Ağırlıklı ortalama

İstatistik bilim dalında ağırlıklı ortalama betimsel istatistik alanında, genellikle örneklem, veri dizisini özetlemek için bir merkezsel konum ölçüsüdür. En çok kullanan ağırlıklı ortalama tipi ağırlıklı aritmetik ortalamadır. Burada genel olarak bir örnekle bu kavram açıklanmaktadır. Değişik özel tipli ağırlıklar alan özel ağırlıklı aritmetik ortalamalar bulunmaktadır. Diğer ağırlıklı ortalamalar ağırlıklı geometrik ortalama ve ağırlıklı harmonik ortalamadir. Ağırlıklı ortalama kavramı ile ilişkili teorik açıklamalar son kısımda ele alınacakdır.

Boş-olmayan bir veri-seti olarak

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]\,,}$

ve her bir eleman icin ağırlık fonksiyonu

${\displaystyle [w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}]\,,}$

olarak verilirse, ağırlıklı aritmetik ortalama için formül şu olur:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

Daha açık bir şekilde (toplama operatörü olan Σ kullanılmadan) bu formül

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}.}$

olur.

Ağırlıklar negatif olmamalıdır. Ağırlıkların bazıları sıfır olabilir; ancak hepsi sıfır olamazlar çünkü bu halde p matematikte sıfırla bölme tanımlanmaz.

Eğer bütün ağırlıklar birbirlerine eşitlerse sonuç aritmetik ortalamanın aynısıdır. Genel olarak ağırlıklı ortalamalar özellikleri bakimdan aritmetik ortalamaya benzemektedir. Ancak ağırlıklı ortalamalar bazen sezgiyle kabul edilemeyecek sonuçlar doğurur; örneğin Simpson'un paradoksu ortaya çıkabilir.

Ağırlıklı ortalamalar bazı matematik alanlarda rol oynarlar. Ayrıca betimsel istatistik alanında ağırlıklı ortalamalar pratikte kullanılır.

Pratikte çok görülebilen bir özel ağırlıklı aritmetik ortalama hali, ağırlık fonksiyonun normalize edilmiş şekli ile ortaya çıkan özel normalize ağırlıklı aritmetik ortalamadır. Normalizasyon işlemi ağırlıkların toplamını 1e eşit yapılması ile başarılır. Bu halde ağırlıklı aritmetik ortalama formülünün paydası 1e eşit olur. Böylece payda

${\displaystyle {w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}=1}$

olduğu için bu bir koşul olarak şu normalize edilmiş ağırlıklı aritmetik ortalama bulunur:

${\displaystyle {\bar {x}}={w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}}$

Eğer x bir uzunluk değişkeni ise uzunluk ağırlıklı aritmetik ortalama şu olur:

${\displaystyle {\bar {y}}={\frac {y_{2}x_{2}-y_{1}x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

Aynı bir istatistik imtihanı fakultede bulunan 30 öğrencili gündüz dersleri şubesine ve 20 öğrencili gece dersleri şubesine uygulanmıştır. Sonuç veri dizileri şöyledir:

Gündüz dersleri = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

Gece dersleri = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98

Ağırlıksız aritmetik ortalama sonucu, gündüz dersleri şubesi için 90% ve gece dersleri şubesi için 80% olarak hesaplanır. Eğer bu ikisinin basit bir ortalaması alınırsa, bu ortalama 85% olarak bulunur. Bu tüm öğrenciler için bir basit aritmetik ortalama değildir. Çünkü aritmetik ortalama tüm notların toplanmasını ve bütün toplam öğrenci sayısı ile bölünmesini gerektirir; yani

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {4300}{50}}=86\%.}$

Aynı sonuç daha kolay bir şekilde iki şube basit aritmetik ortalamalarını ve ağırlık olarak şube büyüklüklerini kullanarak bir ağırlıklı ortalama bulunması yoluyla da elde edilebilir:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {(20)80\%+(30)90\%}{20+30}}=86\%.}$

Böylece, eğer bireysel notlar elde bulunmuyorsa fakat şube ortalama notları ve şube büyüklükleri biliniyorsa, tüm öğrenciler için ortalama not yine de hesaplanabilir.

Incelenen sorunda sadece oransal olarak verilen ağırlıklar bulunuyorsa, herhangi bir ağırlıklı ortalamanın ağırlıklarının toplamı 1e eşit olan özel bir ağırlıklı ortalama olarak ifade edilebilir. Bu çeşit lineer toplama dönüşümüne bir konveks birleşim adı verilir.

Verilen sayısal örneğinde ağırlıkları oransal yüzde iken bu şöyle gosterilebilir:

${\displaystyle {\frac {20}{20+30}}=0.4\,}$

${\displaystyle {\frac {30}{20+30}}=0.6\,}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {(0.4)80\%+(0.6)90\%}{0.4+0.6}}=86\%}$

Bu şöyle basitleştirilebilir:

${\displaystyle {\bar {x}}=(0.4)80\%+(0.6)90\%=86\%}$

Eğer her bir veri elemanı ${\displaystyle x_{i}\,\!}$nin her biri bilinen ${\displaystyle {\sigma _{i}}^{2}\,}$ varyansli değişik olasılık dağılımından geldiği bilinmekte ise, bir özel bir ağırlıklı aritmetik ortalama kurulabilir. Bu tür ağırlıklı aritmetik ortalama için ağırlıklar bilinen varyans değerleri, yani

${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}.}$

olarak seçilir. Eğer bu seçim yapılırsa, ortaya çıkan varyans ağırlıklı aritmetik ortalama şöyle ifade edililir:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}/{\sigma _{i}}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}1/{\sigma _{i}}^{2}}},}$

Bu özel tip ağırlıklı ortalama için varyans şöyle hesaplanabilir:

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}1/{\sigma _{i}}^{2}}},}$

Eğer her bir varyans sabit ise, yani ${\displaystyle \sigma _{i}=\sigma _{0}\,}$ ise, bu ifade daha da basit olarak şöyle yazılabilir:

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {{\sigma _{0}}^{2}}{n}}}$.

Çıkarımsal istatistik alanı içinde bu tür varyans ağırlıklı aritmetik ortalamanın önemi, bu tür ortalamanın bağımsız ve aynı ortalama ile normal dağılım gösteren olasılık dağılımlarının ortalaması için maksimum olabilirlik kestirimi olduğundadır.

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilirse

X = { x₁, x₂, ..., x_n}

ve her bir veriye verilen ağırlıklar yani ağırlık fonksiyonu' şu ise:

W = { w₁, w₂, ..., w_n}

Bu halde ağırlıklı geometrik ortalama şöyle hesaplanır:

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}\quad }}\right)}$

Bundan çıkartılabilecek bir diğer sonuç, geoemetrik ortalamanın logaritmasının bireysel değerlerin logaritmalarının ağırlıklı aritmetik ortalaması olduklarıdır.

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilsin:

X = { x₁, x₂, ..., x_n}

Her bir veriye verilen ağırlıklar şunlar olsun:

W = { w₁, w₂, ..., w_n}

Bu halde ağırlıklı harmonik ortalama şöyle hesaplanır:

${\displaystyle {\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\bigg /}\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}$

Dikkat edilirse, eğer butun ağırlıklar aynı ağırlık sayısı ise, sonuç bir harmonik ortalamanın aynısıdır.

Bir ağırlıklı ortalama ${\displaystyle M}$ çoklu bir pozitif sayılar dizisini bir pozitif sayı olan

(${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}^{n}\to \mathbb {R} _{>0}}$).

ifadesine tasarımlayan bir fonksiyondur.

• Sabit nokta: ${\displaystyle M(1,1,\dots ,1)=1}$
• Homojenlik: ${\displaystyle \forall \lambda \ \forall x\ M(\lambda \cdot x_{1},\dots ,\lambda \cdot x_{n})=\lambda \cdot M(x_{1},\dots ,x_{n})}$

(Vektör notasyonu kullanarak: ${\displaystyle \forall \lambda \ \forall x\ M(\lambda \cdot x)=\lambda \cdot Mx}$)

• Monotonik fonksiyon: ${\displaystyle \forall x\ \forall y\ (\forall i\ x_{i}\leq y_{i})\Rightarrow Mx\leq My}$

Sonuç olarak:

• Üst sınırlılık: ${\displaystyle \forall x\ Mx\in [\min x,\max x]}$
• Devamlılık: ${\displaystyle \lim _{x\to y}Mx=My}$

Bir isbat eskizi: ${\displaystyle \forall x\ \forall y\ \left(||x-y||_{\infty }\leq \varepsilon \cdot \min x\Rightarrow \forall i\ |x_{i}-y_{i}|\leq \varepsilon \cdot x_{i}\right)}$ ve ${\displaystyle M((1+\varepsilon )\cdot x)=(1+\varepsilon )\cdot Mx}$ olduğu için sonuç olarak

${\displaystyle \forall x\ \forall \varepsilon >0\ \forall y\ ||x-y||_{\infty }\leq \varepsilon \cdot \min x\Rightarrow |Mx-My|\leq \varepsilon }$.

• Türevi alınamayan ortalamalar bulunmaktadır. Örneğin, çok sayılı bir dizinin maksimum sayısı bir tür konum merkezi olduğu kabul edilebilir (ya bir güç ortalamasının uçsal hali olarak veya bir medyan olarak) ama bunun türevi alınamaz.
• Hemen hemen her ortalama (genelleştirilmiş f-ortalama hariç) bu verilen özellikleri taşımaktadır.

• • Eğer ${\displaystyle f}$ kesinlikle monotonik ise, genelleştirilmiş f-ortalaması da monotoni özelliğini taşır.
  • Genelleştirilmiş f-ortalaması homojenlik özelliği göstermez.

Yukarıda verilen özellikler daha karmaşık ortalama tipleri yaratmak tekniklerinin bulunduğunu sezindirmektedir.

Eğer biraz aşırı detaycı bir görüş kabul edilirse, ağırlıksız ortalama kavramının gereksiz bulunduğu iddia edilebilir ve sadece genel olarak ağırlıklı ortalama kavramı belirlenmesi yeterlidir. Çünkü, hemen sezgi ile açıktır ki bir ağırlıksız ortalama ağırlıkları birbirine eşit olan ve bir özel ağırlıklı ortalamadır.

Böylece eğer ${\displaystyle C}$ bir ağırlıklı ortalama, ${\displaystyle M_{1},\dots ,M_{m}}$ bir dizi ağırlıksız ortalama ise, her pozitif reel sayı ${\displaystyle p}$ için,

${\displaystyle \forall x\ Ax=C(M_{1}x,\dots ,M_{m}x)}$

${\displaystyle \forall x\ Bx={\sqrt[{p}]{M_{1}(x_{1}^{p},\dots ,x_{n}^{p})}}}$

ifadelerine uyan ${\displaystyle A,B}$ de ağırlıksiz ortalamalardır.

Elemanları tekrarlıyarak herhangi bir ağırlıksız ortalama bir ağırlıklı ortalamaya dönüştürülebilir. Bu özellik herhangi bir ortalamanın, ağirlıklı ortalamaların bir ağırlıklı şeklinin ortalaması olduğu önerilebilir. Bu öneri şöyle biraz daha açıklığa kavuşabilir: Diyelim ki ağırlıkı ortalama ${\displaystyle M}$ ve doğal sayılardan oluşan şu ağırlıklar

${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$

verilmiş bulunsun. Bu halde buna karşıt olan ağırlıklı ortalama ${\displaystyle A}$ şöyle elde edilebilir:

${\displaystyle A(x_{1},\dots ,x_{n})=M(\underbrace {x_{1},\dots ,x_{1}} _{a_{1}},x_{2},\dots ,x_{n-1},\underbrace {x_{n},\dots ,x_{n}} _{a_{n}}).}$

Normal dağılım gösteren bir anakütleden gelen bir rastgele örneklem için örneklem ortalamasının beklenen değeri, μ, yani anakütle ortalamasıdır. Böylece örneklem ortalaması, [yansızlık] nokta tahmin kriterine göre anakütle ortalamasının iyi bir tahminidir. Örneklem ortalaması bu halde, kendine ait bir olasılık dağılımı bulunan bir rassal değişken olarak görülmektedir. Normal dağılım gösteren bir anakütleden rastgele bir örneklem yöntemi ile seçilmiş n büyüklükte bir örneklemin ortalamasının örneklem ortalama dağılımı şudur:

${\displaystyle {\bar {x}}\thicksim N\left\{\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right\}.}$

Çok kere anakütle varyansı bilinmeyen bir parametredir ve ortalama toplam kareler tahiminden yaklaşık olarak elde edilmiştir. Bu halde örneklem ortalamasının dağılımı, normal dağılım olmaktan çıkıp, n - 1 serbestlik dereceli bir Student'in t dağılımı olur.

• ortalama
• betimsel istatistik
• merkezsel konum ölçüleri

• Bevington, Philip. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences.

• Ölçüm verilerinin ağırlıklı ortalamaları ile ilişkili belirsizlik^[]