Beta fonksiyonu

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür, ${\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0.\,}$

için bu özel fonksiyon'unun tanımı

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}$

Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre'ye adandı.

Beta fonksiyonu simetrik'tir, yani

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}$

yerine konulan Birçok diğer formları da vardır:

${\displaystyle \mathrm {B} (x)={\dfrac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}$

Burada ${\displaystyle \Gamma \,}$ gama fonksiyonu'dur.

özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül,

${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$.

${\displaystyle \mathrm {B} (1/2)=\pi }$.

Kartezyen Koordinatlar'daki n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir .

Sadece tam sayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$

Ayrıca her ${\displaystyle n}$ tam sayısı için, ${\displaystyle \mathrm {B} \,}$'nın ${\displaystyle k}$ sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli

${\displaystyle {n \choose k}=(-1)^{n}n!{\cfrac {\sin(\pi k)}{\pi \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}$

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv.\!}$

Şimdi, ${\displaystyle u\equiv a^{2}}$, ${\displaystyle v\equiv b^{2}}$,yazalım,böylece

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,db\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,da\,db.\end{aligned}}\!}$

Kutupsal koordinatlara dönüşümü ${\displaystyle a=r\cos \theta }$, ${\displaystyle b=r\sin \theta }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,dr\,d\theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,dr\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,d\theta \\&{}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,d(r^{2})4\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)2\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}$

Dolayısıyla, beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

Diğer bir türetim, bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa

${\displaystyle f(u):=e^{-u}u^{x-1}1_{\mathbb {R} _{+}}}$ and ${\displaystyle g(u):=e^{-u}u^{y-1}1_{\mathbb {R} _{+}}}$, sonuç kolayca:

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\left(\int _{\mathbb {R} }f(u)du\right)\left(\int _{\mathbb {R} }g(u)du\right)=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)du=\mathrm {B} (x,y)\,\Gamma (x+y)}$.

türevleri sırasıyla:

${\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}$

burada ${\displaystyle \ \psi (x)}$ digama fonksiyonu'dur.

Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .

Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı'nı verir.

x büyük y büyük ise,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}$

diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$

Tamamlanmamış demek integralin bir sinirinin kapali(burada 0dan x'a) diğer sinirinin açik olmasi demektir. Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.

Tanımı

${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}$

x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasında da vardır..

düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:

${\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}$

a ve b tam sayı değerleri için bilinen integral dışında (parçalanmış integrasyon kullanılabilir):

${\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}$

Binom dağılımı'nın, bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir ve burada :

${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1).}$

${\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}$

${\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}$

${\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}$

(Listede diğer birçok özellikler olabilir.)

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Beta dağılımı
• Binom dağılımı
• Jacobi toplamı,sonlu alanlar üzerinde beta fonksiyonunun analogları.
• Negatif binom dağılımı
• Yule–Simon dağılımı
• Tekdüze dağılım (devamlılık)
• Gama fonksiyonu

• Askey, R. A.; Roy, R. (2010), "Beta fonksiyonu", Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (Ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See §6.2, 6.6, and 26.5)24 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
• Beta fonksiyonu, PlanetMath.org.
• Arbitrarily accurate values can be obtained from The Wolfram Functions Site10 Ekim 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Evaluate Beta Regularized Incomplete beta 14 Haziran 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

• Cephes8 Aralık 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - C and C++ language special functions math library
• Beta Function Calculator
• Incomplete Beta Function Calculator
• Regularized Incomplete Beta Function Calculator