İçeriğe atla

Birebir örten fonksiyon

Birebir örten fonksiyon, f: X › Y, X kümesi {1, 2, 3, 4} ve Y kümesi {A, B, C, D} olsun. Örneğin, f(1) = D olarak ifade edilir.

Birebir örten fonksiyon, matematikte hem birebir hem örten fonksiyon özelliklerini aynı anda gösteren fonksiyonlardır. İki küme arasındaki fonksiyonda 1.kümeden her bir eleman ikinci kümedeki elemanla eşleşir ve her iki kümeden açıkta eleman kalmaz. Örten fonksiyon görüntü kümesinde boşta eleman kalmayacak şekilde eşleşmenin gerçekleştiği, birebir fonksiyon ise her bir elemanın diğer kümenin bir elmanıyla eşleştiği fonksiyondur. Birebir örten fonksiyonlar ise bu iki fonksiyonun özelliklerine aynı anda sahip olan fonksiyonlardır.

Birebir örten fonksiyonlar terslenebilir özelliktedir ve bu tip fonksiyonlara permütasyon ismi verilir.

Tanım

"X" ve "Y" (burada Y nin X den farklı olmasına gerek yoktur) arasında bir eşleşme için bir dört nokta olmalıdır:

  1. X kümesinin her bir elemanı en az bir Y elemanı ile eşleştirilmelidir,
  2. X kümesinin elemanları birden fazla Y elemanı ile eşleştirilemez,
  3. Y kümesinin her bir elemanı en az bir X elemanı ile eşleştirilmelidir; ve
  4. Y kümesinin hiçbir elemanı birden fazla X elemanı ile eşleşmemelidir.

Örnekler

Spor müsabakalarında başlangıç

Bir futbol takımını ele alalım. Başlangıçta çeşitli pozisyonlarda 11 oyuncu sahaya çıkacaktır. Antrenör liste üzerinden yerleşimini yapar. Buna göre;

  1. Her sporcu 11 kişilik listede yer almıştır.
  2. Listedeki pozisyonların (kaleci, stoper, forvet) tamamı doludur.
  3. Hiçbir sporcu iki ayrı pozisyona yazılmamıştır.
  4. Hiçbir pozisyonda birden fazla sporcu bulunmamıştır.

Sınıftaki öğrenciler

Bir sınıfta belli sayıda sandalye vardır. Bir grup öğrenci odaya girer ve öğretmen hepsine oturmasını söyler. Odaya hızlı bir şekilde baktıktan sonra, öğretmen, öğrenci grubu ile koltuk kümesi arasında sayıca eşitlik bulunduğunu ve burada her bir öğrencinin oturduğu koltuk ile eşleştirildiğini bildirir. Sonuç;

  1. Her öğrenci bir sandalyeye oturmuştur. (Ayakta kalan yoktur)
  2. Hiçbir öğrenci birden fazla sandalye işgal etmemektedir.
  3. Tüm sandalyeler dolmuştur (boş sandalye kalmamıştır)
  4. Hiçbir sandalyeye birden fazla öğrenci oturmamıştır.

Tersinme

Birebir örten fonksiyonların ters fonksiyonu vardır ve buna tersinme özelliği denir.

Özellikleri

Solda birebir, sağda örten fonksiyondan oluşan birebir örten fonskiyon.
  • f fonksiyonu; R → R, birebir ve örten ise koordinat sisteminin yatay ve düşey eksenlerini yalnızca birer defa keser.
  • Birebir örten fonksiyonlar için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.
|f(A)| = |A| ve |f−1(B)| = |B|.
  • X ve Y sonlu kümeler olsun. f: X → Y için ;
1. f fonksiyonu birebir ve örtendir.
2. f fonksiyonu birebirdir.
3. f fonksiyonu örtendir.

Birebir örtenlik ve kısmi fonksiyonlar

Bir kısmi fonksiyon.

Kısmi fonksiyonlar için birebir olmaları yeterli olmasından ötürü, her birebir örten fonksiyon aynı zamanda kısmi fonksiyondur. Bir tabandaki tüm kısmi birebir örten kümesine simetrik ters grup denir.[1] Kısmi fonksiyonlar aynı tabandaki kümelerde olduğunda genellikle birebir kısmi dönüşümler (transformasyonlar) olarak adlandırılır.[2] Bu tanıma bir örnek olarak, genişletilmiş karmaşık düzlemin tamamlanması yerine basitçe karmaşık düzlem üzerinde tanımlanan Möbius dönüşümü gösterilebilir.[3]

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

Kaynakça

  1. ^ Christopher Hollings (16 Temmuz 2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. s. 251. ISBN 978-1-4704-1493-1. 15 Aralık 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Ocak 2017. 
  2. ^ Pierre A. Grillet (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. s. 228. ISBN 978-0-8247-9662-4. 24 Aralık 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Ocak 2017. 
  3. ^ John Meakin (2007). "Groups and semigroups: connections and contrasts". C.M. Campbell, M.R. Quick, E.F. Robertson, G.C. Smith (Ed.). Groups St Andrews 2005 Volume 2. Cambridge University Press. s. 367. ISBN 978-0-521-69470-4.  preprint 30 Ağustos 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. citing Lawson, M. V. (1998). "The Möbius Inverse Monoid". Journal of Algebra. 200 (2). s. 428. doi:10.1006/jabr.1997.7242. 

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Topoloji</span>

Topoloji, matematiğin ana dallarından biridir. Yunancada yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs ür.

<span class="mw-page-title-main">Süreklilik</span> kesinti veya kopukluk eksikliği; uzayda veya zamanda sürekli olma niteliği

Matematikte, süreklilik, girdisi yeterince küçük miktarda değiştiğinde çıktısı da küçük miktarda değişen fonksiyonları ifade eder. Tek değişkenli gerçel fonksiyonlar için, "grafiğini el kaldırmadan çizebilme" şartının soyutlanmasıyla ulaşılmış bir kavramdır. Bunun geçerli olmadığı fonksiyonlara süreksiz fonksiyon denir.

Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Fonksiyon, 17. yüzyılda matematiğin kavramlarından biri olmuştur. Fizik, mühendislik, mimarlık ve birçok alanda kullanılmaktadır. Galile, Kepler ve Newton hareketlerin araştırılmasında, zaman ve mesafe arasındaki durumu incelemek için fonksiyonlardan faydalanmıştır. Dört işlemden sonra gelen bir işlem türüdür.

Eğer bir kümeyse, kümesinden kümesine giden bir fonksiyona kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi olarak gösterirsek, yerine genellikle , , ya da daha yaygın olarak yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her için, işlemin sonucu olan elemanının yine kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin, ise, işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir. Örneğin, bir doğal sayı değildir. Öte yandan olarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.

Bileşke fonksiyon, matematikte bir işlevdir.

<span class="mw-page-title-main">Birebir fonksiyon</span>

Matematikte birebir fonksiyon, eşitlikleri birbirine haritalayan bir fonksiyondur.

<span class="mw-page-title-main">Küme</span> matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir.

Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Karmaşık analiz</span>

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

<span class="mw-page-title-main">Karmaşık düzlem</span>

Matematikte karmaşık düzlem, gerçel eksen ve ona dik olan sanal eksen tarafından oluşturulmuş, karmaşık sayıların geometrik bir gösterimidir. Karmaşık sayının gerçel kısmının x-ekseni boyuncaki yer değiştirmeyle, sanal kısmının ise y-eksenindeki yer değiştirmeyle temsil edildiği değiştirilmiş bir Kartezyen düzlem olarak düşünülebilir.

<span class="mw-page-title-main">Açıkorur gönderim</span>

Matematikte açıkorur gönderim ya da açıkorur dönüşüm tanımlı olduğu kümenin her noktasında yerel olarak açıları koruyan bir fonksiyona verilen addır. Bu tanımı haliyle, açıkorur gönderimlerin her zaman uzunlukları koruması ya da yönleri koruması beklenmez.

<span class="mw-page-title-main">Tanım kümesi</span> işlevin tanımlandığı "giriş" veya bağımsız değişken değerleri kümesi

Matematikte verilmiş bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu "girdi" değerlerinin oluşturduğu kümedir. Örneğin, kosinüsün tanım kümesi gerçel sayılar olurken karekök fonksiyonunun tanım kümesi 0 ve 0'dan büyük sayıların oluşturduğu negatif olmayan gerçel sayılar kümesidir. Fonksiyonun xy Kartezyen koordinat sistemindeki temsilinde, tanım kümesi x-ekseni (apsis) ile temsil edilir.

<span class="mw-page-title-main">Görüntü kümesi</span>

Matematikte görüntü kümesi bir fonksiyonun tüm girdi değerlerinin kümesinin veya daha kesin bir söylemle tanım kümesinin tüm elemanlarının fonksiyon tarafından gönderildiği kümedir.

<span class="mw-page-title-main">Ters fonksiyon</span>

Matematikte ters fonksiyon, bir fonksiyonun görüntü kümesinden alınan herhangi bir elemanını tanım kümesindeki aslına gönderen fonksiyona denir. Bir fonksiyonun tersi, fonksiyon birebir ve örten ise tanımlı olabilir. Ters fonksiyon ile gösterilir. Ancak yalnızca bir gösterim olup, "f(x) fonksiyonunun çarpmaya göre tersi" ile karıştırılmamalıdır.

Fonksiyonlar, sahip oldukları özelliklere göre sınıflandırılabilir.

Matematiğin bir alt dalı olan fonksiyonel analizde, doğuran çekirdekli Hilbert uzayı noktasal değerlemenin bir sürekli doğrusal fonksiyonel olduğu bir fonksiyonlar Hilbert uzayıdır. Burada, fonksiyonlar Hilbert uzayından kasıt, bahsi geçen uzayın öğelerinin fonksiyonlar olduğudur. Yani söz konusu uzay bir fonksiyon uzayıdır; bununla birlikte aynı zamanda Hilbert uzayı özelliği de taşımaktadır. Benzer bir şekilde, bu tür uzaylar doğuran çekirdekler tarafından da tanımlanabilirler. Bu terimi ilk defa ve aynı zamanda Nachman Aronszajn (1907–1980) ve Stefan Bergman (1895–1977) adlı matematikçiler 1950'de ortaya atıp geliştirmişlerdir.

Matematikte fonksiyon uzayı bir X kümesinden bir Y kümesine tanımlı fonksiyonların oluşturduğu kümeye verilen bir addır. Fonksiyonlar kümesi yerine fonksiyon uzayı denilmesinin nedeni matematiğin kendi içindeki uygulamalarında bu kümenin genellikle topolojik uzay veya vektör uzayı olarak ortaya çıkmasıdır.

Cantor teoremi, kümeler teorisinin başlıca teoremlerindendir. Teorem; boş olmayan herhangi bir X kümesinin kuvvet kümesinin kardinalitesinin, X kümesinin kardinalitesinden büyük olduğunu söyler. P(X) ile kuvvet kümesi gösterilirse, teoreme göre X kümesi ile P(X) arasında birebir eşleme yapılamaz.

Eşyapı ya da izomorfizma (ya da izomorfi), aynı kategoride(grupta) olan benzer iki matematiksel obje arasında bir gönderim olup matematiksel vücut tersi yapıda da muhafaza edilir. Aralarında bu şekilde eşyapı bulunan objelere eşyapısal ya da izomorf(ik) objeler denir. Örneğin iki küme arasında eşyapı, birebir, örten bir gönderimdir. Kümelerin üzerinde elemanlara sahip olma haricinde bir oluşum olmadığından, eşyapı gönderiminin koruyacağı başka bir yapı yoktur. Soyut cebirde iki grup arasında bir eşyapı, birebir, örten bir gönderimdir; dahası, iki gruptaki işleme saygı gösterir, bu iki işlemin birbirleriyle etkileşim halinde olmasını sağlar.

<span class="mw-page-title-main">Örten fonksiyon</span>

Örten fonksiyon, matematikte, X kümesinden Y kümesine tanımlı bir f fonksiyonunda, X kümesindeki her x elemanı için Y kümesindeki y elemanlarının tamamının olduğu fonksiyon türü. Tanım kümesindeki elemanların tamamı, değer kümesindeki elemanların tamamıyla eşleştiği örten fonksiyonlarda, değer kümesi ile görüntü kümesi birbirine eşittir.

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.


Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.