Matematikte reel sayılar kümesi, Fransızca réel “gerçek” den gelmektedir. Oranlı sayılar kümesinin evrim sürecinden elde edilen bir varsayım kombinasyonudur. Reel sayılar kümesi 
sembolüyle gösterilir.
Matematik'te aritmetiğin temel teoremi, aynı zamanda benzersiz çarpanlara ayırma teoremi ve asal çarpanlara ayırma teoremi olarak da adlandırılır, şunu belirtir: 1'den büyük her tamsayı, benzersiz bir şekilde asal sayıların üslerinin çarpımı olarak gösterilebilir.
Bir asal sayı, yalnızca 1'den büyük olup kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilemeyen bir doğal sayıdır. 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı adı verilir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır çünkü onu bir çarpım olarak ifade etmenin mümkün olan yolları, 1 × 5 veya 5 × 1, yalnızca 5 sayısını içermektedir. Ancak, 4 bir bileşik sayıdır çünkü bu, her iki sayının da 4'ten küçük olduğu bir çarpım şeklindedir. Asal sayılar, aritmetiğin temel teoreminden ötürü sayı teorisi alanında merkezi öneme sahiptir: 1'den büyük her doğal sayı, ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıralamalarından bağımsız bir şekilde, benzersiz olarak çarpanlarına ayrılabilir.
İkiz asallar, aralarındaki fark 2 olan asal sayılar. Örneğin 3-5, 5-7, 11-13 ikiz asallardır. 2-3 çifti hariç iki asal sayı arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir.
Fermat'nın küçük teoremine göre her p asal sayısı, a tam sayı olmak üzere, her a p − a sayısını böler. Bu, modüler aritmetik sembolleriyle
RSA, güvenliği tam sayıları çarpanlarına ayırmanın algoritmik zorluğuna dayanan bir tür açık anahtarlı şifreleme yöntemidir. 1978’de Ron Rivest, Adi Shamir ve Leonard Adleman tarafından bulunmuştur. Bir RSA kullanıcısı iki büyük asal sayının çarpımını üretir ve seçtiği diğer bir değerle birlikte ortak anahtar olarak ilan eder. Seçilen asal çarpanları ise saklar. Ortak anahtarı kullanan biri herhangi bir mesajı şifreleyebilir, ancak şu anki yöntemlerle eğer ortak anahtar yeterince büyükse sadece asal çarpanları bilen kişi bu mesajı çözebilir. RSA şifrelemeyi kırmanın çarpanlara ayırma problemini kırmak kadar zor olup olmadığı hala kesinleşmemiş bir problemdir.
Collatz sanısı, Lothar Collatz tarafından ortaya atılan, 1'den büyük tüm doğal sayıların 1'e indirebildiğini anlatan bir konjektür. Ancak daha kesinleşememiştir. Çünkü; 268 ≈ 2.951×1020. sayısına kadar olan sayılar, ancak kanıtlanabildi. Bu sayı ve daha yüksekleri ise daha hâlâ matematikçiler tarafından uğraşılmaktadır.
Matematiğin kombinatorik dalında, the ninci Bell sayısı, n eleman'lı bir küme'nin parçalanış sayısını verir veya eşdeğeri, benzerlik ilişkisi'dir. B0 = B1 = 1 ile başlar, ilk birkaç Bell sayısı şunlardır:
- 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, ….
ElGamal imza şeması Ayrık Logaritmanın hesaplanmasının zorluğuna dayanan bir dijital imzadır. Tahir el-Cemal tarafından 1984 yılında bulunmuştur. Açık anahtarlı kriptosistemi ve imza şeması ayrık logaritmaya dayanmaktadır.
Rabin şifreleme sistemi, Rabin kriptoloji veya Rabin kriptosistemi, güvenliği RSA'daki gibi tam sayı çarpanlarına ayırmanın zorluğu üzerine kurgulanmış olan asimetrik bir kriptografik tekniktir. Bununla birlikte, Rabin kriptosisteminin avantajı, saldırgan tam sayıları verimli bir şekilde çarpanlarına ayıramadığı sürece, seçilmiş bir düz metin saldırısına karşı hesaplama açısından güvenli olduğu matematiksel olarak kanıtlanmıştır, oysa RSA için bilinen böyle bir kanıt yoktur. Rabin fonksiyonunun her çıktısının dört olası girdiden herhangi biri tarafından üretilebilmesi dezavantajı; her çıktı bir şifreli metinse, olası dört girdiden hangisinin gerçek düz metin olduğunu belirlemek için şifre çözmede ekstra karmaşıklık gerekir.
Goldwasser–Micali (GM) kriptosistemi 1982 yılında Shafi Goldwasser ve Silvio Micali tarafından geliştirilmiş bir asimetrik anahtar şifreleme algoritmasıdır. GM standart kriptografik varsayımlar altında güvenliği kanıtlanmış ilk probabilistik açık anahtar şifreleme yöntemidir. Bununla birlikte başlangıç düz metinden yüzlerce kez daha geniş olan şifreli metinler olduğundan verimli bir kriptosistem değildir. Kriptosistemin güvenlik özelliğini kanıtlamak için Shafi Goldwasser ve Silvio Micali anlamsal güvenliğin geniş alanda kullanılan bir tanımını önerdiler.
Merkle-Hellman kripto sistemi, 1978 yılında Martin Hellman ve Ralph Merkle tarafından geliştirilen ilk açık anahtarlı kriptosistemlerden biridir. RSA'dan daha hızlı gerçekleştirilebilmesine rağmen Adi Shamir tarafından 1982'de güvensiz olduğu gösterilmiştir.
Jacobi sembolü Legendre sembolünün bir genellemesidir. 1837 yılında Jacobi tarafından tanıtılan bu teori, modüler aritmetik ve sayılar teorisinin diğer dallarındandır ama ana kullanımı hesaplamada sayılar teorisi, özellikle asallık testi ve tam sayıları çarpanlara ayırma olarak kriptografide oldukça önemlidir.
Primoriyel, matematikte ve bilhassa sayı teorisinde doğal sayılardan doğal sayılara tanımlanmış faktöriyele benzer şekilde art arda pozitif tam sayıları çarpacağı yerde sadece asal sayıları çarpar.
Öklid'in teoremi, sayılar teorisinde temel bir ifade olup sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ileri sürer. Teoremin iyi bilinen farklı ispatları bulunmaktadır.
Doğal sayı olan 1729, 1728'den sonra gelir ve 1730'un önünde yer almaktadır. Bu bir taksi sayıdır ve İngiliz matematikçi G. H. Hardy'nin hastanede Hint matematikçi Srinivasa Ramanujan'ı ziyaret ettiği anekdotundan sonra çeşitli şekillerde Ramanujan sayısı ve Ramanujan-Hardy sayısı olarak da bilinir.
Matematikte Çin kalan teoremi, bir n tamsayısının birkaç tam sayıya bölümünden kalanlar biliniyorsa, n'in bu sayıların çarpımına bölümünden kalanın bulunabileceğini belirtir. Buradaki koşul, n'e bölümlerinden kalanlarını bildiğimiz sayıların birbirleriyle aralarında asal olmaları gerekliliğidir.
