Black modeli

Black modeli ya da Black76 modeli, matematiksel finansta bir opsiyon fiyatlama modelidir. İsmini, bu modeli 1976 yılında yayınlayan^[1] Fischer Black'ten almıştır. Bu opsiyon modelinin sonucunda, halen opsiyon fiyatlamada piyasa katılımcılarınca yoğun olarak kullanılmakta olan Black formülü elde edilmiştir.

Black-Scholes modelinden farklı olarak vadeli işlemler üzerine yazılan opsiyonları fiyatlandırmak için kanıtlanmıştır. LIBOR piyasası modeli gibi daha genel bir model sınıfına uyarlanabilen bir modeldir.

Black formülü ya da Black76 formülü Fischer Black tarafından Black modeli varsayımları altında ispatlanmış ve Black-Scholes formülününne benzeyen bir opsiyon fiyatlama formülüdür. Black modelinde

• ${\displaystyle r}$ risksiz faiz oranı,
• ${\displaystyle T}$ vade zamanı,
• ${\displaystyle K}$ kullanım fiyatı
• ${\displaystyle F}$ dayanak varlığın vadedeki fiyatı
• ${\displaystyle \sigma }$ dayanak varlığa ilişkin volatilite olmak üzere
• ${\displaystyle C(F,T)}$ bir alım opsiyonunun fiyatı
• ${\displaystyle P(F,T)}$ bir satım opsiyonunun fiyatı

olmak üzere şu formüller elde edilir:

${\displaystyle C(F,T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]}$

${\displaystyle P(F,T)=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})].}$

Bu formüllerde

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}},}$

${\displaystyle N(\cdot )}$ ise standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonudur.

Black formülü, Margrabe formülü kullanılarak kolayca türetilebilir. Bu formül, Black-Scholes formülünün basit ama akıllıca bir uygulamasıdır.

Bir vadeli işlem sözleşmesindeki alım sahibinin sözleşme vadesinde elde edeceği miktar fonksiyonu ${\displaystyle \max(0,F(T)-K)}$ olarak yazılabilir. Bu ifade, Margrabe formülünde ilk dayanak varlığın ${\displaystyle e^{-r(T-t)}F(t)}$ olması, ikinci dayanak varlığın ise vade tarihinde 1 lira ödeyen ${\displaystyle K}$ tane risksiz tahvil olması olarak uyarlanabilir. O zaman, vade dolduğunda, opsiyon hakları ilk dayanak varlığın değerinin ikinci dayanak varlığın değerinden yüksek olduğu zaman kullanılacaktır.

Margrabe formülünün varsayımları bu uyarlamayla uyumlu bir haldedir; ancak, kontrol edilmesi gereken tek şey, ilk varlığın gerçekten alım-satımı yapılabilinen varlık olmasıdır. Açıkçası, bu aşağıdaki detaylardan oluşan bir portföy üzerinden rahatlıkla görülebilir:

• teslimat tarihi ${\displaystyle T}$ olan bir forward sözleşmeye uzun pozisyon
• ${\displaystyle F(0)}$ tane risksiz tahvilde uzun pozisyon

Burada not edilmesi gereken nokta, deterministik (yani stokastik olmayan) bir faiz oranı varsayımında, vadeli forward ve futures fiyatlarının eşit olduğu ve bu nedenle burada herhangi bir belirsizlik olmadığıdır. O zaman, daha sonraki herhangi bir ${\displaystyle t}$ zamanında,

• forward sözleşmesindeki yükümlülükten kurtulunup yine aynı vade tarihi olan başka bir forward sözleşmesinde kısa pozisyon alınabilir. Portföyün birinci ayağına dair yapılan bu işlemden elde edilen net gelirin ${\displaystyle t}$ zamanındaki getirisi ${\displaystyle e^{-r(T-t)}[F(t)-F(0)]}$ olacaktır.
• Yine, ${\displaystyle F(0)}$ tane risksiz tahvilde tutulan uzun pozisyon boşaltılır. Her bir tahvilin değeri ${\displaystyle e^{-r(T-t)}}$ olacağından, portföyün ikinci ayağına dair işlemden gelir ${\displaystyle e^{-r(T-t)}F(0)}$ olacaktır.

Sonuç olarak, portföyün bu alım-satım işlerinden doğan toplam ödeniş ${\displaystyle e^{-r(T-t)}F(t)}$ olacaktır ki bu da Margrabe formülüne uyarladığımız ilk varlığın değeridir.

Black formülü üzerinden bir Avrupa tipi opsiyonun risk hassasiyetleri analitik olarak hesaplanabilir.

	Calls	Puts
Prim (${\displaystyle V}$)	${\displaystyle e^{-r\tau }[F\Phi (d_{1})-K\Phi (d_{2})]\ }$	${\displaystyle e^{-r\tau }[K\Phi (-d_{2})-F\Phi (-d_{1})]\,}$
Delta (${\displaystyle \Delta }$) ${\displaystyle =\partial V/\partial F}$	${\displaystyle e^{-r\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -e^{-r\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
Vega (${\displaystyle {\mathcal {V}}}$)	${\displaystyle Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}=Ke^{-r\tau }\varphi (d_{2}){\sqrt {\tau }}\,}$ (*)
Theta (${\displaystyle \Theta }$)	${\displaystyle -{\frac {Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+rFe^{-r\tau }\Phi (d_{1})\,}$	${\displaystyle -{\frac {Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-rFe^{-r\tau }\Phi (-d_{1})\,}$
Ro (${\displaystyle \rho }$)	${\displaystyle -\tau e^{-r\tau }[F\Phi (d_{1})-K\Phi (d_{2})]\ }$	${\displaystyle -\tau e^{-r\tau }[K\Phi (-d_{2})-F\Phi (-d_{1})]\,}$
Gama (${\displaystyle \Gamma }$) ${\displaystyle ={\partial ^{2}V \over \partial F^{2}}}$	${\displaystyle e^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{1})}{F\sigma {\sqrt {\tau }}}}=Ke^{-r\tau }{\frac {\varphi (d_{2})}{F^{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}}\,}$ (*)
Vanna ${\displaystyle ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial F\partial \sigma }}}$	${\displaystyle -e^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {\mathcal {V}}{F}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]\,}$
Vomma	${\displaystyle Fe^{-r\tau }\varphi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}={\mathcal {V}}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}\,}$

(*) ${\displaystyle F\varphi (d_{1})=K\varphi (d_{2})}$ olduğu şöyle gösterilir:

${\displaystyle x=\sigma {\sqrt {\tau }}}$ olsun. O zaman, ${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}}{x}}}$ ve ${\displaystyle d_{1}\cdot x=\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}}$ olur. Bu nedenle, ${\displaystyle \ln(F/K)=d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}}$ ve ${\displaystyle {\frac {F}{K}}=e^{d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$ yazılabilir. O halde,

${\displaystyle {\frac {F}{K}}\cdot {\frac {\varphi (d_{1})}{\varphi (d_{2})}}={\frac {F}{K}}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\cdot {d_{2}}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot {d_{1}}^{2}}=e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\cdot {(d_{1}-x)}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot {d_{1}}^{2}}=e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot (2d_{1}-x)(-x)}=e^{0}=1.}$

Böylelikle, ${\displaystyle F\varphi (d_{1})=K\varphi (d_{2})}$ elde edilir.

• Black-Scholes modeli
• LIBOR piyasası modeli