İçeriğe atla

Batlamyus eşitsizliği

Dört nokta ve bunlar arasındaki altı uzunluk. Noktalar eş döngüsel (çember üzerinde) değildir, bu nedenle Batlamyus eşitsizliği bu noktalar için mutlaktır.

Öklid geometrisinde, Batlamyus eşitsizliği, düzlemde veya daha yüksek boyutlu bir uzayda dört nokta tarafından oluşturulan altı uzunluğu ilişkilendirir. Herhangi bir A, B, C ve D noktası için aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olduğunu belirtir:

.

Adını Yunan astronom ve matematikçi Batlamyus'tan almıştır.

Dört nokta, her biri için zıt kenarların çarpımlarının toplamı en az köşegenlerin çarpımı kadar büyük olan üç farklı dörtgen oluşturmak için üç farklı yoldan herhangi biriyle (ters dönüşleri farklı saymayarak) sıralanabilir. Böylece, eşitsizlikteki üç çarpım terimi, bunlardan herhangi birini eşitsizliğin sağ tarafına yerleştirmek için ek olarak değiş tokuş edilebilir, bu nedenle, dörtgenlerden herhangi birinin zıt kenarlarının veya köşegenlerinin üç çarpımı, üçgen eşitsizliğine uymalıdır.[1]

Özel bir durum olarak, Batlamyus teoremi, eşitsizliğin bir daire üzerinde dört nokta döngüsel sırayla (kirişler dörtgeni) yer aldığında bir eşitlik haline geldiğini belirtir. Diğer eşitlik durumu, dört nokta sırayla eşdoğrusal olduğunda ortaya çıkar. Eşitsizlik, Öklid uzaylarından keyfi metrik uzaylara genellenmez. Geçerli kaldığı uzaylara Ptolemaik uzaylar denir; iç çarpım uzaylarını, Hadamard uzaylarını ve Ptolemaik graflarda en kısa yol uzaklıklarını içerir.

Varsayımlar ve türetme

Batlamyus eşitsizliği genellikle özel bir durum için ifade edilir, burada dört nokta konveks bir dörtgenin köşeleri olup döngüsel sırayla verilir.[2][3] Ancak teorem daha genel olarak herhangi bir dört nokta için geçerlidir; oluşturdukları dörtgenin dışbükey, basit veya hatta düzlemsel olması gerekli değildir.

Düzlemdeki noktalar için, Batlamyus eşitsizliği, dört noktadan birinde merkezlenmiş bir evirtim (inversiyon) ile üçgen eşitsizliğinden türetilebilir.[4] Alternatif olarak, karmaşık sayı özdeşliği kullanılarak dört noktanın karmaşık sayılar olarak yorumlanmasıyla

kenar uzunlukları verilen dörtgenin kenarlarının çarpımı olan bir üçgen oluşturmak ve üçgen eşitsizliğini bu üçgene uygulamak için türetilebilir.[5] Noktaların karmaşık izdüşüm çizgisine ait olduğu da görülebilir, eşitsizliği noktaların iki çapraz oranının mutlak değerlerinin toplamı en az bir şeklinde ifade edilebilir ve bunu çapraz oranların kendilerinin tam olarak bir ilavesi olduğu gerçeğinden çıkarılabilir.[6]

Üç boyutlu uzayda noktalar için eşitsizliğin bir kanıtı, düzlemsel duruma indirgenebilir, herhangi bir düzlemsel olmayan dörtgen için, köşegen etrafındaki noktalardan birini dörtgen düzlemsel hale gelene kadar döndürmenin mümkün olduğunu gözlemleyip diğer köşegenin uzunluğu artırarak ve diğer beş uzunluğu sabit tutarak, düzlemsel duruma indirgenebilir.[5] Üçten daha yüksek boyutlu uzaylarda, herhangi bir dört nokta üç boyutlu bir alt uzayda bulunur ve aynı üç boyutlu ispat kullanılabilir.

Aynı çember içinde bulunan dört nokta

Bir çember etrafında sıralanan dört nokta için, Batlamyus eşitsizliği, Batlamyus teoremi olarak bilinen bir eşitlik haline gelir:

.

Batlamyus eşitsizliğinin evirtime dayalı ispatında, dört eşdöngü noktasını, birine merkezlenmiş bir evirtim ile dönüştürmek, diğer üçünün eşdoğrusal olmasına neden olur, bu nedenle bu üç nokta için üçgen eşitliği (Batlamyus eşitsizliğinin türetilebileceği) eşitlik olur.[4] Diğer dört nokta için, Batlamyus eşitsizliği mutlaktır.

Genel metrik uzaylarda

Uzaklıkların Batlamyus eşitsizliğine uymadığı bir döngü çizgesi

Batlamyus eşitsizliği daha genel olarak herhangi bir iç çarpım uzayında[1] geçerlidir ve gerçek bir normlu vektör uzayı için doğru olduğunda, bu uzay bir iç çarpım uzayı olmalıdır.[7][8]

Diğer metrik uzay türleri için eşitsizlik geçerli olabilir veya olmayabilir. İçinde bulunduğu uzaya Ptolemaik denir. Örneğin, tüm kenar uzunlukları 1'e eşit olacak biçimde şekilde gösterilen dört köşe döngü çizgesini düşünün. Karşıt tarafların çarpımlarının toplamı 2'dir. Bununla birlikte, çapraz olarak zıt köşeler birbirinden uzaktadır, bu nedenle köşegenlerin çarpımı 4'tür ve kenarların çarpımlarının toplamından daha büyüktür. Bu nedenle, bu grafikteki en kısa yol mesafeleri Ptolemaik değildir. Uzaklıkların Batlamyus eşitsizliğine uyduğu çizgeler, Ptolemaik çizgeler olarak adlandırılır ve keyfi çizgelerle karşılaştırıldığında sınırlı bir yapıya sahiptir; özellikle, gösterilen gibi üçten daha uzun indirgenmiş döngülere izin vermezler.[9]

Ptolemaik uzaylar tüm CAT (0) uzaylarını ve özellikle tüm Hadamard uzaylarını içerir. Tam bir Riemann manifoldu Ptolemaik ise, bu mutlaka bir Hadamard uzayıdır.[10]

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar

Kaynakça

  1. ^ a b Schoenberg, I. J. (1940), "On metric arcs of vanishing Menger curvature", Annals of Mathematics, Second Series, cilt 41, ss. 715-726, doi:10.2307/1968849, MR 0002903 .
  2. ^ Steele, J. Michael (2004), "Exercise 4.6 (Ptolemy's Inequality)", The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, MAA problem books, Cambridge University Press, s. 69, ISBN 9780521546775 .
  3. ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), "6.1 Ptolemy's inequality", When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, ss. 82-83, ISBN 9780883853429 .
  4. ^ a b Stankova, Zvezdelina; Rike, Tom, (Ed.) (2008), "Problem 7 (Ptolemy's Inequality)", A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, MSRI Mathematical Circles Library, 1, American Mathematical Society, s. 18, ISBN 9780821846834 .
  5. ^ a b Apostol, Tom M. (1967), "Ptolemy's inequality and the chordal metric", Mathematics Magazine, cilt 40, ss. 233-235, MR 0225213 .
  6. ^ Silvester, John R. (2001), "Proposition 9.10 (Ptolemy's theorem)", Geometry: Ancient and Modern, Oxford University Press, s. 229, ISBN 9780198508250 .
  7. ^ Giles, J. R. (2000), "Exercise 12", Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces, Australian Mathematical Society lecture series, 13, Cambridge University Press, s. 47, ISBN 9780521653756 .
  8. ^ Schoenberg, I. J. (1952), "A remark on M. M. Day's characterization of inner-product spaces and a conjecture of L. M. Blumenthal", Proceedings of the American Mathematical Society, cilt 3, ss. 961-964, doi:10.2307/2031742, MR 0052035 .
  9. ^ Howorka, Edward (1981), "A characterization of Ptolemaic graphs", Journal of Graph Theory, 5 (3), ss. 323-331, doi:10.1002/jgt.3190050314, MR 0625074 
  10. ^ Buckley, S. M.; Falk, K.; Wraith, D. J. (2009), "Ptolemaic spaces and CAT(0)", Glasgow Mathematical Journal, 51 (2), ss. 301-314, doi:10.1017/S0017089509004984, MR 2500753 .

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Dört yüzlü</span>

Geometride tetrahedron veya dört yüzlü, dört üçgen yüzden oluşan bir çokyüzlüdür (polihedron), her köşesinde üç üçgen birleşir. Düzgün dört yüzlü dört üçgenin eşkenar olduğu bir dört yüzlüdür ve Platonik cisimlerden biridir. Dörtyüzlü, dört yüzü olan tek konveks çokyüzlüdür. Tetrahedron isminin sıfat hali "tetrahedral"dır.

<span class="mw-page-title-main">Menelaus teoremi</span> Bir üçgenin her bir kenar doğrusundan tepe noktası olmayan birer nokta olmak üzere üç noktanın, ancak ve ancak her üç kenar doğrusu üzerinde belirledikleri işaretli oranların çarpımı -1 ise eş doğrusal olduğunu belirten Öklid geometri

İskenderiyeli Menelaus'a izafe edilen Menelaus teoremi düzlemsel geometride üçgenler üzerine bir teoremdir. , ve noktalarından oluşan üçgeninde , ve doğruları üzerinde bulunan ve üçgenin köşelerinden ayrık , ve noktalarının aynı doğru üzerinde olabilmesi ancak ve ancak:

<span class="mw-page-title-main">Eşkenar dörtgen</span>

Matematiğin bir alt dalı olan Geometride bir eşkenar dörtgen, dört kenarlı ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşit bir dörtgendir. Oyun kâğıtlarında görülen eşkenar dörtgene karo, bu şekle sahip olan haplara lozanj, bu şekle sahip olan beyzbol oyun sahasına diamond (elmas) denir.

<span class="mw-page-title-main">Hilbert uzayı</span>

Matematikte Hilbert uzayı, sonlu boyutlu Öklit uzayında uygulanabilen lineer cebir yöntemlerinin genelleştirilebildiği ve sonsuz boyutlu da olabilen bir vektör uzayıdır. Daha kesin olarak, bir Hilbert uzayı, uzayın tam metrik uzay olmasını sağlayan bir uzaklık fonksiyonu üreten bir iç çarpımla donatılmış bir vektör uzayıdır. Bir Hilbert uzayı, bir Banach uzayının özel bir durumudur. Matematik, fizik ve mühendislikte sıkça kullanılmaktadır. Kuantum mekaniğiyle uyumludur. Adını David Hilbert'ten almaktadır.

Vektör kalkülüsün'de, matematiğin bir dalıdır, üçlü çarpım genellikle öklit vektörü olarak adlandırılan üç boyutlu vektörlerin çarpımıdır. Üçlü çarpım tabiri iki farklı çarpım için kullanılır, bunlardan ilki skaler değerler için kullanılan skaler üçlü çarpımı, bir diğeri ise vektörel değerliler için kullanılan vektörel üçlü çarpımdır.

<span class="mw-page-title-main">Batlamyus teoremi</span> Öklid geometrisinde bir teorem

Öklid geometrisinde, Batlamyus teoremi, bir kirişler dörtgeninin dört kenarı ile iki köşegeni arasındaki bir ilişkiyi gösteridir. Teorem, Yunan astronom ve matematikçi Batlamyus'un adını almıştır. Batlamyus, teoremi astronomiye uyguladığı trigonometrik bir tablo olan kirişler tablosunu oluşturmaya yardımcı olarak kullandı.

<span class="mw-page-title-main">Brahmagupta teoremi</span>

Geometride, Brahmagupta teoremi, eğer bir kirişler dörtgeni ortodiyagonal ise, o zaman köşegenlerin kesişme noktasından bir kenara çizilen dikmenin karşı kenarı daima ikiye böldüğünü belirtir. Adını Hint matematikçi Brahmagupta'dan (598-668) almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Çember sıkıştırma teoremi</span>

Çember sıkıştırma teoremi, düzlemde iç kısımları ayrık olan çemberler arasındaki olası teğetlik ilişkilerini tanımlar. Dairesel sıkıştırma, içleri ayrık olan bağlantılı bir çember koleksiyonudur. Bir çember sıkıştırmasının kesişme çizgesi (grafı), her çember için bir tepe noktasına ve teğet olan her çember çifti için bir kenara sahip olan çizgedir. Çember sıkıştırma, düzlemde veya eşdeğer olarak küre üzerindeyse, kesişme çizgesine madeni para (coin) çizgesi denir; daha genel olarak, iç-ayrık geometrik nesnelerin kesişme çizgelerine, teğetlik çizgeleri veya temas çizgeleri denir. Madeni para çizgeleri her zaman bağlı, basit ve düzlemseldir. Çember sıkıştırma teoremi, bunların bir çizgenin madeni para çizgesi olması için tek gereklilik olduğunu belirtir:

<span class="mw-page-title-main">Euler dörtgen teoremi</span>

Leonhard Euler (1707–1783) adını taşıyan Euler dörtgen teoremi veya Euler'in dörtgenler yasası, dışbükey bir dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkiyi açıklar. Pisagor teoreminin genellemesi olarak görülebilecek Paralelkenar yasasının bir genellemesidir. Bu nedenle Pisagor teoreminin dörtgenler açısından yeniden ifade edilmesi bazen Euler-Pisagor teoremi olarak adlandırılır.

<span class="mw-page-title-main">Anne teoremi</span>

Fransız matematikçi Pierre-Leon Anne'in (1806-1850) adını taşıyan Anne teoremi, dışbükey dörtgen içindeki belirli alanların eşitliğini tanımlayan Öklid geometrisinden bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Barrow eşitsizliği</span>

Geometride Barrow eşitsizliği, bir üçgen içindeki rastgele bir nokta alındığında, bu nokta ile üçgenin köşeleri ve üçgenin kenarlarındaki belirli noktalar arasındaki mesafeleri ilişkilendiren bir eşitsizliktir. Adını Amerikalı bir matematikçi olan David Francis Barrow'dan almıştır.

Öklid geometrisinde, Erdős–Mordell eşitsizliği herhangi bir üçgeni ve içindeki noktası için, 'den kenarlara olan uzunlukların toplamının, 'den köşelere olan uzunlukların toplamının yarısına eşit veya daha az olduğunu belirten teoremdir. Teorem, adını Macar matematikçi Paul Erdős ve Amerika doğumlu İngiliz matematikçi Louis Mordell'den almıştır. Erdős (1935) eşitsizliği kanıtlama problemini ortaya attı; iki yıl sonra tarafından bir kanıt sağlandı. Ancak bu çözüm çok basit değildi. Sonraki basit ispatlar daha sonra Kazarinoff (1957), Bankoff (1958) ve Alsina & Nelsen (2007) tarafından verilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Euler teoremi (geometri)</span>

Geometride, Euler teoremi, üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve iç teğet çemberinin merkezi arasındaki uzunluğunun aşağıdaki şekilde ifade edildiğini belirtir:

<span class="mw-page-title-main">Çift merkezli dörtgen</span>

Öklid geometrisinde, bir çift merkezli dörtgen, hem bir iç teğet çembere hem de çevrel çembere sahip olan bir dışbükey (konveks) dörtgendir. Bu çemberlerin çevreleri, yarıçapları ve merkezlerine sırasıyla iç çap (inradius) ve çevrel çap (circumradius), iç merkez (incenter) ve çevrel merkez (circumcenter) denir. Tanımdan, çift merkezli dörtgenlerin hem teğetler dörtgeninin hem de kirişler dörtgeninin tüm özelliklerine sahip olduğu anlaşılmaktadır. Bu dörtgenler için diğer isimler kiriş-teğet dörtgeni ve iç teğet ve dış teğet dörtgenidir. Ayrıca nadiren çift çemberli dörtgen ve çift işaretlenmiş dörtgen olarak adlandırılmıştır.

Matematikte Hadwiger–Finsler eşitsizliği, Öklid düzlemindeki üçgen geometrisinin bir sonucudur. Düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları , ve ve alanı ile gösterilirse, o zaman

Geometride, Jung teoremi, herhangi bir Öklid uzayındaki bir dizi noktanın çapı ile bu kümenin minimum çevreleyen topunun yarıçapı arasındaki bir eşitsizliktir. Bu eşitsizliği ilk kez 1901'de inceleyen Heinrich Jung'un adını almıştır. En küçük çember problemini açık bir biçimde çözmek için algoritmalar da mevcuttur.

Geometride, bir çokgenin yarı çevresi, çevre uzunluğunun yarısıdır. Çevreden doğrudan türetilebilmesine rağmen, yarı çevre üçgenler ve diğer şekiller için kullanılan formüllerde oldukça sık görülür ve ayrı/özel bir isim verilir. Yarı çevre, bir formülün parçası olarak ortaya çıktığında, genellikle s harfiyle gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Kirişler dörtgeni</span> tüm köşeleri tek bir çember üzerinde yer alan dörtgen

Öklid geometrisinde, bir kirişler dörtgeni veya çembersel dörtgen veya çevrimsel dörtgen, köşeleri tek bir çember üzerinde bulunan bir dörtgendir. Bu çembere çevrel çember denir ve köşelerin aynı çember içinde olduğu söylenir. Çemberin merkezi ve yarıçapı sırasıyla çevrel merkez ve çevrel yarıçap olarak adlandırılır. Bu dörtgenler için kullanılan diğer isimler eş çember dörtgeni ve kordal dörtgendir, ikincisi, dörtgenin kenarları çemberin kirişleri olduğu içindir. Genellikle dörtgenin dışbükey (konveks) olduğu varsayılır, ancak çapraz çevrimsel dörtgenler de vardır. Aşağıda verilen formüller ve özellikler dışbükey durumda geçerlidir.

<span class="mw-page-title-main">Viviani teoremi</span> Herhangi bir iç noktadan bir eşkenar üçgenin kenarlarına olan en kısa mesafelerin toplamının üçgenin yüksekliğinin uzunluğuna eşit olduğunu belirten Öklid geometrisi teoremi

Adını Vincenzo Viviani'den alan Viviani teoremi, herhangi bir iç noktadan bir eşkenar üçgenin kenarlarına olan en kısa mesafelerin toplamının üçgenin yüksekliğinin uzunluğuna eşit olduğunu belirtir. Çeşitli matematik yarışmalarında, ortaokul matematik sınavlarında yaygın olarak kullanılan bir teoremdir ve gerçek dünyadaki birçok probleme uygulanabilirliği vardır.

<span class="mw-page-title-main">Reuschle teoremi</span> Ortak bir noktada kesişen bir üçgenin cevianlarının bir özelliğini tanımlar

Temel geometride, Reuschle teoremi, ortak bir noktada kesişen bir üçgenin cevianlarının bir özelliğini tanımlar ve adını Alman matematikçi Karl Gustav Reuschle (1812-1875)'den alır. Ayrıca Fransız matematikçi Olry Terquem (1782-1862)'in adıyla 1842'de yayınlayan Terquem teoremi olarak da bilinir. Teorem, Euler doğrusu ve Feuerbach'ın dokuz nokta çemberi ile bağlantılı olarak benzer biçimde bulunan belirli köşe çaprazlarının kesişim özellikleriyle ilgili bir problemi ele almaktadır. Reuschle teoreminin ispatı, sekant teoreminin yanı sıra Ceva teoremi ve onun karşıt teoremine dayanmaktadır.


Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.