Cantor'un köşegen yöntemi

Georg Cantor'un doğal sayılar ile reel sayıların birebir eşlemesinin yapılamayacağını göstermek için geliştirdiği yöntem. Böyle bir eşlemenin yokluğu sonsuz elemanlı kümelerin büyüklüklerinin karşılaştırılması kavramının gelişimi açısından son derece önemlidir.

Büyüklük

Verilen bir A kümesinin en az B kümesi kadar büyük olması B'den A'ya bir birebir fonksiyonun var olması şeklinde tanımlanır ( $A\geq B$ yazılır). Böylelikle B'nin bir kopyasının A'nın içerisinde bulunabiliyor olması sağlanır. Eğer aynı şekilde B'den de A'ya bir birebir fonksiyon varsa o zaman bu iki küme eşit büyüklükte denir ( $B\simeq A$ yazılır).

Örnek olarak Çift Tam Sayılar Kümesi'nin ( $2\mathbb {Z} =\{...,-4,-2,0,2,4,...\}$ ) ile Tam Sayılar Kümesi $(\mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,...\})$ düşünülebilir. $2\mathbb {Z}$ 'nin elemanları $\mathbb {Z}$ 'nin içerisinde kendi kendilerine gönderilir.

İspat

0 ile 1 arasındaki reel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu varsayalım. Buna göre 0 ile 1 arasındaki her reel sayıya karşılık doğal sayılar kümesinde bir sayı gelmelidir. Yani iki küme birebir eşlenebilir diyoruz. Böyle bir eşlemeyi ele alalım ve 0 ile 1 arasındaki reel sayıları verilen eşleşmeye göre sıralayarak bir liste elde edelim. Bu listede sayıları küçükten büyüğe gelecek şekilde sıralamadım(bu şekilde sıralamaya gerek yoktur bu kısma takılmayın). Aşağıdaki sadece ilk 4 eşleşmeyi yazdım. Bu eşleşmenin sonsuza kadar gittiğini varsayıyoruz(önemli olan nokta burasıdır). Dolayısıyla aslında aşağıdaki birebir eşleşmede tüm doğal sayılar ve 0-1 aralığındaki tüm reel sayılar var diyoruz.

  0 ile 1 arasındaki tüm reel sayıları yazdığımızı diğer bir deyişle yazabileceğimizi iddia etmiştik. Şimdi bunun aksini kanıtlayalım.

  0 ile 1 arasında olan öyle bir sayı bulalım ki: Bu sayıya C adını verelim ve onu şu kurala göre oluşturalım:

Birinci sayının ilk ondalık basamağına bakalım ve buradaki rakamdan farklı herhangi bir rakamı seçip C sayısının ilk basamağı olarak yazalım, aynı şekilde C'nin ikinci, üçüncü,... basamaklarını da oluşturalım. Mesela eğer 0 la 1 arasındaki reel sayılar aşağıdaki gibi sıralanmışsa:

s0 = 0,13567....... 
       ^
s1 = 0,25678.......
        ^
s2 = 0,00212.......
         ^
s3 = 0,14291.......
          ^
. 
. 
.

C sayısının ilk basamağını 1'den farklı, 2. basamağını 5'ten farklı, 3. basamağını 2'den farklı, 4. basamağını gene 9'dan farklı birer rakam olarak seçeriz. (Varsayımımıza göre) Bu şekilde devam ederek 0 ile 1 arasındaki tüm sayıları tararız. Hatırlayın : taradığımız her reel sayıya karşılık doğal sayılar kümesinde bir sayı var(birebir eşleşme).

0 ile 1 arasında var olan tüm sayıları taradık(bu sayılara baktık) ve yukarıdaki anlattığımız yol ile bir C sayısı bulduk. C sayısının 0 ile 1 arasında olduğunu ve 0 ile 1 arasındaki tüm sayıları taradığımızı varsaymıştık. O halde taradığımız sayılardan birisi C sayısı olmalı. Halbuki C sayısı bizim taradığımız sayılardan hiçbirine eşit değil çünkü C sayısını buna göre oluşturmuştuk zaten. Gördüğünüz gibi burada bir tezatlık var. 0 ile 1 arasındaki tüm sayıları tek tek taradığımızı kabul ediyoruz.Ama elimizde 0 ile 1 aralığında öyle bir C sayısı bulduk ki taradığımız tüm sayılardan farklı. Dolayısıyla bu C sayısına karşılık gelebilecek bir doğal sayı da yok. Demek ki varsaydığımız birebir eşleme mümkün değil ve aslında reel sayılar kümesindeki eleman sayısı doğal sayılar kümesindeki eleman sayısından daha fazla. O zaman 0 ile 1 arasındaki reel sayılar kümesi sayılamaz deriz.

İlgili Araştırma Makaleleri

Sayı, sayma, ölçme ve etiketleme için kullanılan bir matematiksel nesnedir. En temel örnek, doğal sayılardır. Sayılar, sayı adı (numeral) ile dilde temsil edilebilir. Daha evrensel olarak, tekil sayılar rakam adı verilen sembollerle temsil edilebilir; örneğin, "5" beş sayısını temsil eden bir rakamdır. Yalnızca nispeten az sayıda sembolün ezberlenebilmesi nedeniyle, temel rakamlar genellikle bir rakam sisteminde organize edilir, bu da herhangi bir sayıyı temsil etmenin organize bir yoludur. En yaygın rakam sistemi Hint-Arap rakam sistemidir, bu sistem on temel sayısal sembol, yani rakam kullanılarak herhangi bir negatif olmayan tam sayının temsil edilmesine olanak tanır. Sayılar sayma ve ölçme dışında, etiketlerde, sıralamada ve kodlarda kullanılmak için de sıklıkla kullanılır. Yaygın kullanımda, bir rakam ile temsil ettiği sayı net bir şekilde ayrılmaz.

Tam sayılar, sayılar kümesinde yer alan sıfır (0), pozitif yönde yer alan doğal sayılar ve bunların negatif değerlerinden oluşan negatif sayılardan oluşan sayı kümesidir.

Doğal sayılar, $\text{[math]}$ şeklinde sıralanan tam sayılardır ve kimi tanımlamalara göre 0 sayısı da bu kümeye dâhil edilebilir. Aralarında standart ISO 80000-2'nin de bulunduğu bazı tanımlar doğal sayıları $0$ ile başlatır ve bu durum negatif olmayan tam sayılar için $0, 1, 2, 3, ...$ şeklinde bir karşılık bulurken, bazı tanımlamalar $1$ ile başlamakta ve bu da pozitif tam sayılar için $1, 2, 3, ...$ şeklinde bir eşlenik oluşturur. Doğal sayıları sıfır olmadan ele alan metinlerde, sıfırın da dahil edildiği doğal sayılar bazen tam sayılar olarak adlandırılırken diğer bazı metinlerde bu terim, negatif tam sayılar da dahil olmak üzere tam sayılar için kullanılmaktadır. Özellikle ilkokul seviyesindeki eğitimde, doğal sayılar, negatif tam sayıları ve sıfırı dışlamak ve saymanın ayrık yapısını, gerçek sayıların bir karakteristiği olan ölçümün sürekliliğiyle karşıtlık oluşturmak amacıyla sayma sayıları olarak adlandırılabilir.

Matematikte reel sayılar kümesi, Fransızca réel “gerçek” den gelmektedir. Oranlı sayılar kümesinin evrim sürecinden elde edilen bir varsayım kombinasyonudur. Reel sayılar kümesi $\text{[math]}$ sembolüyle gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Grup teorisi</span> simetrileri inceleyen matematik dalı

Grup teorisi veya Grup kuramı, simetrileri inceleyen matematik dalıdır. Simetri kuramı olarak da adlandırılabilir. Bir nesnenin simetrileri ile kast edilen, nesneye uygulandığında nesneye hiçbir etki olmamış gibi sonuç veren dönüşümlerdir. Her nesnenin en az bir simetrisi vardır: hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü. Bahsettiğimiz dönüşümlerin tersleri de vardır ve aradığımız özellikleri sağlarlar. Son olarak da dönüşümlerin art arda yapılması, birleşimli bir işlemdir. Bu üç koşula sırasıyla birim elemana sahip olma, elemenların tersi olma ve grup işleminin birleşmeli olması denir. Bu kavramların matematikte soyutlanması, üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümeler ile yapılır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir $\text{[math]}$ işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:

Aritmetik; matematiğin sayılar arasındaki ilişkiler ile sayıların problem çözmede kullanımı ile ilgilenen dalı. Aritmetik kavramı ile genellikle sayılar teorisi, ölçme ve hesaplama kastedilir. Bununla birlikte bazı matematikçiler daha karmaşık çeşitli işlemleri de aritmetik başlığı altında değerlendirirler.

Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Fonksiyon, 17. yüzyılda matematiğin kavramlarından biri olmuştur. Fizik, mühendislik, mimarlık ve birçok alanda kullanılmaktadır. Galile, Kepler ve Newton hareketlerin araştırılmasında, zaman ve mesafe arasındaki durumu incelemek için fonksiyonlardan faydalanmıştır. Dört işlemden sonra gelen bir işlem türüdür.

<span class="mw-page-title-main">Rasyonel sayılar</span>

Rasyonel sayılar, iki tam sayı arasındaki oranı temsil eden, bir pay $p$ ve sıfırdan farklı bir payda $q$ olmak üzere, bir bölme işlemi veya kesir formunda ifade edilebilen sayıları tanımlar. Örneğin, $\text{[math]}$ rasyonel bir sayı olarak kabul edilir, bu kapsamda her tam sayı da rasyonel sayılar kategorisindedir. Rasyonel sayılar kümesi, çoğunlukla kalın harf biçimindeki Q veya karatahta vurgusu kullanılarak $\text{[math]}$ şeklinde ifade edilir.

Rakam, sayıları yazılı olarak göstermeye yarayan sembollerden her biri. Pek çok dil ve kültürde kullanılan Arap kökenli rakamlar şunlardır:

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

\text{[math]}

İki tane karmaşık birimi olan ya da bir tane hiperbolik iki tane de karmaşık birimi olan kümeye çifte karmaşık sayılar kümesi denir. Bu kümede her sayı

\text{[math]}

Dizi, bir sıralı listedir. Bir küme gibi, ögelerden oluşur. Sıralı ögelerin sayısına dizinin uzunluğu denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Örneğin doğal sayılar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi sonlu olabilir. Ya da tüm çift pozitif tam sayılar gibi sonsuz olabilir.

Cisim, halka ve grup gibi soyut bir cebirsel yapıdır. Kabaca, elemanları arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapılabilen ve bu işlemlerde sayılardan alışık olduğumuz temel aritmetik kurallarının geçerli olduğu bir küme olarak tanımlanabilir.

Vektör uzayı veya Yöney uzayı, matematikte ölçeklenebilir ve eklenebilir bir nesnelerin (vektörlerin) uzayına verilen isimdir. Daha resmî bir tanımla, bir vektör uzayı, iki elemanı arasında vektör toplamasının ve skaler denilen sayılarla çarpımın tanımlı olduğu ve bunların bazı aksiyomları sağladığı kümedir. Skalerler, rasyonal veya reel sayılar kümesinden gelebilir, ama herhangi bir cisim üzerinden bir vektör uzayı oluşturmak mümkündür. Vektör uzayları, skalerlerin geldiği cisime göre reel vektör uzayı, kompleks vektör uzayı veya genel bir cisim üzerinden K vektör uzayı şeklinde adlandırılır.

Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

Mandelbrot kümesi, Benoit Mandelbrot'un ikinci derece kompleks değişkenli polinomların dinamiklerini açıklamak için geliştirdiği ve incelediği kümedir. Mandelbrot kümesi, karmaşık düzlemin bir fraktal altkümesidir.

<span class="mw-page-title-main">Alef sayısı</span>

Alef sayıları, matematikte, daha ayrıntılı söylemek gerekirse kümeler teorisinde, iyi sıralı olabilen sonsuz kümelerin kardinalitesini göstermek için kullanılan sayılardır. Alef sayısı ismini sembolünden, İbranice alef harfinden alır. Bazı eski matematik kitaplarında yanlışlıkla alef sembolü ters basılmıştır.

Soyut cebirde, bidördeyler $\text{[math]}$ sayılarıdır. Klasik dördeylere benzese de $\text{[math]}$ sayıları reel sayılar değil karmaşık sayılar kümesinin elemanlarıdır. Bir başka deyişle, dördey grubu elemanları olan $\text{[math]}$ elemanlarının katsayıları reel sayılar kümesinin elemanları değil karmaşık sayılar kümesinin elemanlarıdır.

Conway'in 13 tabanlı fonksiyonu, Britanyalı matematikçi John Horton Conway tarafından ara değer teoreminin tersi için karşı örnek olarak oluşturulmuştur. Başka bir ifadeyle bu fonksiyon, ara değer teoreminin sonucu olan —herhangi bir (a, b) aralığında f fonksiyonu f(a) ile f(b) arasındaki her değeri alır— özelliğini sağlar, ancak sürekli değildir.== Tanım ==Conway'in 13 tabanlı fonksiyonu $\text{[math]}$ olarak şu şekilde tanımlanmıştır: $\text{[math]}$ reel sayısı 13 tabanında 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C ifadeleri rakam olarak kullanılarak yazılsın ve sayının sonunda ardışık iki C bulunmasın. Bir reel sayının başında işaret olabilir ve tam sayı kısım ile kesirli kısmı ayırmak için nokta olabilir, ancak bu durumların ikisi de $\text{[math]}$ için yoksayılacaktır. Bu rakamların değerleri 0'dan 12'ye ondalık sayılar gibi düşünülebilir. Conway rakam olarak A, B, C yerine +, − ve • kullanmış ve 10 tabanındaki rakam ve sembollerle karışmaması için 13 tabanındaki tüm rakamların altını çizmiştir.* Tüm $\text{[math]}$ ve $\text{[math]}$ rakamları $\text{[math]}$ kümesinden olmak üzere, eğer bir basamaktan itibaren $\text{[math]}$ sayısının 13 tabanındaki yazılışı $\text{[math]}$ şeklindeyse $\text{[math]}$ (10 tabanındaki notasyon).* Benzer şekilde, eğer $\text{[math]}$ sayısının 13 tabanındaki yazılışı $\text{[math]}$ şeklindeyse then $\text{[math]}$ (10 tabanındaki notasyon).* Diğer durumlarda $\text{[math]}$ .Örneğin:* $\text{[math]}$ ,* $\text{[math]}$ ,* $\text{[math]}$ .==Kaynakça==

Matematikte, hesaplanabilir sayılar, belirlenen herhangi bir doğruluk seviyesine ulaşacak şekilde sonlu ve sona eren bir algoritma ile hesaplanabilen reel sayıları ifade eder. Bu sayılar, yinelemeli sayılar, etkili sayılar ya da hesaplanabilir reel sayılarolarak da adlandırılır. Hesaplanabilir reel sayılar kavramı, o dönemde mevcut olan sezgisel hesaplanabilirlik kavramı üzerinden Emile Borel tarafından 1912'de ortaya konmuştur.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.