Bozulmuş dağılım

Bozulmuş

Olasılık kütle fonksiyonu Yatay eksen ki için i endeksidir. Fonksiyon sadece tam sayı endeksler için geçerlidir. Noktaları bağlayan çizgiler süreklilik ifade etmez.
Yığmalı dağılım fonksiyonu Yatay eksen ki için i endeksidir.
Parametreler	${\displaystyle k_{0}\in (-\infty ,\infty )\,}$
Destek	${\displaystyle k=k_{0}\,}$
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF)	${\displaystyle {\begin{matrix}1&{\mbox{eğer }}k=k_{0}\\0&{\mbox{diğer halde }}\end{matrix}}}$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{eğer }}k<k_{0}\\1&{\mbox{eğer }}k\geq k_{0}\end{matrix}}}$
Ortalama	${\displaystyle k_{0}\,}$
Medyan	${\displaystyle k_{0}\,}$
Mod	${\displaystyle k_{0}\,}$
Varyans	${\displaystyle 0\,}$
Çarpıklık	${\displaystyle 0\,}$
Fazladan basıklık	${\displaystyle 0\,}$
Entropi	${\displaystyle 0\,}$
Moment üreten fonksiyon (mf)	${\displaystyle e^{k_{0}t}\,}$
Karakteristik fonksiyon	${\displaystyle e^{ik_{0}t}\,}$

Matematik bilim dalında bir bozulmuş dağılım desteği sadece tek bir noktadan oluşan bir ayrık rassal değişken için bir olasılık dağılımıdır. Bu rassal değişken için örnekler her iki tarafı da yazı olan özel bir madeni (para veya) disk veya her altı yüzü de aynı sayıyı gösteren özel bir zar olabilir. Örneklerden de görülebildiği gibi, bu türlü rassal değişken günlük yaşantıya göre hiç rastgelelik niteliği taşımamaktadır; ancak matematik bilimi içinde bulunan rassal değişken tanımlama özelliklerinin hepsini tatmin etmektedir.

Bozulmuş dağılım reel doğru üzerinde tek bir nokta olan k₀ üstünde konumlanmıştır. Olasılık kütle fonksiyonu şöyle verilir:

${\displaystyle f(k;k_{0})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{eğer }}k=k_{0}\\0,&{\mbox{eğer }}k\neq k_{0}\end{matrix}}\right.}$

Yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

${\displaystyle F(k;k_{0})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{eğer }}k\geq k_{0}\\0,&{\mbox{eğer }}k<k_{0}\end{matrix}}\right.}$

Olasılık kuramı bilim dalında, bir sabit rassal değişken ortaya çıkan herhangi bir olaydan hiç etkilenmeden devamlı olarak sadece sabit bir değer alan bir ayrık rassal değişkendir.

Teknik bakimdan bu kavram nerede ise mutlaka sabit rassal değişken kavramından değişiktir. Bu ikinci tip değişken diğer değerler alabilir ama bunların her biri için olasılık sıfırdır; yani imkân vardır ama ihtimal yoktur. Bu çeşit sabit rassal değişken ve nerede ise mutlaka sabit rassal değişken tanımlamaları suretiyle olasılık kuramı çerçevesi içine sabit değerler kavrami yerleştirilebilmektedir.

X: Ω → R olasılık uzayı içinde olan (Ω, P) bir rassal değişken olarak tanımlansın. O zaman, eğer

${\displaystyle \Pr(X=c)=1,}$

ise X bir nerede ise mutlaka sabit rassal değişken olacaktır. Eğer aynı zamanda

${\displaystyle X(\omega )=c,\quad \forall \omega \in \Omega .}$

ise, X bir sabit rassal değişken olacaktır.

Görüldüğü gibi bir sabit rassal değişken her zaman nerede ise mutlaka sabit bir rassal değişkendir, ancak bunun aksinin gerçekliği her halde gerekli değildir. Çünkü, X nerede ise mutlaka sabit ise o zaman X(γ) ≠ c özelliği olan bir γ ∈ Ω olayı ortada bulunmasını düşünmek mümkündür; (ama bunun olasılığı mutlaka sıfır olacaktır).

Pratik problem çözümleri için X değerinin sabit oluşu ya da nerede ise mutlaka sabit oluşu hiç önemli değildir. Çünkü olasılık kütle fonksiyonu f(x) ve yığmalı dağılım fonksiyonu F(x), X değerinin sabit oluşuna veya nerede ise mutlaka sabit oluşuna bağımlı olmadığı gayet açıktır. Her iki halde de,

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x=c,\\0,&x\neq c.\end{cases}}}$

ve

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1,&x\geq c,\\0,&x<c.\end{cases}}}$

F(x) fonksiyonu bir basamaklı fonksiyon olur.

• Dirac delta fonksiyonu