Basınç katsayısı

Akışkanlar dinamiği alanında, basınç katsayısı bir boyutsuz sayı olup, bir akış alanındaki bağıl basınçları ifade eder. Basınç katsayısı, aerodinamik ve hidrodinamik çalışmalarında kullanılmaktadır. Her bir akış alanında, her konumsal noktanın kendine özgü bir basınç katsayısı, C_p değeri bulunmaktadır.

Aerodinamik ve hidrodinamik alanlarında, birçok durumda, bir cismin yakınındaki bir noktadaki basınç katsayısı, cismin boyutundan bağımsız olarak değerlendirilir. Bu sebeple, bir mühendislik modeli rüzgar tüneli veya su tünelinde test edilerek, modelin çevresindeki kritik noktalardaki basınç katsayıları belirlenebilir ve bu katsayılar, tam boyutlu bir uçak veya geminin etrafındaki kritik noktalardaki akışkan basıncını güvenle tahmin etmek için kullanılabilir.

Basınç katsayısı, sıkıştırılamaz ve sıkıştırılabilir akışkanları (su ve hava gibi) incelemek için kullanılan bir parametredir. Boyutsuz katsayı ile boyutlu sayılar arasındaki ilişki şu şekildedir: ^[1][2]

${\displaystyle C_{p}={p-p_{\infty } \over {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}$

burada:

${\displaystyle p}$ basınç katsayısının hesaplandığı noktadaki statik basınçtır

${\displaystyle p_{\infty }}$ serbest akımdaki (yani herhangi bir bozulmadan uzak olan, İng. freestream) statik basınçtır

${\displaystyle \rho _{\infty }}$ serbest akım akışkan yoğunluğudur (Deniz seviyesinde ve 15 °C'deki hava yoğunluğu 1.225 ${\displaystyle {\rm {kg/m^{3}}}}$’tür)

${\displaystyle V_{\infty }}$ akışkanın serbest akım hızı veya akışkan içerisindeki cismin hızıdır

Bernoulli denklemi kullanılarak, basınç katsayısı potansiyel akışlar (viskoz olmayan ve kararlı akışlar) için daha basit hale getirilebilir:^[3]

${\displaystyle C_{p}|_{M\,\approx \,0}={p-p_{\infty } \over p_{0}-p_{\infty }}={1-{\bigg (}{\frac {u}{u_{\infty }}}{\bigg )}^{2}}}$

burada:

${\displaystyle u}$ basınç katsayısının değerlendirildiği noktadaki akış hızıdır

${\displaystyle M}$ Mach sayısı olup sıfır limitinde değerlendirilir

${\displaystyle p_{0}}$ akışın durgunluk basıncıdır

Bu ilişki, hız ve basınçtaki değişimlerin, akışkan yoğunluğundaki değişimlerin ihmal edilebileceği kadar küçük olduğu sıkıştırılamaz akışkanların akışı için geçerlidir. Bu varsayım, Mach sayısı yaklaşık olarak 0.3'ün altında olduğunda mühendislik uygulamalarında yaygın olarak kabul edilir.

• ${\displaystyle C_{p}}$ değerinin sıfır olması, basıncın serbest akım basıncı ile aynı olduğunu belirtir.
• ${\displaystyle C_{p}}$ değerinin bir olması, durgunluk basıncına karşılık gelir ve bir durgunluk noktasını ifade eder.
• Bir sıvı akışında en negatif ${\displaystyle C_{p}}$ değerleri, kavitasyon sayısına eklenerek kavitasyon marjını verir. Bu marj pozitifse, akış yerel olarak tamamen sıvıdır; sıfır veya negatifse, akış kavitasyon yapmakta veya gaz halindedir.

${\displaystyle C_{p}=-1}$ olan noktalar, planör tasarımında önem taşır çünkü bu, varyometreye sinyal basıncı sağlamak için uygun bir "toplam enerji" portu yerini gösterir. Varyometre, atmosferin dikey hareketlerine tepki verir, ancak planörün dikey manevralarına tepki vermez.

Bir cismin etrafındaki sıkıştırılamaz akışkan akış alanında, 'bir'e kadar pozitif basınç katsayısına sahip noktalar ve negatif basınç katsayıları (eksi birin altında olan katsayılar dahil) bulunmaktadır.

Hava gibi sıkıştırılabilir akışkanların akışında ve özellikle yüksek hızlı sıkıştırılabilir akışkan akışında, ${\displaystyle {{\frac {1}{2}}\rho v^{2}}}$ (dinamik basınç) artık durgunluk basıncı ile statik basınç arasındaki farkın doğru bir ölçüsü olarak kabul edilmez. Ayrıca, durgunluk basıncının toplam basınca eşit olduğu tanıdık ilişki her zaman geçerli değildir. (Bu, izentropik akışta her zaman doğrudur, ancak şok dalgasının varlığı, akışın izotermal olmasından sapmasına neden olabilir.) Sonuç olarak, sıkıştırılabilir akışta basınç katsayıları birden büyük olabilir.^[4]

Basınç katsayısı ${\displaystyle C_{p}}$, girdapsız akış (İng. irrotational flow) ve izentropik akış için, serbest akım hızı ${\displaystyle u_{\infty }}$ ile normalize edilen potansiyel ${\displaystyle \Phi }$ ve perturbasyon potansiyeli ${\displaystyle \phi }$ tanıtılarak tahmin edilebilir

${\displaystyle \Phi =u_{\infty }x+\phi (x,y,z)}$

Bernoulli denklemi kullanılarak,

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{sabit}}}$

bu denklem şu şekilde yeniden yazılabilir

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {a^{2}}{\gamma -1}}={\text{sabit}}}$

burada ${\displaystyle a}$ ses hızıdır.

Basınç katsayısı şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {a}{a_{\infty }}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}({\frac {u_{\infty }^{2}}{2}}-\Phi _{t}-{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}})+1\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx {\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1-{\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}(\phi _{t}+u_{\infty }\phi _{x})\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx -{\frac {2\phi _{t}}{u_{\infty }^{2}}}-{\frac {2\phi _{x}}{u_{\infty }}}\end{aligned}}}$

burada ${\displaystyle a_{\infty }}$ uzak alan ses hızıdır.

Klasik piston teorisi, güçlü bir aerodinamik analiz aracıdır. Momentum denklemi ve izentropik perturbasyonların varsayımı kullanılarak, yüzey basıncı için aşağıdaki temel piston teorisi formülü elde edilir:

${\displaystyle p=p_{\infty }\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}}$

burada ${\displaystyle w}$ aşağı inhiraf hızı (İng. downwash speed) ve ${\displaystyle a}$ ses hızıdır.

${\displaystyle C_{p}={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]}$

Yüzey şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle F(x,y,z,t)=z-f(x,y,t)=0}$

Kayma hızı sınır koşulu (İng. slip velocity boundary condition) şuna yol açar:

${\displaystyle {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}(u_{\infty }+\phi _{x},\phi _{y},\phi _{z})=V_{\text{duvar}}\cdot {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}=-{\frac {\partial F}{\partial t}}{\frac {1}{|\nabla F|}}}$

Aşağı inhiraf hızı (İng. downwash speed) ${\displaystyle w}$ şu şekilde yaklaşık olarak hesaplanır:

${\displaystyle w={\frac {\partial f}{\partial t}}+u_{\infty }{\frac {\partial f}{\partial x}}}$

Belirli bir hücum açısındaki bir kanat profili, basınç dağılımı olarak adlandırılan bir duruma sahiptir. Bu basınç dağılımı, kanat profilinin etrafındaki tüm noktalardaki basınç değerlerini ifade eder. Genellikle, bu dağılımların grafiklerinde negatif değerler grafikte daha yüksek konumda çizilir, çünkü kanat profilinin üst yüzeyindeki ${\displaystyle C_{p}}$ genellikle sıfırın oldukça altında olacak ve bu nedenle grafikteki en üst çizgi olacaktır.

Üç aerodinamik katsayının tamamı, basınç katsayısı eğrisinin kord boyunca integralidir. Kaldırma katsayısı, tamamen yatay yüzeylere sahip iki boyutlu bir kanat profili kesiti için, basınç katsayısı dağılımından entegrasyon yoluyla veya dağılımdaki çizgiler arasındaki alanın hesaplanması ile belirlenebilir. Bu ifade, kaldırma yaklaştırmasının panel yöntemi kullanılarak doğrudan sayısal entegrasyon için uygun değildir, çünkü basınç kaynaklı kaldırma yönünü dikkate almaz. Bu denklem yalnızca sıfır hücum açısı için geçerlidir.

${\displaystyle C_{l}={\frac {1}{x_{TE}-x_{LE}}}\int \limits _{x_{LE}}^{x_{TE}}\left(C_{p_{l}}(x)-C_{p_{u}}(x)\right)dx}$

burada:

${\displaystyle C_{p_{l}}}$ alt yüzeydeki basınç katsayısıdır

${\displaystyle C_{p_{u}}}$ üst yüzeydeki basınç katsayısıdır

${\displaystyle x_{LE}}$ ön kenarın konumudur

${\displaystyle x_{TE}}$ arka kenarın konumudur

Alt yüzeydeki ${\displaystyle C_{p}}$ daha yüksek (daha negatif) olduğunda, bu negatif bir alan olarak kabul edilir çünkü bu durum kaldırma yerine aşağı doğru kuvvet üretecektir.

• Kaldırma katsayısı
• Sürükleme katsayısı

• Abbott, I.H. and Von Doenhoff, A.E. (1959) Theory of Wing Sections, Dover Publications, Inc. New York, Standard Book No. 486-60586-8
• Anderson, John D (2001) Fundamentals of Aerodynamic 3rd Edition, McGraw-Hill. 0-07-237335-0