İçeriğe atla

Bernoulli deneyi

Bernoulli deneyi, olasılık teorisi ve istatistik alanında önemli bir konsepttir. Bu deney, iki sonuçlu bir olayın tekrarlanan denemelerini ifade eder. Her denemede iki sonuçtan sadece biri gerçekleşir ve sonuçlar birbirinden bağımsızdır.

Tarihçe

Bernoulli deneyi, İsviçreli matematikçi ve fizikçi olan Jacob Bernoulli tarafından 18. yüzyılda ortaya atılmıştır. Bernoulli, bu deneyi sırasıyla başarı ve başarısızlık olarak adlandırdığı iki sonuçlu olayların tekrarlanması olarak tanımlamıştır. Bernoulli ailesi, olasılık teorisi ve istatistik alanında önemli çalışmalara imza atmıştır ve bu deney onların temel katkılarından biridir.

Tanım

Bernoulli deneyi, aşağıdaki özellikleri taşır:

  1. Her denemede sadece iki sonuç vardır: başarı ve başarısızlık.
  2. Her deneme birbirinden bağımsızdır, yani bir denemenin sonucu diğer denemeleri etkilemez.
  3. Başarı ve başarısızlık olasılıkları sabittir. Başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı ise 1-p'dir

Olasılık Dağılımı

Bernoulli deneyi için olasılık dağılımı Bernoulli dağılımı olarak adlandırılır. Bu dağılım, başarı ve başarısızlık olasılıklarını kullanarak denemenin sonucunun olasılığını hesaplamamıza olanak tanır. Bernoulli dağılımı aşağıdaki formülle ifade edilir:

P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)

Burada X, denemenin sonucunu temsil eden rastgele değişken, k ise başarının gerçekleşme durumunu ifade eder.

Uygulamalar

Bernoulli deneyi, istatistik ve olasılık teorisinin birçok alanında kullanılır. Bazı uygulama alanları şunlardır:

  • Reklam kampanyalarının etkililiğinin değerlendirilmesi.
  • İlaç testlerindeki başarı oranlarının analizi.
  • Finansal piyasalarda yatırım kararlarının değerlendirilmesi.
  • Kalite kontrol süreçlerinin analizi.

Bu uygulama alanları, Bernoulli deneyinin temel prensiplerini kullanarak sonuçları analiz etmeyi ve kararlar vermeyi mümkün kılar.

Sonuç

Bernoulli deneyi, olasılık teorisi ve istatistik alanında önemli bir kavramdır. İki sonuçlu denemelerin bağımsız olarak tekrarlanması üzerine kurulu olan bu deney, birçok uygulama alanında kullanılır. Bernoulli deneyi ve Bernoulli dağılımı, olasılıkların hesaplanması ve sonuçların analiz edilmesi için temel bir araçtır.

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">İstatistik</span>

İstatistik veya sayım bilimi, belirli bir amaç için veri toplama, tablo ve grafiklerle özetleme, sonuçları yorumlama, sonuçların güven derecelerini açıklama, örneklerden elde edilen sonuçları kitle için genelleme, özellikler arasındaki ilişkiyi araştırma, çeşitli konularda geleceğe ilişkin tahmin yapma, deney düzenleme ve gözlem ilkelerini kapsayan bir bilimdir. Belirli bir amaç için verilerin toplanması, sınıflandırılması, çözümlenmesi ve sonuçlarının yorumlanması esasına dayanır. Bu çerçevede yapılan işlemlerin tümüne sayımlama denir.

<span class="mw-page-title-main">Jakob Bernoulli</span>

Jacob Bernoulli, Bernoulli ailesindeki ünlü matematikçilerden biridir. Leibniz kalkülüsünün ilk savunucularındandır ve Leibniz- Newton kalkülüs tartışmasında Leibniz'in yanında yer almıştır. Kardeşi Johann Bernoulli ile kalkülüse yaptığı birçok katkıyla da ünlüdür. Ancak, matematiğe en önemli katkısı büyük sayılar yasası ile olasılık alanında olmuştur.

Varyans Analizi istatistik bilim dalında, grup ortalamaları ve bunlara bağlı olan işlemleri analiz etmek için kullanılan bir istatistiksel modeller koleksiyonudur. Varyans Analizi kullanılmaktayken belirlenmiş bir değişkenin gözlemlenen varyansı farklı değişim kaynaklarına dayandırılabilen varyans bileşenine ayrılır. En basit şekliyle varyans analizi birkaç grubun ortalamalarının birbirine eşit mi eşit değil mi olduğunu sınamak için bir çıkarımsal istatistik sınaması olur ve bu sınama iki-grup için yapılan t-test sınamasını çoklu-gruplar için genelleştirir. Eğer, çoklu değişkenli analiz için birbiri arkasından çoklu iki-örneklemli-t-sınaması yapmak istenirse bunun I. tip hata yapma olasılığını artırma sonucu doğurduğu aşikardır. Bu nedenle, üç veya daha fazla sayıda ortalamaların ististiksel anlamlığının sınama ile karşılaştırılması için Varyans Analizleri daha faydalı olacağı gerçeği ortaya çıkmaktadır.

Rassal değişken kavramının geliştirilmesi ile, sezgi yoluyla anlaşılan şans kavramı, soyutlaştırarak teorik matematik analiz alanına sokulmuş ve bu geliştirilen matematik kavram ile olasılık kuramı ve matematiksel istatistiğin temeli kurulmuştur.

<span class="mw-page-title-main">Binom dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, binom dağılımı n sayıda iki kategori (yani başarı/başarısızlık, evet / hayır, 1/0 vb) sonucu veren denemelere uygulanır. Araştırıcının ilgi gösterdiği kategori başarı olarak adlandırılır. Bu türlü her bir deneyde, bağımsız olarak, başarı (=evet=1) olasılığının p olduğu (ve yalnızca iki kategori sonuç mümkün olduğu için başarısızlık olasılığının 1 - p olduğu) bilinir. Bu türlü bağımsız n sayıda denemeler serisi içinde elde edilen başarı sayısının ayrık olasılık dağılımı binom dağılım olarak tanımlanır. Bir binom dağılım sadece iki parametre ile, yani n ve p ile tam olarak tanımlanır. Matematik notasyon olarak bir rassal değişken X binom dağılım gösterirse şöyle ifade edilir:

X ~ B(n,p)

Olasılık kuramında ve istatistikte, hipergeometrik dağılım sonlu bir ana kütle içinden tekrar geri koymadan birbiri arkasına n tane nesnenin çekilmesi işlemi için başarı sayısının dağılımını bir ayrık olasılık dağılımı şekilde betimler.

İstatistik bilimi içinde küp problemi bir idealize edilmiş düşünce denemesi olup pratik hayatta ilgilenilen nesneler bir küp veya benzeri bir kap içinde bulunan renkli toplarla temsil edilmektedir. Bir veya daha fazla sayıda topun küpten çıkartıp alındığı düşünülür; bu düşüncenin hedefi, belli bir renkte ve diğer özellikte olan topların küpten çıkarılma olasılığını incelemektir.

Bernoulli dağılımı olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, p olasılıkla başarı ile 1 değeri alan ve olasılıkla başarısızlık ile 0 değeri alan bir ayrık olasılık dağılımıdır. İsmi ilk açıklamayı yapan İsviçreli bilim insanı Jakob Bernoulli anısına verilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Geometrik dağılım</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında geometrik dağılım şu iki şekilde ifade edilebilen ayrık olasılık dağılımıdır:

Bir olasılık dağılımı bir rassal olayın ortaya çıkabilmesi için değerleri ve olasılıkları tanımlar. Değerler olay için mümkün olan tüm sonuçları kapsamalıdır ve olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır. Örneğin, bir rassal olay olarak madeni paranın tek bir defa havaya atılıp yere düşmesi ele alınsın; değerler 'yazı' veya 'tura' veya bunlar isimsel değişken ölçeğinde ifade edilirse 0 (yazı) veya 1 (tura) olur; olasılıklar ise her iki değer için ½ olacaktır. Böylece madeni bir paranın tek bir defa atılma olayı için iki değer ve ilişkili iki olasılık bu rassal olayın olasılık dağılımı olur. Bu dağılım ayrık olasılık dağılımıdır; çünkü sayılabilir şekilde ayrı ayrı sonuçlar ve bunlara bağlı olan pozitif olasılıklar vardır.

<span class="mw-page-title-main">Negatif binom dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında negatif binom dağılım bir ayrık olasılık dağılım tipi olup Pascal dağılımı ve Polya dağılımı bu dağılımın özel halleridir.

<span class="mw-page-title-main">Tekdüze dağılım (sürekli)</span> Özel olasılık dağılımı

Sürekli tekdüze dağılım (İngilizce: continuous uniform distribution) olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, her elemanı, olasılığın desteklendiği aynı büyüklükteki aralık içinde bulunabilir, her sürekli değer için aynı sabit olasılık gösteren bir olasılık dağılımları ailesidir. Desteklenen aralık iki parametre ile, yani minimum değer a ve maksimum değer b ile, tanımlanmaktadır. Bu dağılım kısa olarak U(a,b) olarak anılır.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, multinom dağılımı binom dağılımının genelleştirilmesidir.

<span class="mw-page-title-main">Laplace dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Laplace dağılımı Pierre-Simon Laplace anısına isimlendirilmiş bir sürekli olasılık dağılımıdır. Arka arkaya birbiriyle yapıştırılmış şekilde ve bir de konum parametresi dahil edilerek birleştirilmiş iki üstel dağılımdan oluştuğu için, çift üstel dağılımı adı ile de anılmaktadır. İki bağımsız ve tıpatıp aynı şekilde üstel dağılım gösteren bir rassal değişken bir Laplace dağılımı ile işlev görürler. Bu, aynen üstel dağılım gösteren rassal zamanda değerlendirilen Brown devinimine benzer.

Olasılık teorisi ya da ihtimaliyet teorisi rastgele olayların analizi ile ilgilenen bir matematik bilim dalıdır. Olasılık teorisinin ana ögeleri rassal değişkenler, saf rassal süreçler, olaylar olarak sayılabilir. Bunlar ya tek olarak ortaya çıkan veya bir zaman dönemi içinde gelişerek meydana gelen, ilk görünüşü rastgele bir şekilde olan deterministik olmayan olayların veya ölçülebilir miktarların matematiksel soyutlamalarıdır. Bir madeni parayı yazı-tura denemesi için havaya atmak veya bir zarı atmak ile ortaya çıkan sonuç ilk bakışta rastgele bir olay olarak görülebilirse bile eğer birbirini takip eden rastgele olaylar tekrar tekrar ortaya çıkartılırsa incelenebilecek ve tahmin edilebilecek belirli bir istatistiksel seyir takip ettikleri görülecektir. Bu türlü olaylar ve sonuçların seyirlerini betimleyen iki temsilci matematiksel sonuç büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremidir.

<span class="mw-page-title-main">Ayrık olasılık dağılımları</span>

Olasılık kuramı içinde bir olasılık dağılımı eğer bir olasılık kütle fonksiyonu ile karakterize edilmiş ise ayrık olarak anılır. Böylelikle bir rassal değişken olan X için dağılım ayrık ise o zaman X bir ayrık rassal değişken olarak bilinir. Bu halde

<span class="mw-page-title-main">Anlamlılık seviyesi</span>

Anlamlılık seviyesi, istatistik biliminde, İngiliz istatistikçi Ronald Fisher tarafından çıkartımsal hipotez sınama yönteminin kurulması sırasında kavramlaştırılmış özel bir manası olan bir bilimsel ve istatistiksel terimdir. İstatistiksel anlamlılık eğer bir sonucun gerçekleşme olasılık değerlendirilmesine göre olabilirliği düşük değil ise ortaya çıkar.

Pearson ki-kare testi nicel veya nitel değişkenler arasında bağımlılık olup olmadığının, örnek sonuçlarının belirli bir teorik olasılık dağılımına uygun olup olmadığının, iki veya daha fazla örneğin aynı anakütleden gelip gelmediğinin, ikiden fazla anakütle oranının birbirine eşit olup olmadığının ve çeşitli anakütle oranlarının belirli değere eşit olup olmadığının araştırılmasında kullanılır. İstatistik biliminin çıkarımsal istatistik bölümünde ele alınan iki-değişirli parametrik olmayan test analizlerinden olan ve ki-kare dağılımı'nı esas olarak kullanan ki-kare testlerinden en çok kullanılanıdır. İngiliz istatistikçi olan Karl Pearson tarafından 1900'da ortaya çıkartılmıştır.

Tarih boyunca matematiğin konu çeşitliliği ve derinliği artmaktadır, matematiği kavrama, birçok konuyu matematiğin daha genel alanlarına göre sınıflandırma ve düzenleme için bir sistem gerektirir. Bir dizi farklı sınıflandırma şeması ortaya çıkmıştır ve bazı benzerlikleri paylaşsalar da, kısmen hizmet ettikleri farklı amaçlara bağlı olarak farklılıkları vardır. Ek olarak, matematik geliştirilmeye devam ettikçe, bu sınıflandırma şemaları da yeni oluşturulan alanları veya farklı alanlar arasında yeni keşfedilen bağlantıları dikkate alacak şekilde değişmelidir. Farklı alanlar arasındaki sınırı aşan, genellikle en aktif olan bazı konuların sınıflandırılması daha zor hale gelir.

<span class="mw-page-title-main">Matematiksel istatistik</span> matematiksel yöntemlerin kullanıldığı olası istatistikler

Matematiksel istatistik, istatistiksel veri toplama tekniklerinin aksine, matematiğin bir dalı olan olasılık teorisinin istatistiğe uygulanmasıdır. Bunun için kullanılan özel matematiksel teknikler arasında matematiksel analiz, doğrusal cebir, stokastik analiz, diferansiyel denklemler ve ölçü teorisi bulunur.