Binom açılımı - Turkipedia

Matematikte binom açılımı, iki sayının toplamının üslü ifadesinin cebirsel açılımıdır. Teoreme göre, (x + y)ⁿ formatında yazılmış bir polinom, b,c $\geq$ 0, b +c = n, ax^by^c formatındaki terimlerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu ifadede b,c,n $\in$ N, b $\geq$ 0, c $\geq$ 0, b+c=n, a> 0 koşulları sağlanmalıdır.

a katsayısı binom katsayısı olarak da bilinir. Verilen n ve b değerlerine göre değişiklik gösteren bu katsayı Pascal üçgeninden elde edilebilir. Bu katsayı aynı zamanda kombinasyonla ${\binom {n}{b}}$ veya ${\binom {n}{c}}$ şeklinde ifade edildiğinde ise n sayılı bir kümeden seçilen b elemanın kombinasyonunun sayısını gösterir.

Tarihçe

Binom teoreminin bazı özel formları MÖ 4. yüzyılda Yunan matematikçi Öklid'in üs 2 iken binom teoreminden bahsettiğinden beri bilinmektedir. Hindistanda ise kübik üsler için binom teoreminin bilindiğine dair bazı kanıtlar bulunmaktadır.^[1]^[2]

Hint matematikçiler aynı zamanda binom katsayısını kombinasyonla ifade etmeye de çalışmışlardır. Bu yaklaşımdan ilk kez Hint fizikçi Pingala'nın Chandaḥśāstra adlı eserinde görülmüş ve çözümü için metot gösterilmiştir.^[3] Halayudha 10. yüzyılda bunu bugün Pascal üçgeni olarak bilinen yöntemi kullanarak açıklar. Hint matematikçilerin 6. yüzyıldan itibaren bunu bir katsayı olarak ifade ettikleri tahmin edilmektedir ve bunun $\left({\frac {n!}{(n-k)!k!}}\right)$ şeklinde yazıldığına 12. yüzyılda Bhāskara'nın yazdığı Lilavati'de rastlanır.^[4]

Temel binom açılımı

n bir doğal sayı iken,

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}

(sigma)

Burada ${n \choose k}$ , $n$ 'nin $k$ 'li kombinasyonudur.

{n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}

Genelleştirilmiş binom açılımı

Kombinasyon tanımı gerçel ve karmaşık sayıları kapsayacak şekilde genelleştirildiği takdirde;

{r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}

$n$ 'in bir doğal sayı olma şartı ortadan kalkar.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem". Wolfram MathWorld.
^ Coolidge, J. L. (1949). "The Story of the Binomial Theorem". The American Mathematical Monthly. 56 (3): 147–157. doi:10.2307/2305028. JSTOR 2305028.
^ Jean-Claude Martzloff; S.S. Wilson; J. Gernet; J. Dhombres (1987). A history of Chinese mathematics. Springer.
^ Biggs, N. L. (1979). "The roots of combinatorics". Historia Math. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.

İlgili Araştırma Makaleleri

Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır.

Korelasyon, olasılık kuramı ve istatistikte iki rassal değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü belirtir. Genel istatistiksel kullanımda korelasyon, bağımsızlık durumundan ne kadar uzaklaşıldığını gösterir.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, binom dağılımı n sayıda iki kategori (yani başarı/başarısızlık, evet / hayır, 1/0 vb) sonucu veren denemelere uygulanır. Araştırıcının ilgi gösterdiği kategori başarı olarak adlandırılır. Bu türlü her bir deneyde, bağımsız olarak, başarı (=evet=1) olasılığının p olduğu (ve yalnızca iki kategori sonuç mümkün olduğu için başarısızlık olasılığının 1 - p olduğu) bilinir. Bu türlü bağımsız n sayıda denemeler serisi içinde elde edilen başarı sayısının ayrık olasılık dağılımı binom dağılım olarak tanımlanır. Bir binom dağılım sadece iki parametre ile, yani n ve p ile tam olarak tanımlanır. Matematik notasyon olarak bir rassal değişken X binom dağılım gösterirse şöyle ifade edilir:

X ~ B(n,p)

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında geometrik dağılım şu iki şekilde ifade edilebilen ayrık olasılık dağılımıdır:

Bütün tam sayılar setine, yani { 1, 2, 3, .... } üzerine, bağlı olarak X sayıda Bernoulli denemesinde ilk başarıyı elde etmenin olasılık dağılımı; veya
Bütün tam sayılar setine, yani {1, 2,3, ....} üzerine, bağlı olarak ilk başarıyı elde etmeden Y = X − 1 başarısızlık sayısı olasılık dağılımı.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında negatif binom dağılım bir ayrık olasılık dağılım tipi olup Pascal dağılımı ve Polya dağılımı bu dağılımın özel halleridir.

Bayes teoremi, olasılık kuramı içinde incelenen önemli bir konudur. Bu teorem bir rassal değişken için olasılık dağılımı içinde koşullu olasılıklar ile marjinal olasılıklar arasındaki ilişkiyi gösterir. Bu şekli ile Bayes teoremi bütün istatistikçiler için kabul edilir bir ilişkiyi açıklar. Bu kavram için Bayes kuralı veya Bayes savı veya Bayes kanunu adları da kullanılır.

Matematikte Cauchy çarpımı, $\text{[math]}$ ve $\text{[math]}$ gibi iki dizinin

\text{[math]}

Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir.

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür, $\text{[math]}$

El-Kereci veya Ebu Bekir bin Muhammed bin el Hüseyin el-Kereci Cebir'i geometrik işlemlerin sınırlarından kurtararak, günümüz matematiğinde kullanılan cebirin çekirdek yapısını oluşturan 10. yüzyıl İranlı Müslüman matematikçi ve mühendisdir. Üç büyük çalışması Al-Badi' fi'l-hisab, Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala ve Al-Kafi fi'l-hisab 'tır.

İskenderiyeli Menelaus'a izafe edilen Menelaus teoremi düzlemsel geometride üçgenler üzerine bir teoremdir. $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ve $\text{[math]}$ noktalarından oluşan $\text{[math]}$ üçgeninde $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ve $\text{[math]}$ doğruları üzerinde bulunan ve üçgenin köşelerinden ayrık $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ve $\text{[math]}$ noktalarının aynı doğru üzerinde olabilmesi ancak ve ancak:

\text{[math]}

Katalan sayıları, kombinatorik matematikte birçok problemin çözümünde kullanılabilen özel bir sayı dizisi. Adını Belçikalı matematikçi Eugène Charles Catalan(1814-1894)’dan alan bu dizinin terimleri,

\text{[math]}

Paillier şifrelemesi , 1999’da Pascal Paillier tarafından geliştirilen olasılıksal açık anahtarlı şifreleme yöntemidir. n’inci kök sınıflarını hesaplamanın zorluğunu kullanan Paillier şifreleme sistemi, kararsal bileşik kök sınıfı varsayımı üzerine kurulmuştur. Sistem, toplama işlemine göre homomorfik özellik gösterir; yani sadece açık anahtarı, $\text{[math]}$ ve $\text{[math]}$ ’nin şifrelemesini kullanarak $\text{[math]}$ ’nin şifrelenmiş hâli hesaplanabilir.

Matematikte katsayı, polinomun bazı terimlerinde, herhangi bir ifadenin bir serisindeki çarpma faktörüdür. Genellikle bir sayıdır fakat ifadede herhangi bir değişken de olabilir. Örneğin;

\text{[math]}

Geometride, Thales teoremi, A, B ve C, AC çizgisinin bir çap olduğu bir daire üzerinde farklı noktalar ise, ∠ABC açısının bir dik açı olduğunu belirtir. Thales teoremi, çevre açı teoreminin özel bir durumudur ve Öklid'in Elemanlar adlı eserinin üçüncü kitabında 31. önermenin bir parçası olarak bahsedilmiş ve kanıtlanmıştır. Genellikle, teoremin keşif için şükran kurbanı olarak bir öküz sunduğu söylenen Miletli Thales'e atfedilir, ancak bazen Pisagor'a da atfedilir.

Öklid'in teoremi, sayılar teorisinde temel bir ifade olup sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ileri sürer. Teoremin iyi bilinen farklı ispatları bulunmaktadır.

Carnot teoremi, bir üçgenin iç teğet çemberi ve çevrel çemberinin yarıçaplarının uzunlukları ile çevrel çemberin merkezinden üçgenin üç kenarına olan mesafelerin toplamı arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Fransız matematikçi Lazare Nicolas Marguerite Carnot tarafından bulunmuştur.

Adını İtalyan matematikçi Federico Commandino (1509-1575)'dan alan Commandino teoremi, bir dört yüzlünün dört kenarortayının, onları $\text{[math]}$ oranında bölen bir $\text{[math]}$ noktasında kesiştiğini belirtir. Bir dört yüzlüde kenarortay, tepe noktasını karşı yüzün ağırlık merkeziyle, yani karşı üçgenin ağırlık merkeziyle birleştiren bir doğru parçasıdır. $\text{[math]}$ noktası aynı zamanda dört yüzlünün (tetrahedron) ağırlık merkezidir.

Öklid geometrisinde, Erdős–Mordell eşitsizliği herhangi bir $\text{[math]}$ üçgeni ve $\text{[math]}$ içindeki $\text{[math]}$ noktası için, $\text{[math]}$ 'den kenarlara olan uzunlukların toplamının, $\text{[math]}$ 'den köşelere olan uzunlukların toplamının yarısına eşit veya daha az olduğunu belirten teoremdir. Teorem, adını Macar matematikçi Paul Erdős ve Amerika doğumlu İngiliz matematikçi Louis Mordell'den almıştır. Erdős (1935) eşitsizliği kanıtlama problemini ortaya attı; iki yıl sonra tarafından bir kanıt sağlandı. Ancak bu çözüm çok basit değildi. Sonraki basit ispatlar daha sonra Kazarinoff (1957), Bankoff (1958) ve Alsina & Nelsen (2007) tarafından verilmiştir.

Kalkülüste, Rolle teoremi veya Rolle lemması temel olarak, iki farklı noktada eşit değerlere sahip herhangi bir gerçel değerli türevlenebilir fonksiyonun, aralarında bir yerde, teğet doğrusunun eğiminin sıfır olduğu en az bir noktaya sahip olması gerektiğini belirtir. Böyle bir nokta, durağan nokta olarak bilinir. Bu nokta, fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu noktadır. Teorem adını Michel Rolle'den almıştır.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.