İçeriğe atla

Barbier teoremi

Bu Reuleaux çokgenleri, sabit genişliğe sahiptir ve tümü aynı genişliğe sahiptir; bu nedenle Barbier teoremine göre aynı zamanda eşit çevreleri vardır.

Geometride, Barbier teoremi, kesin şekli ne olursa olsun, sabit genişliğe sahip her eğrinin çevresinin, genişliğinin π katı olduğunu belirtir.[1] Bu teorem, ilk olarak Joseph-Émile Barbier tarafından 1860'ta yayınlandı.[2]

Örnekler

Eşkenar üçgenden faydalanarak 3 yaydan oluşan Reuleaux üçgenini çizmek.

Sabit genişliğe sahip eğrilerin en bilinen örnekleri çember ve Reuleaux üçgenidir. Bir çember için genişlik, çapla aynıdır; genişliğinde bir çemberin çevresi 'dur. genişliğine sahip bir Reuleaux üçgeni, yarıçaplı üç yaydan oluşur. Bu yayların her birinin merkezi açısı kadardır, bu nedenle genişliğindeki Reuleaux üçgenin çevresi, yarıçaplı bir dairenin çevresinin yarısına yani 'ya eşittir. Reuleaux poligonları gibi diğer basit örneklerin benzer bir analizi de aynı sonucu verir.

İspatlar

Teoremin bir kanıtı, Minkowski toplamlarının özelliklerini kullanır. Eğer , sabit genişliğine sahip bir cisim ise, ve 180° dönüşünün Minkowski toplamı yarıçapı ve çevresi olan bir disktir. Bununla birlikte, Minkowski toplamı, dışbükey cisimlerin çevresi üzerinde doğrusal olarak etki eder, bu nedenle 'nin çevresi, teoremin belirttiği gibi olan bu diskin çevresinin yarısı olmalıdır.[3]

Alternatif olarak teorem, herhangi bir eğrinin uzunluğunun, eğriyi kesen çizgiler kümesinin ölçüsüne eşit olduğu ve bunların kesişme sayılarıyla çarpıldığı integral geometrideki Crofton formülünü takip eder. Aynı sabit genişliğe sahip herhangi iki eğri, aynı ölçüye sahip çizgi kümeleriyle kesişir ve bu nedenle aynı uzunluktadırlar. Tarihsel olarak, Crofton formülünü Barbier teoreminden daha sonra ve ondan bağımsız olarak türetmiştir.[4]

Teoremin temel bir olasılık kanıtı, Buffon'un iğnesinde bulunabilir.

Daha yüksek boyutlar

Barbier'in sabit genişliğe sahip yüzeyler için geliştirdiği teoreminin analojisi yanlıştır. Özellikle birim küre, yüzey alanına sahipken, aynı sabit genişlikteki bir Reuleaux üçgeninin dönme yüzeyi ile yüzey alanına sahiptir.[5]

Dış bağlantılar ve ilave okumalar

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ Lay (2007), Convex Sets and Their Applications, Dover, ISBN 9780486458038 
  2. ^ Barbier (1860), "Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert" (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, 2e série (Fransızca), cilt 5, ss. 273-286, 20 Nisan 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 10 Ekim 2020, Özellikle sayfa 283–285 bakınız. 
  3. ^ "The Theorem of Barbier (Java)". Cut-the-Knot. 23 Mayıs 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  4. ^ Sylvester (1890), "On a funicular solution of Buffon's "problem of the needle" in its most general form" (PDF), Acta Mathematica, 14 (1), ss. 185-205, doi:10.1007/BF02413320, 3 Mayıs 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 10 Ekim 2020 .
  5. ^ Bayen (2012), Semidefinite programming for optimizing convex bodies under width constraints, 27 (6), ss. 1073-1099, doi:10.1080/10556788.2010.547580, 17 Aralık 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 10 Ekim 2020 .

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Pi sayısı</span> dairenin çevresinin çapına oranını ifade eden irrasyonel matematik sabiti

Pi sayısı , bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen irrasyonel matematik sabitidir. İsmini, Yunanca περίμετρον (çevre) sözcüğünün ilk harfi olan π harfinden alır. Pi sayısı, Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir. Aynı zamanda ismini yunancada pie anlamına gelen πίτα' dan alır.

<span class="mw-page-title-main">Sinüs (matematik)</span>

Matematikte sinüs, trigonometrik bir fonksiyon. Sin kısaltmasıyla ifade edilir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Liouville teoremi tam fonksiyonların sınırlılığıyla ilgili temel bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Cebirsel topoloji</span>

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı incelemek için kimi cebirsel, aritmetik veya topolojik değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.

Matematikte Hardy teoremi, karmaşık analizde holomorf fonksiyonların büyüme davranışlarıyla ilgili bir sonuçtur.

<span class="mw-page-title-main">Birim çember</span> trigonometri ve mampo da çok işlemi olmuş bir çemberdi ve çok kolay bir yönetimi vardır birim çemberi matematiğin temelini olustur bu yüzden çok önemli bir cemberdir

Birim çember Matematikte, yarıçapı bir birim olan çembere birim çember denir. Çoğunlukla, özellikle trigonometride, Öklid düzlemine göre Kartezyen koordinat sisteminde, merkezi orijin üzerinde (0,0) olan ve yarıçapı bir birim olan çemberdir. n birim çember sıklıkla S1; olarak ifade edilir. Genellikle daha büyük boyutları ise birim küredir. (x,y) birim çember üzerinde bir nokta olduğunda, |x| ve |y|, dik olan ve hipotenüsü bir olan üçgenin diğer kenar uzunluklarıdır. Bu nedenle, Pisagor teoremine göre, x ve y bu denklemi karşılamaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Thales teoremi</span>

Geometride, Thales teoremi, A, B ve C, AC çizgisinin bir çap olduğu bir daire üzerinde farklı noktalar ise, ∠ABC açısının bir dik açı olduğunu belirtir. Thales teoremi, çevre açı teoreminin özel bir durumudur ve Öklid'in Elemanlar adlı eserinin üçüncü kitabında 31. önermenin bir parçası olarak bahsedilmiş ve kanıtlanmıştır. Genellikle, teoremin keşif için şükran kurbanı olarak bir öküz sunduğu söylenen Miletli Thales'e atfedilir, ancak bazen Pisagor'a da atfedilir.

<span class="mw-page-title-main">Pappus'un alan teoremi</span> rastgele bir üçgenin üç kenarına iliştirilmiş üç paralelkenarın alanları arasındaki ilişkiyi verir

Pappus'un alan teoremi, verilen herhangi bir üçgenin üç kenarına yaslanmış üç paralelkenarın alanları arasındaki ilişkiyi tanımlar. Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak da düşünülebilecek teorem, adını onu keşfeden Yunan matematikçi İskenderiyeli Pappus'tan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Blaschke–Lebesgue teoremi</span>

Düzlem geometride Blaschke–Lebesgue teoremi, Reuleaux üçgeninin verilen sabit genişlikte tüm eğrilerin en küçük alanına sahip olduğunu belirtir. Belirli bir genişliğe sahip her eğrinin en az Reuleaux üçgeni kadar geniş bir alana sahip olması, Blaschke-Lebesgue eşitsizliği olarak da bilinir. Adını, 20. yüzyılın başlarında teoremi ayrı ayrı yayımlayan Wilhelm Blaschke ve Henri Lebesgue'den almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Braikenridge–Maclaurin teoremi</span>

Geometride, 18. yüzyıl İngiliz matematikçileri William Braikenridge ve Colin Maclaurin'in adını taşıyan Braikenridge–Maclaurin teoremi, Pascal teoreminin tersidir. Braikenridge–Maclaurin teoremine göre bir altıgenin üç karşıt kenarı üç eşdoğrusal noktada buluşursa, altı köşe bir konik üzerinde yer alır ve bu da bir çift doğruya dejenere edilebilir.

<span class="mw-page-title-main">Çember sıkıştırma teoremi</span>

Çember sıkıştırma teoremi, düzlemde iç kısımları ayrık olan çemberler arasındaki olası teğetlik ilişkilerini tanımlar. Dairesel sıkıştırma, içleri ayrık olan bağlantılı bir çember koleksiyonudur. Bir çember sıkıştırmasının kesişme çizgesi (grafı), her çember için bir tepe noktasına ve teğet olan her çember çifti için bir kenara sahip olan çizgedir. Çember sıkıştırma, düzlemde veya eşdeğer olarak küre üzerindeyse, kesişme çizgesine madeni para (coin) çizgesi denir; daha genel olarak, iç-ayrık geometrik nesnelerin kesişme çizgelerine, teğetlik çizgeleri veya temas çizgeleri denir. Madeni para çizgeleri her zaman bağlı, basit ve düzlemseldir. Çember sıkıştırma teoremi, bunların bir çizgenin madeni para çizgesi olması için tek gereklilik olduğunu belirtir:

<span class="mw-page-title-main">Clifford çember teoremi</span>

Geometride, adını İngiliz geometrici William Kingdon Clifford'dan alan Clifford teoremleri, çemberlerin kesişimleri ile ilgili teoremler dizisidir.

<span class="mw-page-title-main">Çift merkezli çokgen</span>

Geometride, çift merkezli (bicentric) çokgen, teğet bir çokgendir ve aynı zamanda döngüsel yani kirişler dörtgenidir - yani, çokgenin her köşesinden geçen bir çevrel çember içine çizilmiştir. Tüm üçgenler ve tüm düzgün çokgenler çift merkezlidir. Öte yandan, kenarları eşit olmayan bir dikdörtgen çift merkezli değildir, çünkü hiçbir çember dört kenara da teğet olamaz.

<span class="mw-page-title-main">Holditch teoremi</span>

Düzlem geometride, Holditch teoremi, sabit uzunlukta bir kirişin dışbükey kapalı bir eğri içinde dönmesine izin verilirse, kiriş üzerindeki bir noktanın yerinin bir uçtan uzaklığı ve diğerinden uzaklığı kapalı alanı orijinal eğrinin oluşturduğu alandan daha az olan kapalı bir eğri olduğunu belirtir. Teorem 1858'de İngiliz matematikçi Rev. Hamnet Holditch tarafından yayımlanmıştır. Holditch tarafından bahsedilmese de, teoremin kanıtı, kirişin, izlenen noktanın yerinin basit bir kapalı eğri olacak kadar kısa olduğu varsayımını gerektirir.

Dışbükey bir kirişler çokgeni, herhangi bir şekilde üçgenlere ayrıldığında ve bu şekilde oluşturulan her üçgene bir iç teğet çember çizildiğinde Japon teoremi, bu üçgenlerin iç teğet çemberlerinin yarıçapları toplamının, seçilen üçgenlemeden bağımsız bir şekilde sabit olduğunu belirtir. Bu teorem, Carnot teoremi kullanılarak kanıtlanabilir. Japon matematikçilerin eski bir geleneğine göre, bu teorem 1800'de tanrıları ve yazarı onurlandırmak için bir Japon tapınağına asılan tabletlere yazılmış bir Sangaku problemiydi.

<span class="mw-page-title-main">Reuleaux üçgeni</span>

Bir Reuleaux üçgeni, merkezi diğer ikisinin sınırında bulunan üç çembersel diskin kesişmesinden oluşan bir şekildir. Sınırı, dairenin kendisinden başka en basit ve en iyi bilinen bu eğri, bir sabit genişlikli eğridir. Sabit genişlik, her iki paralel destek doğrusunun aralığının yönlerinden bağımsız olarak aynı olduğu anlamına gelir. Tüm çapları aynı olduğu için Reuleaux üçgeni, "Daire dışında, delikten düşmemesi için bir rögar kapağı hangi şekillerde yapılabilir?" sorusunun cevabıdır.

Geometride, Jung teoremi, herhangi bir Öklid uzayındaki bir dizi noktanın çapı ile bu kümenin minimum çevreleyen topunun yarıçapı arasındaki bir eşitsizliktir. Bu eşitsizliği ilk kez 1901'de inceleyen Heinrich Jung'un adını almıştır. En küçük çember problemini açık bir biçimde çözmek için algoritmalar da mevcuttur.

<span class="mw-page-title-main">Episikloid</span> Matematikte bir yuvarlanma eğrisi

Geometride, bir episikloid, sabit bir çemberin etrafında kaymadan yuvarlanan bir çemberin çevresi üzerinde seçilen bir noktanın yolunu izleyerek üretilen bir düzlem eğrisidir -buna episikl (epicycle) denir. Bu, yuvarlanma eğrisinin özel bir türüdür.

<span class="mw-page-title-main">Deltoid eğrisi</span> düzlem eğri, 3-çentikli hiposikloid

Geometride, triküspoid eğri veya Steiner eğrisi olarak da bilinen deltoid eğri, üç çentikten oluşan bir hiposikloiddir. Başka bir deyişle, bir çemberin çevresi üzerindeki bir noktanın, yarıçapının üç veya bir buçuk katı olan bir çemberin içinde kaymadan yuvarlanırken oluşturduğu yuvarlanma eğrisidir. Adını, benzediği büyük Yunanca delta (Δ) harfinden alır.

Matematikte, Ivan Niven'in adını taşıyan Niven teoremi, 0° ≤ θ ≤ 90° aralığında θ derecesinin sinüsünün de rasyonel bir sayı olduğu tek rasyonel θ değerlerinin şunlar olduğunu belirtir: