Calabi-Yau manifoldu

Calabi–Yau Manifoldu veya Calabi–Yau space, cebirsel geometride, Ricci düzlüğü gibi özelliklere sahip olan ve teorik fizikte uygulamalara olanak sağlayan özel bir manifold türüdür. Özellikle süper sicim teorisinde, uzay-zamanın ekstra boyutlarının bazen 6 boyutlu Calabi–Yau manifoldu formunu alacağı varsayılır ve bu da ayna simetrisi fikrine yol açmaktadır. Manifoldun ismi, bu tür yüzeylerin var olabileceğini ilk tahmin eden Eugenio Calabi'den (1954, 1957) ve Calabi varsayımını kanıtlayan Shing-Tung Yau'dan (1978) sonra 1985 yılında Candelas ve arkadaşları tarafından icat edilmiştir.

Calabi–Yau manifoldları, K3 yüzeylerinin herhangi bir sayıda karmaşık boyutta (yani herhangi bir çift sayıda gerçek boyutta) genelleştirilmesi olan karmaşık manifoldlardandır. Başlangıçta, kaybolan birinci Chern sınıfına ve Ricci-düz metriğe sahip kompakt "Kähler manifoldları" olarak tanımlanmışlardır ve bazen diğer birçok benzer ancak eşdeğer olmayan tanım da kullanılmıştır.

Shing-Tung Yau tarafından verilen motivasyonel tanım, aynı zamanda Ricci düz olan, kaybolan birinci Chern sınıfına sahip kompakt bir Kähler manifoldudur.^[1][2][3]

Calabi–Yau manifoldunun farklı yazarlar tarafından kullanılan, bazıları eşdeğer olmayan birçok başka tanımı vardır. Bu bölümde en yaygın tanımlardan bazıları ve aralarındaki ilişkiler özetlenmektedir.

Bir Calabi–Yau ${\displaystyle n}$ -katlama veya Calabi –Yau (karmaşık) boyutun manifoldu ${\displaystyle n}$ bazen kompakt olarak tanımlanır. ${\displaystyle n}$ boyutlu Kähler manifoldu ${\displaystyle M}$ aşağıdaki eşdeğer koşullardan birini karşılayan:

• Kanonik paket olan ${\displaystyle M}$ önemsizdir.
• ${\displaystyle M}$ holomorf bir yapıya sahiptir ${\displaystyle n}$-form hiçbir yerde kaybolmaz.
• Teğet demetinin yapı grubu ${\displaystyle M}$ azaltılabilir ${\displaystyle U(n)}$ ile ${\displaystyle SU(n)}$.
• ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle SU(n)}$'de yer alan küresel holonomiye sahip bir Kähler metriğine sahiptir.

Bu koşullar, birinci integral Chern sınıfının ${\displaystyle c_{1}(M)}$ ile ilgili ${\displaystyle M}$ ortadan kayboluyor. Ancak bunun tersi doğru değildir. Bunun gerçekleştiği en basit örnekler, hipereliptik yüzeyler, karmaşık boyut 2'nin karmaşık bir torusunun sonlu bölümleridir; kaybolan birinci integral Chern sınıfına sahiptir, ancak önemsiz olmayan kanonik pakettir.

Kompakt bir cihaz için ${\displaystyle n}$ boyutlu Kähler manifoldu ${\displaystyle M}$ olan aşağıdaki koşullar birbirine eşdeğerdir, ancak bazen Calabi–Yau manifoldunun tanımı olarak kullanılsalar da yukarıdaki koşullardan daha zayıftırlar:

• ${\displaystyle M}$, kaybolan ilk gerçek sınıfına sahiptir.
• ${\displaystyle M}$ yerel holonomiye sahip bir Kähler metriği ${\displaystyle SU(n)}$'dir.
• Kanonik paketin pozitif gücü ${\displaystyle M}$ önemsizdir.
• ${\displaystyle M}$ önemsiz kanonik pakete sahip sonlu bir kapağa sahiptir.
• ${\displaystyle M}$, bir torusun ve önemsiz kanonik demet ile basit bir şekilde bağlanmış bir manifoldun ürünü olan sonlu bir örtüye sahiptir.

Kompakt bir Kähler manifoldu basit bir şekilde bağlanırsa, yukarıdaki zayıf tanım, daha güçlü tanıma eşdeğerdir. Enriques yüzeyleri, Ricci-düz metriklere sahip karmaşık manifoldların örneklerini verir, ancak bunların kanonik demetleri önemsiz değildir, bu nedenle bunlar, yukarıdaki ilk tanıma göre değil, ikinciye göre Calabi-Yau manifoldlarıdır. Öte yandan, bunların çift örtüleri her iki tanım için de Calabi-Yau manifoldlarıdır (aslında K3 yüzeyleridir).

Yukarıdaki çeşitli özellikler arasındaki eşdeğerlikleri kanıtlamanın açık ara en zor kısmı, Ricci-düz metriklerinin varlığını kanıtlamaktır. Bu, Yau'nun, kaybolan birinci gerçek Chern sınıfına sahip kompakt bir Kähler manifoldunun, kaybolan Ricci eğriliği ile aynı sınıfta bir Kähler metriğine sahip olduğunu ima eden Calabi varsayımına ilişkin kanıtından kaynaklanmaktadır. (Bir Kähler metriğinin sınıfı, ilişkili 2-formunun kohomoloji sınıfıdır.)Calabi böyle bir metriğin benzersiz olduğunu gösterniştir.

Calabi-Yau manifoldlarının bazen kullanılan ve aşağıdaki şekillerde farklılık gösteren (diğerlerinin yanı sıra) birçok başka eşdeğer olmayan tanımı vardır:

• İlk Chern sınıfı, tamamlayıcı bir sınıf veya gerçek bir sınıf olarak ortadan kaybolabilir.
• Tanımların çoğu Calabi-Yau manifoldlarının kompakt olduğunu öne sürer, ancak bazıları bunların kompakt olmamasını sağlar. Kompakt olmayan manifoldlara genellemede, fark ${\displaystyle (\Omega \wedge {\bar {\Omega }}-\omega ^{n}/n!)}$ asimptotik olarak ortadan kaybolması gerekir. Burada, ${\displaystyle \omega }$ Kähler metriği ile ilişkili Kähler formudur.
• Bazı tanımlar, bir Calabi-Yau manifoldunun temel grubuna, sonlu veya önemsiz olmasını talep etmek gibi kısıtlamalar getirir. Herhangi bir Calabi-Yau manifoldu, bir simit ile basit bağlantılı bir Calabi-Yau manifoldunun çarpımı olan sonlu bir örtüye sahiptir.
• Bazı tanımlar holonominin tam olarak eşit olmasını gerektirir ${\displaystyle SU(n)}$ bunun bir alt grubu yerine, Hodge sayılarının olduğu anlamına gelir ${\displaystyle h^{i,0}}$ için kaybolmak ${\displaystyle 0<i<\dim(M)}$ . Abelian yüzeyleri, holonomiden kesinlikle daha küçük olan bir Ricci düz metriğine sahiptir. ${\displaystyle SU(2)}$ (aslında önemsizdir) bu tanımlara göre Calabi-Yau manifoldları değildir.
• Tanımların çoğu, bir Calabi-Yau manifoldunun bir Riemann metriğine sahip olduğunu varsayar, ancak bazıları bunları bir metrik içermeyen karmaşık manifoldlar olarak ele alır.
• Tanımların çoğu manifoldun tekil olmadığını varsayar, ancak bazıları hafif tekilliklere izin verir. Chern sınıfı tekil Calabi-Yau'lar için iyi tanımlanamasa da, tüm tekillikler Gorenstein şemasında kanonik paket ve kanonik sınıf hala tanımlanabilir ve bu nedenle pürüzsüz bir Calabi-Yau manifoldunun tanımı, şu şekilde genişletmek için kullanılabilir: "muhtemelen tekil bir Calabi-Yau çeşididir."