Süreklilik hipotezine göre bütün sonsuzların eşit olması mümkün değildir. 19. yüzyılın sonunda Alman matematikçi Georg Cantor'un ispatından beri gerçek sayılar kümesinin eleman sayısının, doğal sayılar kümesinin eleman sayısından fazla olduğu bilinmektedir. Bu, gerçek sayılar kümesinin eleman sayısının doğal sayıların alt kümelerinin sayısına eşit olduğu anlamına gelir. Genelde 
ile doğal sayılar kümesinin eleman sayısı ifade edilirken, bu durumda gerçek sayılar kümesinin eleman sayısının 
olduğu görülmektedir. Süreklilik hipotezi, bu iki sonsuzluk arasında başka derecelerde de sonsuzluk olup olmadığı sorusunu sorar.
Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Fonksiyon, 17. yüzyılda matematiğin kavramlarından biri olmuştur. Fizik, mühendislik, mimarlık ve birçok alanda kullanılmaktadır. Galile, Kepler ve Newton hareketlerin araştırılmasında, zaman ve mesafe arasındaki durumu incelemek için fonksiyonlardan faydalanmıştır. Dört işlemden sonra gelen bir işlem türüdür.
Soyut cebir veya soyut matematik, matematiğin bir alanı olup, cebirsel yapılar üzerinde çalışır. Cebirsel yapılar, elemanları üzerinde belirli işlemlerin uygulandığı kümelerdir ve gruplar, halkalar, alanlar, modüller, vektör uzayları, kafesler ve alan üzerindeki cebirler içerir. Soyut cebir terimi, 20. yüzyılın başlarında temel cebirden ayırmak amacıyla türetilmiştir. Soyut cebir ileri matematik için temel hale geldikçe basitçe "cebir" olarak adlandırılırken, "soyut cebir" terimi pedagoji dışında nadiren kullanılır.
Örnekleme istatistikte belirli bir yığından alınan kümeyi ifade eder. Örneğin; Türkiye'deki tüm üniversite sayıları bir yığın iken Ankara'daki üniversite sayısı bu yığından alınmış bir örnektir.
Matematikte permütasyon, n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin k kere yer değiştirme sayısıdır.
Halka, matematikte cebirin temel yapılarından biridir ve soyut cebirde tam sayıların soyutlamasıdır. Bu yapıyı işleyen dala halka kuramı denir. Halkalar diğer bir temel yapı olan grupların üzerine inşa edilir. Her halka, aynı zamanda değişmeli bir gruptur, ama bir halkadan daha fazla özelliği sağlaması istenir. Örneğin halkada grup işlemine ek olarak ikinci bir işlem daha vardır. Halkalara örnek olarak tam sayılar, modülo n sayılar, polinomlar ya da karmaşık sayılar verilebilir.
Çarpma, temel aritmetik işlemlerden biridir. Sayılarda çarpma, çarpılan sayının çarpan sayı kadar adedinin toplamının alınması işlemidir.
Matematikte birim öge, birim eleman, etkisiz eleman veya nötr eleman, bir kümenin özel bir ögesidir. Bir kümede herhangi bir ögeyle işleme girdiğinde yine aynı ögeyi verir. Genel olarak e ile gösterilir.
- Her a
A için öyle bir e A vardır ki ea=ae=a olur.
Öge veya eleman, kümeler kuramında bir kümeye ait olan, fakat aynı zamanda tanımsız terimlerinden biridir. Kümelerin ya da genel olarak sınıfların ögesi olur.
Eğer 
bir kümeyse, 
kümesinden kümesine giden bir fonksiyona kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi 
olarak gösterirsek, 
yerine genellikle 
, 
, 
ya da daha yaygın olarak 
yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her 
için, işlemin sonucu olan elemanının yine kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin, 
ise, 
işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir. Örneğin, 
bir doğal sayı değildir. Öte yandan 
olarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.
Dizi, bir sıralı listedir. Bir küme gibi, ögelerden oluşur. Sıralı ögelerin sayısına dizinin uzunluğu denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Örneğin doğal sayılar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi sonlu olabilir. Ya da tüm çift pozitif tam sayılar gibi sonsuz olabilir.
Küme kuramında, birleşme, bir kümenin tüm ögelerinin topluluğudur ve ∪ ile sembolize edilir.
Vektör uzayı veya Yöney uzayı, matematikte ölçeklenebilir ve eklenebilir bir nesnelerin (vektörlerin) uzayına verilen isimdir. Daha resmî bir tanımla, bir vektör uzayı, iki elemanı arasında vektör toplamasının ve skaler denilen sayılarla çarpımın tanımlı olduğu ve bunların bazı aksiyomları sağladığı kümedir. Skalerler, rasyonal veya reel sayılar kümesinden gelebilir, ama herhangi bir cisim üzerinden bir vektör uzayı oluşturmak mümkündür. Vektör uzayları, skalerlerin geldiği cisime göre reel vektör uzayı, kompleks vektör uzayı veya genel bir cisim üzerinden K vektör uzayı şeklinde adlandırılır.
Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.
Fonksiyonlar, sahip oldukları özelliklere göre sınıflandırılabilir.
Matematiğin kombinatorik dalında, the ninci Bell sayısı, n eleman'lı bir küme'nin parçalanış sayısını verir veya eşdeğeri, benzerlik ilişkisi'dir. B0 = B1 = 1 ile başlar, ilk birkaç Bell sayısı şunlardır:
- 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, ….
Matematikte bir (P, ≤) kısmi sıralı kümesine ait S alt kümesinin üst sınırı, S'nin her elemanına eşit ya da ondan büyük olan P elemanı, alt sınır ise S'nin her elemanına eşit ya da ondan küçük olan P elemanı olarak tanımlanmaktadır. Üst sınırı olan bir küme üstten sınırlı, alt sınırı olan bir küme de alttan sınırlı olarak adlandırılmaktadır.
Cantor teoremi, kümeler teorisinin başlıca teoremlerindendir. Teorem; boş olmayan herhangi bir X kümesinin kuvvet kümesinin kardinalitesinin, X kümesinin kardinalitesinden büyük olduğunu söyler. P(X) ile kuvvet kümesi gösterilirse, teoreme göre X kümesi ile P(X) arasında birebir eşleme yapılamaz.
Birebir örten fonksiyon, matematikte hem birebir hem örten fonksiyon özelliklerini aynı anda gösteren fonksiyonlardır. İki küme arasındaki fonksiyonda 1.kümeden her bir eleman ikinci kümedeki elemanla eşleşir ve her iki kümeden açıkta eleman kalmaz. Örten fonksiyon görüntü kümesinde boşta eleman kalmayacak şekilde eşleşmenin gerçekleştiği, birebir fonksiyon ise her bir elemanın diğer kümenin bir elmanıyla eşleştiği fonksiyondur. Birebir örten fonksiyonlar ise bu iki fonksiyonun özelliklerine aynı anda sahip olan fonksiyonlardır.
