Catalan sabiti

Catalan sabiti matematikte bazen kombinatorik'te tahminler için kullanılır.Tanımı

${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!}$

Burada β Dirichlet beta fonksiyonu'dur Sayısal değeri [1] yaklaşık olarak

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

G nin rasyonel veya irrasyonel olup olmadığı bilinmiyor. Catalan sabiti Eugène Charles Catalan onuruna atfedilmiştir.

Bazı eşitlikler arasında

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\!}$

${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}\,dt\!}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin(t)\cos(t)}}\;dt\!}$

${\displaystyle G={\tfrac {1}{4}}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin(t)}}\;dt\!}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\!}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\!}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt\!}$.

ile birlikte

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx\!}$

burada K(x) komplet eliptik integral'in ilk türüdür. ve

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx\!}$.

Poligama fonksiyonu'ndan elde edilen ve trigama fonksiyonu olarak adlandırılan

kombinatorik'teki G nesnesinin fraksiyonel gösterimi;

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G}$

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G.}$

şeklindedir.

Simon Plouffe ${\displaystyle \pi ^{2}}$ ve Catalan sabiti arasında trigamma fonksiyonunun sonsuz sayıda eşdeğer koleksiyonun'un olduğunu grafik yolu ile gösterdi.

Ayrıca bu nesnenin hiperbolik sekant dağılımı ile de bağlantısı vardır

sayısal hesaplama için kolay olan birbirini izleyen iki hızlı yakınsak seri

${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-}$
	${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)}$

ve

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}$

Bunun teoretik çıkarımı Broadhurst tarafından verilmiştir.

Catalan sabiti G nin rakamlarını bulmak için son yıllarda çarpıcı bir artış var.Bunun için yüksek performanslı bilgasayarlar ve güçlü algoritmalar geliştiriliyor.^[1]

• Zeta sabiti

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant 24 Haziran 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (undated)
• Victor Adamchik, A certain series associated with Catalan's constant 16 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., (2002) Zeitschrift fuer Analysis und ihre Anwendungen (ZAA), 21, pp. 1–10.
• Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan 20 Nisan 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., (1993) (Provides over one hundred different identities).
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi^2 21 Nisan 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., (1999) (Provides a graphical interpretation of the relations)
• Eric W. Weisstein, Catalan's Constant (MathWorld)
• Catalan constant: Generalized power series 13 Ekim 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at the Wolfram Functions Site
• Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) 24 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (1996) (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant.).