Borel toplamı - Turkipedia

Borel toplamı dizilerin toplamına ilişkin bir genellemedir. Bu terim, herhangi bir toplam değeri olmayan diziler için bile bir büyüklük değeri tanımlayabilmektedir.

Tanım

y=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{-k}

z'de bir resmi üs dizisi olsun ve $y$ 'nin Borel dönüşümü ${\mathcal {B}}y$ aşağıdaki biçimde tanımlansın.

\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k+1}}{k!}}t^{k}

$\scriptstyle {\mathcal {B}}y$ 'nin sıfırdan farklı bir yakınsaklık yarıçapı olduğu,
$\scriptstyle {\mathcal {B}}y$ 'nin $\scriptstyle {\widehat {y}}(t)$ gibi bir işleve tüm pozitif gerçel sayılar için sürdürülebildiği,
$\scriptstyle {\widehat {y}}(t)$ 'nin gerçel sayılar kümesinde en çok üssel hızla büyüdüğü

varsayılsın.

Bu durumda y'nin Borel toplamı, $\scriptstyle {\widehat {y}}(t)$ 'nin Laplace dönüşümüne eşit olur. Bu işlevin var oluşu 3. koşul tarafından güvence altına alınmaktadır.

Geçmiş

Nicholas M. Katz, Émile Borel'in gençliğinden bir anı anlatıyor:

Borel, o zamanlar tanınmayan bir genç, ürettiği toplam yönteminin klasik ıraksak diziler için 'doğru' sonuçlar verdiğini gördü. Bunun üzerine, zamanın karmaşık çözümleme uzmanı Mittag-Leffler'i görmek için Stockholm'e gitmeye karar verdi. Mittag-Leffler, Borel'i nazik bir biçimde dinledikten sonra elini öğretmeni Weierstrass'ın kitabının üzerine koydu ve ekledi: "Usta buna izin vermiyor".^[1]

Uygulamalar

Borel toplamı, fizikçilerin bir dizinin toplamını bulmaya çalıştıkları düzensizlik kuramı çalışmalarında sıkça kullanılmaktadır.

Borel toplamının dizilerden (süreksiz) integrallere (sürekli) dönüşümü şu yolla yapılmaktadır:

\int _{0}^{\infty }s^{-x}f(x)\,dx\rightarrow s\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)t^{x}}{\Gamma (x+1)}}\exp(-st)\,dt\,dx={\frac {F(\ln(s))}{\ln(s)}}

Burada F(s), f(x)'in Laplace dönüşümünü belirtmektedir. Bu ifade

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\omega x}\,dx

türündeki Fourier integrallerine sonlu bir anlam kazandırmaktadır.

Kaynakça

^ Andrianov & Manevitch (2003). Asymptotology: Ideas, Methods, and Applications. Springer. s. 16. ISBN 1402009607.

İlgili Araştırma Makaleleri

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun türevi denir.

Türev, matematikteki ve özellikle diferansiyeldeki temel kavramlardan biridir. Aşağıda temel türev alma kuralları ve bazı fonksiyonların türev kuralları yer almaktadır.

Normal dağılım, aynı zamanda Gauss dağılımı veya Gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen, birçok alanda pratik uygulaması olan, çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesidir.

İntegral, Matematikteki temel işlemlerden biridir. Bu maddede yaygın integrallerin hesaplanışını bulacaksınız.

<span class="mw-page-title-main">Üstel fonksiyon</span>

Üstel işlev veya üstel fonksiyon, matematikte kullanılan işlevlerden biridir. Genel tanımı a^x şeklindedir, burada taban a artı değere sahip bir sabittir ve üst x değişkendir. Çoğunlukla

\text{[math]}

sembolüyle gösterilir. Kimi kitaplarda ise;

\text{[math]}

sembolü kullanılır.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdır. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi θ; diğeri ise şekil parametresi k olarak anılır. Eğer k tam sayı ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre $\text{[math]}$ olur.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Laplace dağılımı Pierre-Simon Laplace anısına isimlendirilmiş bir sürekli olasılık dağılımıdır. Arka arkaya birbiriyle yapıştırılmış şekilde ve bir de konum parametresi dahil edilerek birleştirilmiş iki üstel dağılımdan oluştuğu için, çift üstel dağılımı adı ile de anılmaktadır. İki bağımsız ve tıpatıp aynı şekilde üstel dağılım gösteren bir rassal değişken bir Laplace dağılımı ile işlev görürler. Bu, aynen üstel dağılım gösteren rassal zamanda değerlendirilen Brown devinimine benzer.

Olasılık kuramı içinde herhangi bir rassal değişken için karakteristik fonksiyon, bu değişkenin olasılık dağılımını tüm olarak tanımlar. Herhangi bir rassal değişken X için, gerçel doğru üzerinde, bu fonksiyonu tanımlayan formül şöyle yazılır:

\text{[math]}

Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.

Matematiğin matematiksel fizik alanında ve rassal süreçler teorisinde bir harmonik fonksiyon, Rⁿ'nin U gibi açık bir kümesi üzerinde f : U → R şeklinde tanımlı, Laplace denklemini, yani

\text{[math]}

Koşullu beklenti, koşullu beklenen değer veya koşullu ortalama, olasılık kuramı bilim dalında bir reel değerli rassal değişken için bir koşullu olasılık dağılımı na göre matematiksel beklentidir.

Matematikte integral testi veya bir diğer deyişle yakınsaklık için integral testi, terimleri negatif olmayan sonsuz serilerin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu testin erken bir versiyonu 14. yüzyılda Hint matematikçi Madhava ve takipçileri tarafından bulunmuştur. Avrupa'da ise Maclaurin ve Cauchy tarafından geliştirilmiş olup aynı zamanda Maclaurin-Cauchy testi olarak da bilinir.

Karmaşık analizde kontür integrali veya kontür integrali almak karmaşık düzlemdeki yollar boyunca belli integralleri bulmak için kullanılan bir yöntemdir.

Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların toplamına çevirir.

Gauss integrali, Euler–Poisson integrali olarak da bilinir, tüm reel sayılardaki e^−x² Gauss fonksiyonunun integralidir. Alman matematik ve fizikçi Carl Friedrich Gauss'dan sonra adlandırlıdı. İntegrali şöyledir:

Matematikte ıraksak seri yakınsak olmayan bir sonsuz seridir. Bu, serinin kısmi toplamlarının herhangi bir limit değeri olmadığı anlamına gelmektedir.

Matematiksel çözümlemede Cesàro toplamı bir sonsuz diziye toplam değeri atamanın farklı bir yoludur. Bir dizi A toplamına yakınsıyorsa bu dizinin Cesàro toplamı da A olur. Cesàro toplamı, yakınsamayan dizilere de değer atayabilmektedir. Ne var ki, artı sonsuz değerine yönelen bir dizi hiçbir koşulda sonlu bir toplam değerine sahip olamayacaktır.

Matematikte Gauss fonksiyonu, bir fonksiyon biçimidir ve şöyle ifade edilir:

\text{[math]}

Keyfi bir Gauss fonksiyonunun integrali şöyledir:

\text{[math]}

Matematikte eğer bir serinin terimlerinin mutlak değerlerinin toplamı yakınsak ise bu seri mutlak yakınsak olur. Daha iyi anlatmak gerekirse, gerçek veya karmaşık bir seri olan $\text{[math]}$ serisinin terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan $\text{[math]}$ serisi yakınsak ise bu seri mutlak yakınsaktır. Benzer şekilde eğer bir fonksiyonun has olmayan integrali, $\text{[math]}$ , yine bu fonksiyonun mutlak değerinin integrali olan $\text{[math]}$ sağlanır ise bu integral mutlak yakınsaktır.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.