Braikenridge–Maclaurin teoremi

Geometride, 18. yüzyıl İngiliz matematikçileri William Braikenridge ve Colin Maclaurin'in ^[1] adını taşıyan Braikenridge–Maclaurin teoremi, Pascal teoreminin tersidir. Braikenridge–Maclaurin teoremine göre bir altıgenin üç karşıt kenarı üç eşdoğrusal noktada buluşursa, altı köşe bir konik üzerinde yer alır ve bu da bir çift doğruya dejenere edilebilir.

${\textstyle A,B,C,D,E}$ ve ${\textstyle F}$ noktaları, ${\textstyle AC}$ ve ${\textstyle BD}$'nin, ${\textstyle AE}$ ve ${\textstyle DF}$'nin ve ${\textstyle BE}$ ve ${\textstyle CF}$'nin kesişme noktalarının eşdoğrusal olduğu şekildeyse, noktalar bir koni üzerinde bulunur. Şekil, ${\textstyle A,B,C,D,E}$ boyunca koniği gösterir. ${\displaystyle XYZ}$ doğrusu nereye hareket ettirilirse ettirilsin, ${\displaystyle F}$ noktası her zaman konik üzerindedir. Ayrıca ${\textstyle A,B,C,D,E}$ noktalarından herhangi birini taşısak da durum değişmez.

Bir altıgenin zıt kenarlarından geçen üç çizginin üç kesişme noktasının bir ${\displaystyle L}$ doğrusu üzerinde olması durumunda, altıgenin altı köşesinin bir ${\displaystyle C}$ koniği üzerinde bulunduğunu belirtir;^[2] konik, Pappus teoreminde olduğu gibi dejenere olabilir. ^[3]

Braikenridge–Maclaurin teoremi, altıncı noktayı değiştirerek beş nokta ile tanımlanan koniğin sentetik bir yapısı olan Braikenridge-Maclaurin yapısında uygulanabilir. Yani, Pascal teoremi, bir konik (bir altıgenin köşeleri) üzerinde altı nokta verildiğini, zıt kenarlar tarafından tanımlanan çizgilerin üç doğrusal noktada kesiştiğini belirtir. Mevcut beş nokta verildiğinde, altıncı nokta için olası konumları inşa etmek için bu tersine çevrilebilir.

1733'te Londra'da İskoç bir matematikçi William Braikenridge tarafından yazılmış olan, Exercitatio Geometrica de Descriptione Linearum Curvarum adlı küçük bir dört yapraklı doküman ortaya çıktı. Ön sözünden, teoremlerinin birçoğunun 1726'da kendisi tarafından bilindiğini anlıyoruz. 1727'de Londra'da Maclaurin ile tanıştı ve sohbetinde kendi geometrik araştırmalarından bahsetti. Maclaurin, kendisine eline koymamaya özen gösterirken bunları içeren MS çalışmasını göstererek benzer teoremleri zaten elde ettiğini bildirdi. Bununla birlikte, Braikenridge'in çalışması 1733'e kadar yayınlanmadı, ancak 1727'de teoremlerini içeren bir el yazmasını Kraliyet Cemiyeti'nin önüne getirilmesi amacıyla George Gordon'a emanet etti. El yazması maalesef kayboldu.^[4]

Braikenridge tarafından aynı teoremlerin bir devamı 1735'te Philosophical Transactions (No. 436)’da yayınlandı.

Exercitatio Genoetrica’da bu teorem vardır, yani: Bir çokgenin kenarları sabit noktalardan geçerken, tüm köşeler ancak biri sabit düz doğrular üzerindeyse, serbest köşe bir konik bölümü veya düz bir doğruyu tanımlar.

Tezin geri kalanı, bir üçgenin kenarları sabit noktalardan geçtiğinde, köşelerden ikisi ${\displaystyle C_{m}}$ ve ${\displaystyle Cn}$ olmak üzere iki eğri üzerinde uzandığında, serbest köşe tarafından izlenen eğrinin maksimum derecesinin 2mn olduğu teoremine götürür, ancak yalnızca mn verilen üç nokta düz bir doğru üzerinde ise.

Çeşitli alt durumlar tartışılmaktadır.

Philosophical Transactions’a katkı kısmında daha çok özellikle çoklu noktalı kübik ve dörtlü yapıları ele alınmaktadır.

Ancak sonuca yakınken, elde ettiği sonuçlara genelleme yapma girişiminde ciddi bir hataya düşer.

Örneğin ona göre bir ${\displaystyle C_{n}}$ eğrisi ${\displaystyle n^{2}+1}$ nokta ile belirlenir ki bu tabii ki bir konik için doğrudur.

Maclaurin'in doğru sayı olan ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(n^{2}+3n)}$ verdiği Geometria Organica’yı okuduğu için bu hata daha da affedilemez.

Bir sonraki ifadesi basitçe Geometria Organica’nın Önerme XXV. Bölüm II'sidir ve doğrudur; ancak daha sonraki ifadeleri şüphelidir.

Braikenridge için şimdiye kadar.

Maclaurin'in, yalnızca 1735'te Philosophical Transactions (No. 436)’da yayınlanmış olmasına rağmen, Aralık 1732'de Profesör Machin'e yazdığı bir mektuptaki açıklamasına dönelim.

Bu mektupta, Geometria Organica’ya aynı doğrular üzerinde daha ileri geometrik araştırmalarını içeren bir ek yayınlamayı amaçladığını açıklıyor. Böyle bir ek 1721'de basıldı, ancak yayınlanmadı.

Bu ekin Nancy, 1722'ye tarihlenen bir Özetini veriyor ve üçgen için Braikenridge-Maclaurin Teoremini verdiği ve 1727'den beri Cebir üzerine derslerine dahil ettiği bir not ekliyor. Philosophical Transactions’da yayınlanan Özet, konuya Braikenridge'in iddia edebileceğinden çok daha fazla ustalık gösterir.

Braikenridge, üç sabit noktadan geçen kenarları olan bir üçgenin ötesine geçemezken (konik kesite giden özel durum hariç), Maclaurin herhangi bir çokgen durumunu genelleştirir ve biri hariç tüm köşeler ${\displaystyle C_{m}}$, ${\displaystyle C_{n}}$, vb. eğriler üzerinde bulunur, serbest köşe maksimum derecesi ${\displaystyle 2\Pi m}$ olan bir eğriyi tanımlarken tüm kenarların sabit noktalardan geçtiğini gösterir. Sonuçta, Robert Simson'ın dikkatini çektiği Pappus porizminin bir genellemesini görüyor.

Maclaurin'in iki köşesi düz doğrular üzerinde bulunan bir üçgen durumu için kanıt ve şekli, o sırada gözden kaybolan bir koni içine yazılmış bir altıgenin Pascal özelliğine götürür.

Ancak Maclaurin'in araştırmaları bu sonucun çok ötesine geçiyor ve kişiye güçlü bir şekilde Geometria Organica’yı hatırlatıyor.

• WolframMathWorld - Braikenridge-Maclaurin Theorem 30 Aralık 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Teorema Braikenridge–Maclaurin 11 Mayıs 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Braikenridge-Maclaurin Construction 15 Ocak 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.