İçeriğe atla

Braikenridge–Maclaurin teoremi

Braikenridge–Maclaurin Teoremi

Geometride, 18. yüzyıl İngiliz matematikçileri William Braikenridge ve Colin Maclaurin'in [1] adını taşıyan Braikenridge–Maclaurin teoremi, Pascal teoreminin tersidir. Braikenridge–Maclaurin teoremine göre bir altıgenin üç karşıt kenarı üç eşdoğrusal noktada buluşursa, altı köşe bir konik üzerinde yer alır ve bu da bir çift doğruya dejenere edilebilir.

Teoremin Açıklaması

Eliptik durum
Hiperbolik durum

ve noktaları, ve 'nin, ve 'nin ve ve 'nin kesişme noktalarının eşdoğrusal olduğu şekildeyse, noktalar bir koni üzerinde bulunur. Şekil, boyunca koniği gösterir. doğrusu nereye hareket ettirilirse ettirilsin, noktası her zaman konik üzerindedir. Ayrıca noktalarından herhangi birini taşısak da durum değişmez.

Bir altıgenin zıt kenarlarından geçen üç çizginin üç kesişme noktasının bir doğrusu üzerinde olması durumunda, altıgenin altı köşesinin bir koniği üzerinde bulunduğunu belirtir;[2] konik, Pappus teoreminde olduğu gibi dejenere olabilir. [3]

Braikenridge–Maclaurin teoremi, altıncı noktayı değiştirerek beş nokta ile tanımlanan koniğin sentetik bir yapısı olan Braikenridge-Maclaurin yapısında uygulanabilir. Yani, Pascal teoremi, bir konik (bir altıgenin köşeleri) üzerinde altı nokta verildiğini, zıt kenarlar tarafından tanımlanan çizgilerin üç doğrusal noktada kesiştiğini belirtir. Mevcut beş nokta verildiğinde, altıncı nokta için olası konumları inşa etmek için bu tersine çevrilebilir.

Tarihçe

1733'te Londra'da İskoç bir matematikçi William Braikenridge tarafından yazılmış olan, Exercitatio Geometrica de Descriptione Linearum Curvarum adlı küçük bir dört yapraklı doküman ortaya çıktı. Ön sözünden, teoremlerinin birçoğunun 1726'da kendisi tarafından bilindiğini anlıyoruz. 1727'de Londra'da Maclaurin ile tanıştı ve sohbetinde kendi geometrik araştırmalarından bahsetti. Maclaurin, kendisine eline koymamaya özen gösterirken bunları içeren MS çalışmasını göstererek benzer teoremleri zaten elde ettiğini bildirdi. Bununla birlikte, Braikenridge'in çalışması 1733'e kadar yayınlanmadı, ancak 1727'de teoremlerini içeren bir el yazmasını Kraliyet Cemiyeti'nin önüne getirilmesi amacıyla George Gordon'a emanet etti. El yazması maalesef kayboldu.[4]

Braikenridge tarafından aynı teoremlerin bir devamı 1735'te Philosophical Transactions (No. 436)’da yayınlandı.

Exercitatio Genoetrica’da bu teorem vardır, yani: Bir çokgenin kenarları sabit noktalardan geçerken, tüm köşeler ancak biri sabit düz doğrular üzerindeyse, serbest köşe bir konik bölümü veya düz bir doğruyu tanımlar.

Tezin geri kalanı, bir üçgenin kenarları sabit noktalardan geçtiğinde, köşelerden ikisi ve olmak üzere iki eğri üzerinde uzandığında, serbest köşe tarafından izlenen eğrinin maksimum derecesinin 2mn olduğu teoremine götürür, ancak yalnızca mn verilen üç nokta düz bir doğru üzerinde ise.

Çeşitli alt durumlar tartışılmaktadır.

Philosophical Transactions’a katkı kısmında daha çok özellikle çoklu noktalı kübik ve dörtlü yapıları ele alınmaktadır.

Ancak sonuca yakınken, elde ettiği sonuçlara genelleme yapma girişiminde ciddi bir hataya düşer.

Örneğin ona göre bir eğrisi nokta ile belirlenir ki bu tabii ki bir konik için doğrudur.

Maclaurin'in doğru sayı olan verdiği Geometria Organica’yı okuduğu için bu hata daha da affedilemez.

Bir sonraki ifadesi basitçe Geometria Organica’nın Önerme XXV. Bölüm II'sidir ve doğrudur; ancak daha sonraki ifadeleri şüphelidir.

Braikenridge için şimdiye kadar.

Maclaurin'in, yalnızca 1735'te Philosophical Transactions (No. 436)’da yayınlanmış olmasına rağmen, Aralık 1732'de Profesör Machin'e yazdığı bir mektuptaki açıklamasına dönelim.

Bu mektupta, Geometria Organica’ya aynı doğrular üzerinde daha ileri geometrik araştırmalarını içeren bir ek yayınlamayı amaçladığını açıklıyor. Böyle bir ek 1721'de basıldı, ancak yayınlanmadı.

Bu ekin Nancy, 1722'ye tarihlenen bir Özetini veriyor ve üçgen için Braikenridge-Maclaurin Teoremini verdiği ve 1727'den beri Cebir üzerine derslerine dahil ettiği bir not ekliyor. Philosophical Transactions’da yayınlanan Özet, konuya Braikenridge'in iddia edebileceğinden çok daha fazla ustalık gösterir.

Braikenridge, üç sabit noktadan geçen kenarları olan bir üçgenin ötesine geçemezken (konik kesite giden özel durum hariç), Maclaurin herhangi bir çokgen durumunu genelleştirir ve biri hariç tüm köşeler , , vb. eğriler üzerinde bulunur, serbest köşe maksimum derecesi olan bir eğriyi tanımlarken tüm kenarların sabit noktalardan geçtiğini gösterir. Sonuçta, Robert Simson'ın dikkatini çektiği Pappus porizminin bir genellemesini görüyor.

Maclaurin'in iki köşesi düz doğrular üzerinde bulunan bir üçgen durumu için kanıt ve şekli, o sırada gözden kaybolan bir koni içine yazılmış bir altıgenin Pascal özelliğine götürür.

Ancak Maclaurin'in araştırmaları bu sonucun çok ötesine geçiyor ve kişiye güçlü bir şekilde Geometria Organica’yı hatırlatıyor.

Dış bağlantılar

Kaynaklar

  1. ^ Mills, Stella (March 1984), "Note on the Braikenridge-Maclaurin Theorem", Notes and Records of the Royal Society of London, The Royal Society, 38 (2), ss. 235-240, doi:10.1098/rsnr.1984.0014, JSTOR 531819 
  2. ^ Eric W. Weisstein, (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., CRC Press, 978-0849319464, s. 285
  3. ^ Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967), Geometry Revisited, Washington, DC: Mathematical Association of America, s. 76 
  4. ^ Charles Tweedie, (1915), A Study of the Life and Writings of Colin Maclaurin, Mathematical Association, The Mathematical Gazette, Vol. 8, No. 119 (Oct., 1915), ss. 133-151, http://www.jstor.org/stable/3604693, Makale 3 Mayıs 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Pisagor teoremi</span> Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı arasındaki bağıntı

Pisagor teoremi veya Pisagor bağıntısı, Öklid geometrisinde üçgenin kenarları arasındaki temel ilişkiyi kuran ilk teoremlerden biridir. Teoreme gerçek hayattan örnek olarak telli çalgıları gösterilebilir; 'telin uzunluğu arttıkça titreşim artar' prensibine dayanır. Pisagor'un denklemi olarak da isimlendirilen bu teorem, a, b ve c kenarlarının arasındaki ilişkiyi şu şekilde açıklar:

<span class="mw-page-title-main">Üçgen</span> üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimi

Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir.

<span class="mw-page-title-main">Colin Maclaurin</span> İskoçyalı matematikçi

Colin Maclaurin,, İskoçyalı matematikçidi.

<span class="mw-page-title-main">Ceva teoremi</span> Öklid düzlem geometrisinde bir üçgenin kenar doğru parçası çiftlerinin çarpımlarının oranının bire eşit olduğunu belirten teorem

Ceva Teoremi, herhangi bir ABC üçgeni verildiğinde, A, B ve C'den üçgenin zıt kenarlarına doğru olan doğru parçalarının üçgenin her iki kenarında oluşan doğru parçası çiftlerinin oranlarının çarpımı 1'e eşit olduğunda tek noktada kesiştiğini belirtir. Teorem adını İtalyan matematikçi Giovanni Ceva'dan alır.

<span class="mw-page-title-main">Açıortay</span>

Açıortay, geometride bir açıyı iki eşit açı şeklinde bölen yapıdır. Bir açıya teğet tüm çemberler çizilerek merkezleri birleştirilirse, o açının açıortayı elde edilir. Bu nedenle açıortaylardan açının kollarına indirilen dikmeler, o çemberlerden birinin merkezinden teğetlere inilen yarıçap dikmeleri olacağından, dikmeler birbirine eşit olur. Her iki kolda oluşan üçgenler de birbirine eşit olacağından, dikmelerin açıortay kollarını kestiği noktalar ile açının bulunduğu köşeye olan uzaklıklar eşit olur.

<span class="mw-page-title-main">Menelaus teoremi</span> Bir üçgenin her bir kenar doğrusundan tepe noktası olmayan birer nokta olmak üzere üç noktanın, ancak ve ancak her üç kenar doğrusu üzerinde belirledikleri işaretli oranların çarpımı -1 ise eş doğrusal olduğunu belirten Öklid geometri

İskenderiyeli Menelaus'a izafe edilen Menelaus teoremi düzlemsel geometride üçgenler üzerine bir teoremdir. , ve noktalarından oluşan üçgeninde , ve doğruları üzerinde bulunan ve üçgenin köşelerinden ayrık , ve noktalarının aynı doğru üzerinde olabilmesi ancak ve ancak:

<span class="mw-page-title-main">Thales teoremi (çember)</span>

Çemberlerde Thales teoremi, alınan A, B ve C noktalarının bir çember üzerinde ve AC doğrusunun bu çemberin çapı olması durumunda, ABC açısının dik açı olacağını belirten geometri teoremi. Thales teoremi çevre açı kurallarının özel bir hâlidir. Adını Thales'ten alan teorem, genellikle ona atfedilir ancak bazı yerlerde Pisagor'la da ilişkilendirilir.

<span class="mw-page-title-main">Desargues teoremi</span>

Projektif geometride, Desargues teoremi, adını Girard Desargues'den alır, şunu belirtir:

İki üçgen, ancak ve ancak merkezi olarak perspektif içindeyse eksenel olarak perspektif içindedir.
<span class="mw-page-title-main">Thales teoremi</span>

Geometride, Thales teoremi, A, B ve C, AC çizgisinin bir çap olduğu bir daire üzerinde farklı noktalar ise, ∠ABC açısının bir dik açı olduğunu belirtir. Thales teoremi, çevre açı teoreminin özel bir durumudur ve Öklid'in Elemanlar adlı eserinin üçüncü kitabında 31. önermenin bir parçası olarak bahsedilmiş ve kanıtlanmıştır. Genellikle, teoremin keşif için şükran kurbanı olarak bir öküz sunduğu söylenen Miletli Thales'e atfedilir, ancak bazen Pisagor'a da atfedilir.

<span class="mw-page-title-main">Crossbar (Pasch) teoremi</span> Diğer iki ışın arasındaki bir ışın, ilk iki ışın arasındaki herhangi bir çizgi parçasını keser.

Geometride Crossbar (Pasch) teoremi, ışını ışını ile ışını arasındaysa, ışınının doğrusu parçasını keseceğini belirtir.

<span class="mw-page-title-main">Bottema teoremi</span>

Bottema teoremi, Hollandalı matematikçi Oene Bottema tarafından matematik literatürüne kazandırılmış olan düzlem geometride bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Brianchon teoremi</span>

Geometride Brianchon teoremi, bir konik kesit etrafındaki bir altıgen ile sınırlandırıldığında, ana köşegenlerinin tek bir noktada kesiştiğini belirten bir teoremdir. Adını Fransız matematikçi Charles Julien Brianchon'dan (1783–1864) almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Droz-Farny doğru teoremi</span> Rastgele bir üçgenin ortasından geçen iki dik doğrunun özelliği hakkında teorem

Öklid geometrisinde, Droz-Farny doğru teoremi, keyfi bir üçgenin yükseklik merkezinden (ortosantr) geçen iki dik doğrunun bir özelliğidir.

Dış açı teoremi, bir üçgenin bir dış açısının ölçüsünün, uzak iç açılarının ölçülerinden daha büyük olduğunu belirten Ökllid'in Elemanlar'ı Önerme 1.16'dır. Bu, mutlak geometride temel bir sonuçtur çünkü ispatı paralellik postülatına bağlı değildir.

<span class="mw-page-title-main">Anne teoremi</span>

Fransız matematikçi Pierre-Leon Anne'in (1806-1850) adını taşıyan Anne teoremi, dışbükey dörtgen içindeki belirli alanların eşitliğini tanımlayan Öklid geometrisinden bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Feuerbach noktası</span>

Üçgen geometrisinde, üçgenin iç çemberi ve dokuz nokta çemberi, üçgenin Feuerbach noktasında birbirine içten teğettir. Feuerbach noktası bir üçgen merkezidir, yani tanımı üçgenin yerleşimine ve ölçeğine bağlı değildir. Clark Kimberling'in Üçgen Merkezleri Ansiklopedisi'nde X(11) olarak listelenmiştir ve adını Alman geometrici Karl Wilhelm Feuerbach'tan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Geometrik ortalama teoremi</span> Dik üçgenler hakkında bir teorem

Dik üçgen yükseklik teoremi veya geometrik ortalama teoremi, bir dik üçgendeki hipotenüs üzerindeki yükseklik uzunluğu ile hipotenüs üzerinde oluşturduğu iki doğru parçası arasındaki ilişkiyi tanımlayan temel geometrinin bir sonucudur. İki doğru parçasının geometrik ortalamasının yüksekliğe eşit olduğunu belirtir.

<span class="mw-page-title-main">Harcourt teoremi</span>

Geometride Harcourt teoremi, kenar uzunluklarının bir fonksiyonu olarak ve kendi iç teğet çemberine teğet olan rastgele bir doğrudan köşelerinin dikey uzunluklarının bir fonksiyonu olarak üçgenin alanı ile ilgili bir formüldür. Teorem adını İrlandalı bir profesör olan J. Harcourt'tan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Pompeiu teoremi</span>

Pompeiu teoremi, Romanyalı matematikçi Dimitrie Pompeiu tarafından keşfedilen bir düzlem geometrisi sonucudur. Teorem basittir, ancak klasik değildir. Aşağıdakileri ifade eder:

Bir eşkenar üçgen verildiğinde Düzlemde ABC ve ABC üçgeninin düzleminde bir P noktası, PA, PB ve PC uzunlukları bir üçgenin kenarlarını oluşturur.
<span class="mw-page-title-main">Reuschle teoremi</span> Ortak bir noktada kesişen bir üçgenin cevianlarının bir özelliğini tanımlar

Temel geometride, Reuschle teoremi, ortak bir noktada kesişen bir üçgenin cevianlarının bir özelliğini tanımlar ve adını Alman matematikçi Karl Gustav Reuschle (1812-1875)'den alır. Ayrıca Fransız matematikçi Olry Terquem (1782-1862)'in adıyla 1842'de yayınlayan Terquem teoremi olarak da bilinir. Teorem, Euler doğrusu ve Feuerbach'ın dokuz nokta çemberi ile bağlantılı olarak benzer biçimde bulunan belirli köşe çaprazlarının kesişim özellikleriyle ilgili bir problemi ele almaktadır. Reuschle teoreminin ispatı, sekant teoreminin yanı sıra Ceva teoremi ve onun karşıt teoremine dayanmaktadır.