İçeriğe atla

Bottema teoremi

Bottema'nın teoremi şu şekildedir: , noktasının değişken olduğu bir üçgen olsun. Kareler ve 'ye dışa doğru iliştirilirse, bu karelerin 'nin zıt noktalarının segmentinin orta noktası , sabit bir nokta olacaktır. Özellikle bu, 'ye içe doğru iliştirilmiş karenin orta noktasıdır.

Bottema teoremi, Hollandalı matematikçi Oene Bottema (Groningen, 1901–1992) tarafından matematik literatürüne kazandırılmış olan düzlem geometride bir teoremdir.[1]

Teoremin Açıklaması

Teorem şu şekilde ifade edilebilir; verilen herhangi bir üçgeninde, herhangi iki bitişik kenarda, ve , kareler oluşturulsun. Üçgenin iki kenarının ortak tepe noktası olan 'nin karşısındaki karelerin köşelerini birbirine bağlayan doğru parçasının orta noktası, 'nin konumundan bağımsızdır.[2]

Teorem, kareler aşağıdaki yollardan biriyle oluşturulduğunda doğrudur:

  • Şekle bakarak, sol alt köşe 'dan başlayarak, üçgen köşelerini saat yönünde takip edin ve üçgenin kenarlarının solundaki kareleri oluşturun.
  • Üçgeni aynı şekilde takip edin ve üçgenin kenarlarının sağındaki kareleri oluşturun.

Teoremin İspatı

Teoremin üçgende benzerlikler kullanılarak ispatı.

Benzerlikleri kullanarak ispat

  • olsun.
  • doğru parçası üzerine , , ve diklerini indirelim.
  • , yamuğunun orta tabanıdır, bu nedenle;
'dir.
  • Ayrıca, dik olduğundan ve tümler açılardır ve bu da ve dik üçgenlerini benzer yapar.
  • Benzerlikten faydalanarak;
ve yazılabilir.
  • Bu üç özdeşliği de dikkate alarak aşağıdaki eşitlik elde edilebilir:
Buradan da 'den bağımsız olduğu görülür.
  • ve olduğundan;
yazılabilir.
  • Orta taban (midline) teoremine göre 'dir.
  • Bu nedenle, 'dir.
Bu, 'nin sabit olduğunu, çünkü doğru parçasının orta noktasının "üstünde" sabit bir mesafede olduğunu gösterir.

Vektörler yoluyla ispat

  • Orijinal şekli kullanalım ve , 'nin orta noktası olsun.
  • olsun. Buna göre olur.
  • olsun.
  • Bu nedenle; ve 'dir.
  • Buradan kolayca, ve olduğunu gösterebiliriz.
  • olsun.
  • ve eşitliklerine sahibiz.
  • Sonuç olarak:
bulunur.
  • Bu da ve uzunluğunun sadece ve 'ye, yani 'nin uzunluğuna ve oranına bağlı olduğunu, dolayısıyla 'nin yerinin gerçekten sabit olduğunu gösterir.

Konuyla ilgili yayınlar

  • Sashalmi, É., & Hoffmann, M. (2004). Generalizations of Bottema’s theorem on pedal points. Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae, 31, Makale, ss. 25-31.
  • Zvonko Cerin. (2009). Rings of Squares Around Orthologic Triangles. Makale 14 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., s. 1
  • Nguyen Ngoc Giang. (2018). A New Proof and Some Generalizations of the Bottema Theorem. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM), ISSN 2367-7775, Volume 3, 2018, Makale 25 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., ss. 49-54

Dış bağlantılar

Ayrıca bakınız

Kaynaklar

  1. ^ Ceccarelli, M., (Ed.) (2007). "Oene Bottema (1901–1992)". Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science. History of Mechanism and Machine Science. 1. Dordrecht: Springer. ss. 61-68. doi:10.1007/978-1-4020-6366-4_3. ISBN 978-1-4020-6365-7. 
  2. ^ Shriki (2011), Back to Treasure Island (İngilizce), 104 (9), ss. 658-664 .

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Pisagor teoremi</span> Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı arasındaki bağıntı

Pisagor teoremi veya Pisagor bağıntısı, Öklid geometrisinde üçgenin kenarları arasındaki temel ilişkiyi kuran ilk teoremlerden biridir. Teoreme gerçek hayattan örnek olarak telli çalgıları gösterilebilir; 'telin uzunluğu arttıkça titreşim artar' prensibine dayanır. Pisagor'un denklemi olarak da isimlendirilen bu teorem, a, b ve c kenarlarının arasındaki ilişkiyi şu şekilde açıklar:

<span class="mw-page-title-main">Üçgen</span> üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimi

Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir.

Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur. D'Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Vektör</span> büyüklüğü (veya uzunluğu) ve yönü olan geometrik nesne

Matematik, fizik ve mühendislikte, Öklid vektörü veya kısaca vektör sayısal büyüklüğü ve yönü olan geometrik bir objedir. Vektör, genellikle bir doğru parçası ile özdeşleştirilir. Bir başlangıç noktası A ile bir uç noktası B'yi birleştiren bir ok şeklinde görselleştirilir ve ile belirtilir.

<span class="mw-page-title-main">Ceva teoremi</span> Öklid düzlem geometrisinde bir üçgenin kenar doğru parçası çiftlerinin çarpımlarının oranının bire eşit olduğunu belirten teorem

Ceva Teoremi, herhangi bir ABC üçgeni verildiğinde, A, B ve C'den üçgenin zıt kenarlarına doğru olan doğru parçalarının üçgenin her iki kenarında oluşan doğru parçası çiftlerinin oranlarının çarpımı 1'e eşit olduğunda tek noktada kesiştiğini belirtir. Teorem adını İtalyan matematikçi Giovanni Ceva'dan alır.

<span class="mw-page-title-main">Kosinüs teoremi</span>

Kosinüs teoremi, geometride, üçgen üzerinde iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiş iken bilinmeyen kenarı bulmak amacıyla kullanılan formüldür. Şekil 1'deki üçgene göre kosinüs teoreminin uygulanışı şöyledir:

<span class="mw-page-title-main">Stewart teoremi</span> Bir üçgende kenarların uzunlukları ile bir Cevian uzunluğu arasındaki ilişkiyi açıklayan teorem

Stewart teoremi, geometride, bir üçgenin herhangi bir kenarını kesen doğru ile kesilen kenarın parçaları ve diğer kenarlar arasında kurulan bir bağıntıdır. Matematikçi Matthew Stewart'ın onuruna teorem onun adı ile yayınlanmıştır.

<span class="mw-page-title-main">Tanjant teoremi</span>

Trigonometride tanjant teoremi üçgenin üç kenarının uzunluğu ve açıların tanjantları arasındaki ilişki hakkında bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Thales teoremi (çember)</span>

Çemberlerde Thales teoremi, alınan A, B ve C noktalarının bir çember üzerinde ve AC doğrusunun bu çemberin çapı olması durumunda, ABC açısının dik açı olacağını belirten geometri teoremi. Thales teoremi çevre açı kurallarının özel bir hâlidir. Adını Thales'ten alan teorem, genellikle ona atfedilir ancak bazı yerlerde Pisagor'la da ilişkilendirilir.

Pearson ki-kare testi nicel veya nitel değişkenler arasında bağımlılık olup olmadığının, örnek sonuçlarının belirli bir teorik olasılık dağılımına uygun olup olmadığının, iki veya daha fazla örneğin aynı anakütleden gelip gelmediğinin, ikiden fazla anakütle oranının birbirine eşit olup olmadığının ve çeşitli anakütle oranlarının belirli değere eşit olup olmadığının araştırılmasında kullanılır. İstatistik biliminin çıkarımsal istatistik bölümünde ele alınan iki-değişirli parametrik olmayan test analizlerinden olan ve ki-kare dağılımı'nı esas olarak kullanan ki-kare testlerinden en çok kullanılanıdır. İngiliz istatistikçi olan Karl Pearson tarafından 1900'da ortaya çıkartılmıştır.

Kesirli analiz, matematiksel analiz'in bir koludur. Kesirli analiz, D = d/dx ile gösterilen türev işlemcisi'nin ve J ile gösterilen integrasyon işlemcisi'nin kuvvetlerinin reel sayı veya karmaşık sayı değerler olabilme olanaklarını inceler.

<span class="mw-page-title-main">Thales teoremi</span>

Geometride, Thales teoremi, A, B ve C, AC çizgisinin bir çap olduğu bir daire üzerinde farklı noktalar ise, ∠ABC açısının bir dik açı olduğunu belirtir. Thales teoremi, çevre açı teoreminin özel bir durumudur ve Öklid'in Elemanlar adlı eserinin üçüncü kitabında 31. önermenin bir parçası olarak bahsedilmiş ve kanıtlanmıştır. Genellikle, teoremin keşif için şükran kurbanı olarak bir öküz sunduğu söylenen Miletli Thales'e atfedilir, ancak bazen Pisagor'a da atfedilir.

Matematiksel analizde, M metrik uzay olmak üzere, elemanları M 'de olan her Cauchy dizisinin yine M'de bir limiti varsa,veya alternatif olarak, M'deki her Cauchy dizisi yine M'de yakınsaksa M metrik uzayına tam denir.

<span class="mw-page-title-main">Açıortay teoremi</span> Bir üçgeni bölen iki parçanın göreli uzunlukları hakkında

Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.

<span class="mw-page-title-main">Batlamyus teoremi</span> Öklid geometrisinde bir teorem

Öklid geometrisinde, Batlamyus teoremi, bir kirişler dörtgeninin dört kenarı ile iki köşegeni arasındaki bir ilişkiyi gösteridir. Teorem, Yunan astronom ve matematikçi Batlamyus'un adını almıştır. Batlamyus, teoremi astronomiye uyguladığı trigonometrik bir tablo olan kirişler tablosunu oluşturmaya yardımcı olarak kullandı.

Carnot teoremi, bir üçgenin iç teğet çemberi ve çevrel çemberinin yarıçaplarının uzunlukları ile çevrel çemberin merkezinden üçgenin üç kenarına olan mesafelerin toplamı arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Fransız matematikçi Lazare Nicolas Marguerite Carnot tarafından bulunmuştur.

<span class="mw-page-title-main">Anne teoremi</span>

Fransız matematikçi Pierre-Leon Anne'in (1806-1850) adını taşıyan Anne teoremi, dışbükey dörtgen içindeki belirli alanların eşitliğini tanımlayan Öklid geometrisinden bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">De Gua teoremi</span>

Adını Fransız matematikçi Jean Paul de Gua de Malves'den alan De Gua teoremi, Pisagor teoreminin üç boyutlu bir analojisidir.

Öklid geometrisinde, Erdős–Mordell eşitsizliği herhangi bir üçgeni ve içindeki noktası için, 'den kenarlara olan uzunlukların toplamının, 'den köşelere olan uzunlukların toplamının yarısına eşit veya daha az olduğunu belirten teoremdir. Teorem, adını Macar matematikçi Paul Erdős ve Amerika doğumlu İngiliz matematikçi Louis Mordell'den almıştır. Erdős (1935) eşitsizliği kanıtlama problemini ortaya attı; iki yıl sonra tarafından bir kanıt sağlandı. Ancak bu çözüm çok basit değildi. Sonraki basit ispatlar daha sonra Kazarinoff (1957), Bankoff (1958) ve Alsina & Nelsen (2007) tarafından verilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Euler teoremi (geometri)</span>

Geometride, Euler teoremi, üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve iç teğet çemberinin merkezi arasındaki uzunluğunun aşağıdaki şekilde ifade edildiğini belirtir: