Bejan sayısı

Termodinamik ve akışkanlar mekaniği gibi bilim dallarında kullanım alanı bulan iki çeşit Bejan sayısı (Be) bulunmaktadır. Bu sayılar, Adrian Bejan'ın adını taşımaktadır.

Termodinamik disiplininde, Bejan sayısı, ısı transferi tersinmezliğinin, ısı transferi ve akışkan sürtünmesi kaynaklı toplam tersinmezliğe oranı olarak ifade edilir:^[1][2]

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta T}}{{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta T}+{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta p}}}}$

burada

${\displaystyle {\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta T}}$, ısı transferi tarafından katkıda bulunulan entropi üretimidir.

${\displaystyle {\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta p}}$, akışkan sürtünmesi tarafından katkıda bulunulan entropi üretimidir.

Schiubba, Bejan sayısı Be ile Brinkman sayısı Br arasında kurulan ilişkiyi belirlemiştir:

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta T}}{{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta T}+{\dot {S}}'_{\mathrm {gen} ,\,\Delta p}}}={\frac {1}{1+\mathrm {Br} }}}$

Isı transferi kapsamında, Bejan sayısı, ${\displaystyle L}$ uzunluğundaki bir kanal boyunca oluşan boyutsuz basınç düşüşü olarak tanımlanır:^[3]

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {\Delta p\,L^{2}}{\mu \alpha }}}$

burada

${\displaystyle \mu }$, akışkanın dinamik viskozitesini ifade eder.

${\displaystyle \alpha }$, termal difüzyonu belirtir.

Be sayısı, zorlamalı konveksiyon süreçlerinde, Rayleigh sayısının doğal konveksiyon süreçlerinde üstlendiği işlevi benzer bir şekilde üstlenir.

Kütle transferi kapsamında ele alındığında, Bejan sayısı, ${\displaystyle L}$ boyundaki bir kanal boyunca oluşan boyutsuz basınç kaybını ifade eder:^[4]

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {\Delta p,L^{2}}{\mu D}}}$

burada

${\displaystyle \mu }$, akışkanın dinamik viskozitesini temsil eder.

${\displaystyle D}$, kütle difüzyon katsayısını belirtir.

Reynolds benzerliği (Le = Pr = Sc = 1) varsayımı altında, Bejan sayısının üç tanımının da özdeş olduğu görülür.

Ek olarak, Awad ve Lage:^[5] momentum işlemleri için Bhattacharjee ve Grosshandler tarafından ileri sürülen Bejan sayısının orijinal formülasyonunu, formülde yer alan dinamik viskozite yerine akışkanın yoğunluğu ve momentum difüzyon katsayısı ile değiştirerek modifiye etmişlerdir. Bu değiştirilmiş form, temsil ettiği fiziksel süreçlere daha uygun hale gelmekle kalmamış, aynı zamanda yalnızca bir viskozite katsayısına bağımlı olması gibi bir avantaj da sunmaktadır. Bu basit modifikasyon, Bejan sayısının ısı transferi veya tür transferi gibi diğer difüzyon süreçlerine kolayca uygulanabilmesini sağlar; bu durumda sadece difüzyon katsayısının değiştirilmesi gerekmektedir. Böylece, basınç kaybı ve difüzyon içeren her türlü sürecin genel bir Bejan sayısı temsili mümkün olmaktadır. Genel temsilin, Reynolds benzerliği (yani Pr = Sc = 1) durumunda momentum, enerji ve tür konsantrasyonları açısından Bejan sayısı için benzer sonuçlar verdiği belirlenmiştir.

Bu nedenle, Be sayısını genel bir şekilde tanımlamak, basitçe aşağıdaki formülle daha doğal ve geniş kapsamlı bir yaklaşım sunar:

${\displaystyle \mathrm {Be} ={\frac {\Delta p\,L^{2}}{\rho \delta ^{2}}}}$

bu bağlamda,

${\displaystyle \rho }$ akışkanın yoğunluğudur

${\displaystyle \delta }$ söz konusu süreç için ilgili difüzyon katsayısıdır.

Ayrıca, Awad:^[6] Hagen sayısı ile Bejan sayısını karşılaştırmıştır. Her ne kadar fiziksel anlamları farklı olsa da; birincisi boyutsuz basınç gradyanını temsil ederken, ikincisi boyutsuz basınç düşüşünü temsil eder, karakteristik uzunluk (l) ile akış uzunluğu (L) eşit olduğunda Hagen sayısının Bejan sayısı ile örtüştüğü belirtilmiştir.

Akışkanlar mekaniği disiplininde, Bejan sayısı, hem iç hem de dış akışlarda, akışkan yolunun uzunluğu ${\displaystyle L}$ boyunca meydana gelen boyutsuz basınç kaybı ile tanımlanır ve bu tanım, ısı transferi sorunlarındaki tanımla aynıdır:^[7]

${\displaystyle \mathrm {Be_{L}} ={\frac {\Delta p\,L^{2}}{\mu \nu }}}$

burada

${\displaystyle \mu }$, dinamik viskozitedir.

${\displaystyle \nu }$, momentum difüzyonudur (veya kinematik viskozitedir).

Awad tarafından Hagen-Poiseuille akımında Bejan sayısının bir başka ifadesi sunulmuştur. Bu matematiksel ifade aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle \mathrm {Be} ={{32\mathrm {Re} L^{3}} \over {d^{3}}}}$

burada

${\displaystyle \mathrm {Re} }$, Reynolds sayısıdır.

${\displaystyle L}$, akış uzunluğudur.

${\displaystyle d}$, boru çapıdır.

Bu ifade, Hagen-Poiseuille akışındaki Bejan sayısının, daha önce tanımlanmamış bir boyutsuz grup olduğunu ortaya koymaktadır.

Bhattacharjee ve Grosshandler'ın Bejan sayısı formulasyonu, sıvının yatay bir düzlem üzerindeki akışı gibi durumlarda akışkanlar dinamiği açısından büyük önem taşımaktadır,^[8] zira bu, sürükleme kuvveti ile ilgili aşağıdaki ifade aracılığıyla doğrudan sıvı dinamik sürüklenmesi D ile ilişkilidir:

${\displaystyle D=\Delta p,A_{w}={\frac {1}{2}}C_{D}A_{f}{\frac {\nu \mu }{L^{2}}}Re^{2}}$

Bu formülasyon, direnç katsayısı ${\displaystyle C_{D}}$'nin Bejan sayısı ile ıslak alan ${\displaystyle A_{w}}$ ile ön alan ${\displaystyle A_{f}}$ arasındaki orana bağlı olarak bir fonksiyon olarak tanımlanmasına imkan vermektedir:^[8]

${\displaystyle C_{D}=2{\frac {A_{w}}{A_{f}}}{\frac {Be}{Re_{L}^{2}}}}$

burada ${\displaystyle Re_{L}}$, L yolu uzunluğu ile ilişkilendirilen Reynolds sayısını temsil eder. Bu matematiksel ifade, bir rüzgar tünelinde deneysel olarak teyit edilmiştir.^[9]

Bu denklem, termodinamiğin ikinci yasası çerçevesinde direnç katsayısını ifade etmektedir:^[10]

${\displaystyle C_{D}={\frac {2T_{0}{\dot {S}}'gen}{A_{f}\rho u^{3}}}={\frac {2{\dot {X}}'}{A_{f}\rho u^{3}}}}$

bu durumda, ${\displaystyle {\dot {S}}'gen}$, entropi üretim oranını ve ${\displaystyle {\dot {X}}'}$, ekserji tüketim oranını belirtir ve ρ, yoğunluğu ifade eder.

İlgili formülasyon, Bejan sayısını termodinamiğin ikinci yasasının terimleriyle tanımlamayı mümkün kılar:^[11][12]

${\displaystyle Be_{L}={\frac {1}{A_{w}\rho u}}{\frac {L^{2}}{\nu ^{2}}}\Delta {\dot {X}}'={\frac {1}{A_{w}\rho u}}{\frac {T_{0}L^{2}}{\nu ^{2}}}\Delta {\dot {S}}'}$

Bu ifade, akışkan dinamiklerinin problemlerinin termodinamiğin ikinci yasasına göre ifade edilmesine yönelik temel bir girişimdir.^[13]

• Adrian Bejan
• Entropi
• Ekserji
• Termodinamik