Birim kök

Zaman serisi modellerinde, otoregresif bir ekonometrik modelde ${\displaystyle y_{t}=a+by_{t-1}+\varepsilon _{t}}$ denklemi için ${\displaystyle |b|\geq 1}$ ise birim kökün varlığından söz edilir. Bu denklemde ${\displaystyle y_{t}}$, ilgili değişkenin t zamanındaki değerini ifade etmektedir.${\displaystyle y_{t-1}}$ ise değişkenin bir önceki dönemde aldığı değeri ifade etmektedir. Denklemde a terimini ihmal ederek ${\displaystyle y_{t-1}}$ içeren ifadeyi sol tarafa atarsak, ${\displaystyle y_{t}-by_{t-1}=\varepsilon _{t}}$ ifadesini elde ederiz. b'nin bir olduğu durumda değişkenin iki dönem arasındaki değeri sağ tarafta kalan rassal bir terime eşit demektir. Bu ise birim kökün varlığı sebebiyle serinin rassal bir sürecin etkisinde olduğunu ifade eder. Serinin dönemler arası değişimi tesadüfi olduğu için uzun dönemde varyansı kovaryansı ve ortalaması sabit olmayacaktır. Dolayısıyla birim kök içeren bir serinin durağan olmadığı söylenir.^[1][2]

Eğer ${\displaystyle y_{t}=\varepsilon _{t}}$ ise ve hata terimi beyaz gürültü(white noise) ise seri durağandır. ${\displaystyle y_{t}=a+by_{t-1}+\varepsilon _{t}}$ burada b=1 seride birim kök vardır ki, birim kök kavramı da bu eşitlikten ileri gelir. ${\displaystyle y_{t}=a+by_{t-1}+\varepsilon _{t}}$ denkleminde gecikmeli terimin sola atılması durumunda oluşacak terim delta Yt dir ki buna da Y nin birinci dereceden farkı denir. Bu denklemde yapılması gereken Yt yerine Y1 Yt-1 yerine de Y0 ın konulmasıdır. Bir sonraki aşamada Y2=Y1+e2=Y0+e1+e2 olacaktır ve Yt dööneminde elimizde Yt=Y0+e1+e2+..+et denklemi olacaktır. Bu da sürekli artan durağan olmayan bir seridir.^[3]