Bergman uzayı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Bergman uzayı kompleks koordinat uzayının bir D bölgesinde tanımlı holomorf fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyon uzayıdır. Uzay, Stefan Bergman'ın adını taşımaktadır. Daha matematiksel bir ifadeyle, Bergman uzayı olan ${\displaystyle A^{p}(D)}$, ${\displaystyle D}$ üzerinde tanımlı ve p-normu sonlu olan holomorf fonksiyonlardan oluşmaktadır.

Bergman uzaylarının gösterimi hakkında bir uzlaşım yoktur. Karmaşık düzlemdeki analitik fonksiyonlar çalışıldığında ${\displaystyle L_{\alpha }^{p}(D)}$ ya da ${\displaystyle L_{a}^{p}(D)}$ gösterimi yaygındır; buradaki, ${\displaystyle \alpha }$ ya da ${\displaystyle a}$ harfi fonksiyonun analitik (holomorf fonksiyonların analitikliği maddesine bakınız) olduğunu simgelemek için eklenmiştir. Alt ve üst indekslerin başka özellikler için kullanılması gerektiği durumlarda, kullanımının zorluk çıkarmayacağı düşünülerek ${\displaystyle A^{p}(D)}$ veya ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{p}(D)}$ de kullanılmaktadır.

${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ açık küme, ${\displaystyle dV}$ ise ${\displaystyle D}$ üzerindeki Öklid hacim formu olsun. ${\displaystyle 0<p<\infty }$ için ${\displaystyle L^{p}(D)}$ Lebesgue uzayı ve ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ de ${\displaystyle D}$ üzerinden tanımlı holomorf fonksiyonlar olmak üzere

${\displaystyle A^{p}(D):=L^{p}(D)\cap {\mathcal {O}}(D)}$

şeklinde tanımlanan ve ${\displaystyle L^{p}(D)}$ uzayının normunu alan uzaya ${\displaystyle D}$ üzerinde tanımlı Bergman uzayı denir. Diğer deyişle, ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun Bergman uzayında olması için,

• ${\displaystyle f}$ inin holomorf olması
• Aşağıdaki gibi tanımlı ${\displaystyle L^{p}(D)}$'de olma koşulunu sağlaması gerekir:

${\displaystyle \Vert f\Vert _{A^{p}(D)}=\left(\int _{D}|f(z)|^{p}dV(z)\right)^{1/p}<\infty .}$

${\displaystyle p=2}$ olmadığı durumlarda, bazen bu duruma vurgu yapmak için p-Bergman uzayı ifadesi de kullanılır.

• Yukarıda verilen ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{A^{p}(D)}}$ tanımı ancak ${\displaystyle p\geq 1}$ ise gerçek bir normdur.
• ${\displaystyle p=2}$ olduğu durumlarda uzay üzerinde iç çarpım şu şekilde belirlenebilir:

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{D}f(z){\overline {g(z)}}dV(z).}$ O zaman ${\displaystyle A^{2}(D)}$ bir doğuran çekirdekli Hilbert uzayıdır ve çekirdeği de Bergman çekirdeği tarafından belirlenir.

• ${\displaystyle p\geq 1}$ ise, Bergman uzayları Banach uzayıdır. Bu sonuç, ${\displaystyle D}$'nin tıkız bir ${\displaystyle K}$ altkümesi üzerindeki şu kestirimin bir sonucu olarak elde edilebilir:

${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{p}(D)}.}$

Bu yüzden, ${\displaystyle L^{p}(D)}$'deki holomorf fonksiyonlar dizisinin yakınsaklığı ayrıca bu dizinin tıkız yakınsak olduğunu verir. Böylece, limit fonksiyonu da holomorftur.

• Duren, Peter L.; Schuster, Alexander (2004), Bergman spaces, Mathematical Series and Monographs, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0810-8 
• Richter, Stefan (2001), "Bergman spaces", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104