page-title-main">İntegral tablosu</span> Vikimedya liste maddesi

İntegral, Matematikteki temel işlemlerden biridir. Bu maddede yaygın integrallerin hesaplanışını bulacaksınız.

<span class="mw-page-title-main">Gama fonksiyonu</span>

Gama fonksiyonu, matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Gamma dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdır. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi θ; diğeri ise şekil parametresi k olarak anılır. Eğer k tam sayı ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre olur.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken X için olasılık yoğunluk fonksiyonu bir reel sayılı sürekli fonksiyonu olup f ile ifade edilir ve şu özellikleri olması gereklidir:

Olasılık kuramı içinde herhangi bir rassal değişken için karakteristik fonksiyon, bu değişkenin olasılık dağılımını tüm olarak tanımlar. Herhangi bir rassal değişken X için, gerçel doğru üzerinde, bu fonksiyonu tanımlayan formül şöyle yazılır:

<span class="mw-page-title-main">Cauchy integral teoremi</span> Matematiksel analiz ile ilgili bir teorem

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Kalıntı teoremi</span>

Karmaşık analizdeki kalıntı teoremi veya bilinen bir diğer adıyla rezidü teoremi, analitik fonksiyonların kapalı eğriler üzerindeki çizgi integrallerini bulmak için kullanılan önemli bir araçtır ve ayrıca sık bir şekilde gerçel integralleri bulmak için de kullanılır. Cauchy integral teoremini ve Cauchy integral formülünü genelleştirir.

Karmaşık analizde kontür integrali veya kontür integrali almak karmaşık düzlemdeki yollar boyunca belli integralleri bulmak için kullanılan bir yöntemdir.

<span class="mw-page-title-main">Fourier serisi</span>

Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların toplamına çevirir.

Gauss integrali, Euler–Poisson integrali olarak da bilinir, tüm reel sayılardaki ex2 Gauss fonksiyonunun integralidir. Alman matematik ve fizikçi Carl Friedrich Gauss'dan sonra adlandırlıdı. İntegrali şöyledir:

Matematik'teki Dirichlet beta fonksiyonu özel fonksiyon'dur, aslında modifiye edilerek parantezlenmiş Riemann zeta fonksiyonu'nundan ibarettir. özel bir şekli Dirichlet L-fonksiyon'udur.

<span class="mw-page-title-main">Riemann zeta işlevi</span>

Matematikte Riemann zeta işlevi , Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından 1859'da bulunmuş olan ve asal sayıların dağılımıyla olan ilişkisinden ötürü sayı kuramında önemli yeri bulunan seçkin bir işlevdir. İşlev; fizik, olasılık kuramı ve uygulamalı istatistikte de kullanılmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Digama fonksiyonu</span>

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

Matematiksel analizin sayı teorisinde Euler–Mascheroni sabiti matematiksel sabit'tir. Yunan harfi Yunanca: γ (gama) ile gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Ters Gama fonksiyonu</span>

Matematik'te ters gama fonksiyonu özel fonksiyon'dur.

Matematikte, Gauss sabiti, G ile gösterilir,1 ve karekök 2 aritmetik-geometrik ortalama'sının tersi olarak tanımlanır.

<span class="mw-page-title-main">Beta fonksiyonu</span>

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür,

Normalleştirme sabiti, olasılık kuramı ve matematiğin diğer çeşitli alanlarında ortaya çıkar. Örneğin normal dağılımın normalleştirme sabitini hesaplamak için Gauss integrali kullanılabilir.