Birim disk

Matematikte açık birim disk, P noktasına (P burada düzlemde belirli bir nokta) uzaklığı 1'den küçük noktalar kümesidir.

${\displaystyle D_{1}(P)=\{Q:\vert P-Q\vert <1\}.\,}$

Kapalı birim disk P noktasına uzaklığı 1'den küçük veya eşit olan noktalar kümesidir.

${\displaystyle {\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|P-Q|\leq 1\}.\,}$

Birim diskler,disklerin ve birim topların özel durumlarıdır. Bundan başka özellikleri olmadan, standart Öklid ölçümü konusunda orijin hakkında açık disk terimi kullanıldı${\displaystyle D_{1}(0)}$. Merkezi orijinde olan dahili çemberin yarıçapı 1'dir. Bu sistem karmaşık sayıların birden az mutlak değeri ile birlikte tanımlanabilir. Karmaşık düzlemin(C), bir alt kümesi olarak görüldüğünde, birim disk genellikle ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ile tanımlanır.

Fonksiyon;

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}}$

Gerçek analitik fonksiyonun ve düzlemdeki açık birim disk fonksiyonunun bir örneğidir. Fonksiyonunun tersi de ayrıca analitiktir. Açık birim disk 2-boyutlu analitik çeşitliliği olduğundan tüm düzlemde eş biçimlidir. Düzlemde belirlenmiş bir yerde, tek morfik yapıdadır. Açık birim disk ve düzlem arasında eşleşebilen birebir kapsayan eşler yoktur. Riemann yüzeyini düşünün; açık birim disk bu nedenle karmaşık düzlemlerden farklıdır. Açık birim disk ve üst yarı düzlem arasında eşleşebilen birebir kapsayan eşler vardır. Yani bir Riemann yüzeyi olarak kabul edilen açık birim disk üst yarı düzlemi(biholomorphic ya da konformal eşdeğer) izomorftur. İkisi genellikle birbirlerinin yerine kullanılır. Daha genel olarak, Riemann'ın eşleşme teoremi,karmaşık düzlemin basit bağıntılı açık alt kümesini karmaşık düzlemden farklı olarak tanımlar. Açık birim diski kapsayan eşleşebilen bir üst yarı düzlem Möbius dönüşümü'dür.

${\displaystyle g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}}$  

Cayley dönüşümünün tersidir. Geometrik olarak,eğri ve daralmış gerçek bir sanal eksen üst yarı düzlem, diskin içi ve reel eksen formundaki diskin çevresini merkez bir noktada (sonsuzdaki bir noktada)korumak için hayal edilebilir. Açık üst yarı düzleme, açık birim diskten bir eşleşebilen birebir kapsayan eşler birbirlerine iki stereografik projeksiyonların kompozisyonu olarak yapılandırılabilirler. İlk olarak; birim disk stereografik birim üst yarım küre üzerine yukarı yansıtılır ve birim kürenin tahmin merkezi olarak güney kutbu esas alınır.Ve sonra bu yarım küre dikey yarı düzlem tahmin merkezi olarak kabul edilir ve yanları da bu yöntemle tahmin edilebilir. Birim disk ve üst yarı düzlem kendi aralarında Hardy uzayı için görüntü kümesi olarak değiştirilemezler. Gerçek çizgileri olmadığından Lebesgue ölçümüne göre; bu farka katkı sağlamak birim çemberin gerçekte sonlu(1-boyutlu) olduğudur.

Açık birim disk yaygın olarak, üzerinde yeni bir ölçüm (Poincare metric) tanımlanarak hiperbol düzleminin bir modeli olarak kullanıldı. Yukarıda bahsedilen açık birim disk ve üst yarı düzlem arasında eşleşebilenler kullanılarak, bu model, hiperbolik düzlemin Poincare yarı düzlem modeline dönüştürülebilir. Poincare disk ve Poincare yarı düzlemi hiperbolik uzayın birbirine eşleşebilen modelleridir. Rastlanan ölçülmüş açılarla hiperbolik uzaydaki açılar ve korunan küçük figürlerin şekilleri (fakat boyutları değil) buna örnektir. Hiperbolik uzayın başka bir modeli ise açık birim disk üzerine kurulan Klein modelidir. Bunlar birbirleriyle eşleşmezler. Fakat, bu model hiperbolik uzaydaki düz doğrulara karşılık gelen öncelikli düz doğrulara sahiptir.

Diğer ölçümlerle ilgili ayrıca birim disklerde düşünülebilir. Örneğin; taxicab ölçümüyle birlikte ve Chebyshev ölçümü diskleri kare gibidir (bir Öklid metriği olarak topolojinin temeli olsa bile). Öklid birim diskinin alanı π ve eni 2π'dir. Buna karşıt olarak taxicab ölçüm ile ilişkili birim diskin eni, taxicab geometrisinde 8'dir. Stanislaw Golab, 1932'de bir normdan kaynaklanan ölçümde birim diskin eni 6 ile 8 arasında herhangi bir değer alınabileceğini kanıtlamıştır ve bu uç değerler ancak ve ancak birim diskin düzenli bir hegzagon ve paralelogram olduğunu elde etmiştir.