Birleşme özelliği (küme teorisi)

Küme kuramında, birleşme, bir kümenin tüm ögelerinin topluluğudur ve ∪ ile sembolize edilir.

İki kümenin birleşimi

A ve B kümelerinin birleşimi, A veya B deki veya hem A hem de B deki noktaların topluluğudur. İki kümenin birleşimi şöyle sembolize edilir;

A\cup B=\{x:x\in A\,\,\,{\textrm {or}}\,\,\,x\in B\}

Örneğin; A = {1, 3, 5, 7} ve B = {1, 2, 4, 6} ögelerinden oluşsun. Bu durumda A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Daha açık örnek; A ve B sonsuz iki küme olsun:

A = {x, 1'den büyük çift tam sayı}

B = {x, 1'den büyük tek tam sayı}

A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}

Eğer "x" tek bir ögeden oluşan değişken ve A veya B kümesinde ya da her ikisinde bulunan bir öge olursa, bu durumda x, birleşme ögesi olur.

Kümelerde çoklu ögeler bulunmaz. Bu yüzden, {1, 2, 3} ile {2, 3, 4} kümesinin birleşimi {1, 2, 3, 4}'dür. Kümede veya içinde birden fazla eş (aynı nitelikli) öge bulunursa, öge sayısına sadece tek biri etki eder. 9 sayısı, {2, 3, 5, 7, 11, …} asal sayılar kümesi ile {2, 4, 6, 8, 10, …} çift sayılar kümesinin birleşimi değildir. Çünkü bu iki kümeden hiçbirinin ögesi değildir.

Cebirsel özellikler

İkili birleşme, bir birleşmeli işlemdir. Şöyle sembolize edilir:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

İşlemler herhangi bir sıraya göre gerçekleştirilebilir. Parantezler göz ardı edilebilir. Örneğin; yukarıdaki sembolik eşitlik aynı zamanda şöyle yazılabilir: A ∪ B ∪ C). Benzer şekilde birleşme, değişmelidir. Bu yüzden kümeler herhangi bir sıraya göre yazılabilir.

Boş küme, birleşme işleminde bir birim ögedir. Herhangi bir A kümesi için, A ∪ ∅ = A.

Sonlu birleşimler

Birkaç küme eşzamanlı olarak birleşebilir. Örneğin; A, B ve C kümelerinin birleşimi, A nın tüm ögeleri, B nin tüm ögeleri ve c nin tüm ögelerinden oluşur. Örneğin x, ancak ve ancak, A, B ve C kümelerinden en az birinin ögesi ise bu durumda, "x, A ∪ B ∪ C nin ögesidir" denir.

Matematikte sonlu birleşim, sonlu sayıdaki kümenin birleşimidir. Bu, birleşim kümesinin sonlu küme olacağı anlamına gelmez.

Ayrıca bakınız

İlgili Araştırma Makaleleri

Tam sayılar, sayılar kümesinde yer alan sıfır (0), pozitif yönde yer alan doğal sayılar ve bunların negatif değerlerinden oluşan negatif sayılardan oluşan sayı kümesidir.

Doğal sayılar, $\text{[math]}$ şeklinde sıralanan tam sayılardır ve kimi tanımlamalara göre 0 sayısı da bu kümeye dâhil edilebilir. Aralarında standart ISO 80000-2'nin de bulunduğu bazı tanımlar doğal sayıları $0$ ile başlatır ve bu durum negatif olmayan tam sayılar için $0, 1, 2, 3, ...$ şeklinde bir karşılık bulurken, bazı tanımlamalar $1$ ile başlamakta ve bu da pozitif tam sayılar için $1, 2, 3, ...$ şeklinde bir eşlenik oluşturur. Doğal sayıları sıfır olmadan ele alan metinlerde, sıfırın da dahil edildiği doğal sayılar bazen tam sayılar olarak adlandırılırken diğer bazı metinlerde bu terim, negatif tam sayılar da dahil olmak üzere tam sayılar için kullanılmaktadır. Özellikle ilkokul seviyesindeki eğitimde, doğal sayılar, negatif tam sayıları ve sıfırı dışlamak ve saymanın ayrık yapısını, gerçek sayıların bir karakteristiği olan ölçümün sürekliliğiyle karşıtlık oluşturmak amacıyla sayma sayıları olarak adlandırılabilir.

<span class="mw-page-title-main">Grup teorisi</span> simetrileri inceleyen matematik dalı

Grup teorisi veya Grup kuramı, simetrileri inceleyen matematik dalıdır. Simetri kuramı olarak da adlandırılabilir. Bir nesnenin simetrileri ile kast edilen, nesneye uygulandığında nesneye hiçbir etki olmamış gibi sonuç veren dönüşümlerdir. Her nesnenin en az bir simetrisi vardır: hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü. Bahsettiğimiz dönüşümlerin tersleri de vardır ve aradığımız özellikleri sağlarlar. Son olarak da dönüşümlerin art arda yapılması, birleşimli bir işlemdir. Bu üç koşula sırasıyla birim elemana sahip olma, elemenların tersi olma ve grup işleminin birleşmeli olması denir. Bu kavramların matematikte soyutlanması, üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümeler ile yapılır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir $\text{[math]}$ işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:

Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:

Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Fonksiyon, 17. yüzyılda matematiğin kavramlarından biri olmuştur. Fizik, mühendislik, mimarlık ve birçok alanda kullanılmaktadır. Galile, Kepler ve Newton hareketlerin araştırılmasında, zaman ve mesafe arasındaki durumu incelemek için fonksiyonlardan faydalanmıştır. Dört işlemden sonra gelen bir işlem türüdür.

<span class="mw-page-title-main">Rasyonel sayılar</span>

Rasyonel sayılar, iki tam sayı arasındaki oranı temsil eden, bir pay $p$ ve sıfırdan farklı bir payda $q$ olmak üzere, bir bölme işlemi veya kesir formunda ifade edilebilen sayıları tanımlar. Örneğin, $\text{[math]}$ rasyonel bir sayı olarak kabul edilir, bu kapsamda her tam sayı da rasyonel sayılar kategorisindedir. Rasyonel sayılar kümesi, çoğunlukla kalın harf biçimindeki Q veya karatahta vurgusu kullanılarak $\text{[math]}$ şeklinde ifade edilir.

Grup, soyut cebirin en temel matematiksel yapısıdır. Grup, ayrıca bir ikili işlemin tanımlı olduğu bir kümedir. Bir grubun grup olabilmesi için aynı zamanda bu işlemin birleşmeli, birim elemanlı ve ters elemanlı olması gerekir. Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.

Matematikte birim öge, birim eleman, etkisiz eleman veya nötr eleman, bir kümenin özel bir ögesidir. Bir kümede herhangi bir ögeyle işleme girdiğinde yine aynı ögeyi verir. Genel olarak e ile gösterilir.

Her a

\text{[math]}

A için öyle bir e

\text{[math]}

A vardır ki ea=ae=a olur.

Dizi, bir sıralı listedir. Bir küme gibi, ögelerden oluşur. Sıralı ögelerin sayısına dizinin uzunluğu denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Örneğin doğal sayılar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi sonlu olabilir. Ya da tüm çift pozitif tam sayılar gibi sonsuz olabilir.

Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

Sonsuz, eski Yunanca Lemniscate kelimesinden gelmektedir, çoğunlukla matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan şeyleri ve sayıları tarif etmekte kullanılan soyut bir kavramdır.

Matematikte verilmiş bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu "girdi" değerlerinin oluşturduğu kümedir. Örneğin, kosinüsün tanım kümesi gerçel sayılar olurken karekök fonksiyonunun tanım kümesi 0 ve 0'dan büyük sayıların oluşturduğu negatif olmayan gerçel sayılar kümesidir. Fonksiyonun xy Kartezyen koordinat sistemindeki temsilinde, tanım kümesi x-ekseni (apsis) ile temsil edilir.

Mandelbrot kümesi, Benoit Mandelbrot'un ikinci derece kompleks değişkenli polinomların dinamiklerini açıklamak için geliştirdiği ve incelediği kümedir. Mandelbrot kümesi, karmaşık düzlemin bir fraktal altkümesidir.

Olasılık kuramında olay, kendisine bir olasılık değeri atanan sonuç kümesine verilen addır. Örnek uzayın sonlu olması durumunda bu kümenin herhangi bir altkümesi bir olay oluşturmaktadır. Ne var ki, bu yaklaşım örnek uzayın sonsuza uzandığı durumlarda işe yaramamaktadır. Bu nedenle, olasılık uzayı tanımlamalarında örnek uzayın bazı altkümeleri göz önüne alınmaz.

Matematikte, özellikle soyut cebir ve uygulamalarında, ayrık logaritma, genel logaritmanın grup kuramındaki karşılığıdır. Genel olarak bakıldığında, log_a(b) ifadesi, a^x = b ifadesinin gerçel sayılar kümesi içindeki çözümlerine karşılık gelir. Benzer olarak, g ve h sonlu devirli grup G'nin elemanları olduğunda, g^x = h ifadesinin çözümü olan x sonuçlarına h'nin g tabanındaki ayrık logaritması denir.

Temel aritmetik, aritmetiğin en basit kısmıdır ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme gibi işlemlerden oluşur.

Soyut cebir ve mantıkta, ikili işlemlerin dağılma özelliği, temel cebirdeki dağılma kuralının genelleştirilmesidir.

Matematikte veya daha özel bir ifade ile kümeler kuramında A ve B iki kümesinin kesişimi A ∩ B ile sembolize edilir. Bu, hem A kümesi hem de B kümesinde yalnızca ortak olan ögeleri ifade eder.

Matematiksel analizde, küme üzerindeki bir ölçü, bu kümenin her bir uygun alt kümesine bir sayı atamanın sistematik bir yoludur ve sezgisel olarak kümenin boyutu olarak yorumlanır. Bu anlamda ölçü, uzunluk, alan ve hacim kavramlarının bir genellemesidir. Özellikle önemli bir örnek, Öklid geometrisinin geleneksel uzunluğunu, alanını ve hacmini $n$ -boyutlu Öklid uzayının $R n$ uygun alt kümelerine atayan bir Öklid uzayındaki Lebesgue ölçüsüdür. Örneğin, gerçek sayılardaki $[0, 1]$ aralığının Lebesgue ölçüsü, kelimenin günlük anlamındaki uzunluğudur ve tam olarak 1'dir.

Lineer cebirde, taban, bir vektör uzayını tanımlamak için yeterli vektör kümesidir. Bir $V$ vektör uzayının alt kümesi $B$ bu uzayın tabanıysa, $V$ 'nin tüm elemanları $B$ 'nin elemanlarının biricik sonlu doğrusal birleşimleri şeklinde yazılabilir. Bu doğrusal birleşimlerin katsayıları, vektörün $B$ üzerindeki bileşenleri ya da koordinatları olarak adlandırılır. Taban $B$ 'nin elemanlarına taban vektörleri denir.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.