Topoloji, matematiğin ana dallarından biridir. Yunancada yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs ür.
Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:
Tıkızlık, topolojik uzayların sahip olabileceği başlıca özelliklerden biridir. Bir X uzayı ve birleşimleri X uzayını kaplayan herhangi bir açık kümeler topluluğu verildiğinde, bu topluluğun içinden sonlu sayıda açık küme hala X uzayını kaplayabiliyorsa, X uzayına tıkız (kompakt) denir. Gerçel sayılar kümesi (ℜ), üzerindeki standart topolojiye göre tıkız değildir, ancak ℜ’nin her kapalı ve sınırlı alt kümesi altuzay topolojisine göre tıkızdır. Matematiğin diğer pek çok alanında olduğu gibi, sonsuz bir nesnenin sonlu bir nesneye indirgenebilmesi çok önemli avantajlar sağladığı için topoloji alanında ve topolojik yöntemler kullanan diğer alanlarda vazgeçilmez bir kavramdır.
Yıldız kümeleri veya yıldız bulutları, öz kütleçekimiyle bir arada tutulan büyük yıldız gruplarıdır. İki ana yıldız kümesi türü belirlenmiştir: Küresel kümeler, kütleçekimsel olarak bağlı on bin ila milyonlarca yaşlı yıldızın oluşturduğu sıkı gruplardır, açık kümeler ise genellikle birkaç yüzden az üye içeren, daha gevşek kümelenmiş ve çoğunlukla çok genç yıldızların oluşturduğu gruplardır. Açık kümeler, gökada içinde hareket ederken dev moleküler bulutların çekim etkisiyle zamanla dağılır, fakat küme üyeleri artık çekimsel olarak bağlı olmasalar da uzayda genel olarak aynı yönde hareket etmeye devam ederler; bunlara yıldız topluluğu, bazen de hareketli grup denir.
Yüzey, matematikte ve özellikle topolojide iki boyutlu çokkatlı. İki gerçel değişkenli ve gerçel değerli bir fonksiyonun üç boyutlu uzayda (R³) grafiği tipik yüzey örneğidir. Ayrıca Dünya yüzeyi, bir yumurtanın kabuğu, bir simit birer yüzeydir.
Çok katlı, topolojide soyut topolojik bir uzay. Bu uzayın her noktasının çevresi Öklit uzayına benzer. Bununla birlikte, çok katlı bir Öklit uzayı olmak zorunda değildir. Genel yapısı, bu basit yerel yapısından çok daha karmaşık olabilir. Çok katlının boyutu, yerel olarak benzediği Öklit uzayının boyutu olarak tanımlanır. Herhangi bir topolojik uzay içinse boyut kavramından söz etmek genelde olası değildir.
Karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar için özdeşlik teoremi, bağlantılı açık bir D kümesi üzerinde verilmiş olan f ve g gibi iki holomorf fonksiyon D içindeki bir z noktasının komşuluğunun üzerinde eşit olursa, o zaman bu iki fonksiyonun D üzerinde eşit olduklarını ifade eder. Bu yüzden, holomorf bir fonksiyon tamamıyla, D içinde muhtemelen çok küçük bir komşuluktaki değerleriyle belirlenir. Bu durum, gerçel türevlenebilir fonksiyonlar için doğru değildir. Karşılaştırıldığında, holomorfluk veya karmaşık türevlenebilirlik, daha esnek olmayan bir fikirdir.
Bölüm topolojisi, bir topolojik uzaydan başka bir topolojik uzay elde etmenin klasik yollarından biridir. Bir topolojik uzayda kimi noktaların birbirine yapıştırılmasıyla (özdeşleştirilmesiyle) elde edilen yeni kümenin üzerine konacak bölüm topolojisi, bu yeni kümeyi yeni bir topolojik uzaya dönüştürür. Bu yeni uzaya bölüm uzayı denir. Örneğin [0,1] kapalı aralığı bir topolojik uzaydır. Bu uzayda 0 ve 1 noktaları özdeşleştirilir ve bu yeni kümeye bölüm topolojisi verilirse oluşturulan topolojik uzay düzlemde birim çember olur. Başka bir örnek: düzlemde yatan birim yarıçaplı dairenin kenarının üst tarafındaki her bir nokta kenarın alt tarafında karşılık gelen noktaya yapıştırılır ve bu yeni kümenin üzerine bölüm topolojisi konursa, bu topolojik uzay 3 boyutlu Öklit uzayında birim yarıçaplı küre olur.
Topolojide tıkız-açık topoloji, bir topolojik uzaydan bir diğerine tüm sürekli gönderimlerin oluşturduğu küme üzerine konan bir topolojidir. Fonksiyonel analizde fonksiyon uzaylarına konan doğal bir topolojidir.
Topolojide altuzay topolojisi ya da tetiklenmiş topoloji, topolojik bir uzay içinde bir altkümeye konulabilecek en doğal topolojidir. Bu topoloji verilmiş altkümeyeyse (topolojik) altuzay denir.
Cebirsel geometri, matematiğin bir dalıdır. Adından anlaşılabileceği gibi, soyut cebirin, özellikle değişmeli cebirin yöntemleri ile geometrinin dili ve problemlerini bir araya getirir. Çağdaş matematik içerisinde merkezi bir rol üstlenmesinin yanında, karmaşık analiz, topoloji, sayılar kuramı gibi matematiğin diğer dallarıyla yakın ilişkisi vardır.
Matematikte deste, bir topolojik uzayın açık altkümelerine ilişkin yerel tanımlı verilerin sistematik olarak incelenmesini sağlayan bir araçtır.
Ayrılma belitleri bir topolojik uzayın üzerine konan ve noktaların ve altkümelerin birbirilerinden ne kadar ayrı olduğunu belirten belitler ailesi. Bir topolojik uzayın bu belitlerden birini sağladığı söylendiğinde, topolojisi hakkında global bir bilgi verilmiş ve topolojinin cinsi daraltılmış olur. Örneğin, topolojinin sahip olduğu açık kümelere bakmaksızın o topolojinin T0 olduğunu söylemek, topolojik uzayda seçilmiş herhangi iki noktanın birbirlerinden ayırt edilebilir olduğunu garanti eder.
Matematikte fonksiyon uzayı bir X kümesinden bir Y kümesine tanımlı fonksiyonların oluşturduğu kümeye verilen bir addır. Fonksiyonlar kümesi yerine fonksiyon uzayı denilmesinin nedeni matematiğin kendi içindeki uygulamalarında bu kümenin genellikle topolojik uzay veya vektör uzayı olarak ortaya çıkmasıdır.
Kümeler teorisi, matematiğin, matematiksel nesneler olan kümeleri inceleyen dalıdır. Neredeyse bütün matematik kümeler kuramının kendi dilinde ifade edilebilir. Alman matematikçi Georg Cantor tarafından 1874 ile 1895 yılları arasında geliştirilen ve daha sonrasında, Ernst Zermelo, Kurt Gödel gibi 20. yüzyılın oldukça tanınmış matematikçileri tarafından aksiyomatikleştirilen teoridir.
Açık yıldız kümeleri, birkaç bin yıldızdan oluşan bir yıldız grubudur. Açık yıldız kümesini oluşturan yıldızlar aynı dev moleküler buluttan oluşmuşlardır ve yaklaşık olarak aynı yaştadırlar. Açık yıldız kümesi galaktik küme olarak da bilinir. Samanyolu Galaksisi'nde 1100'den fazla açık yıldız kümesi keşfedilmiştir ve daha fazla olduğu düşünülmektedir. Açık yıldız kümeleri karşılıklı yerçekimi etkisiyle birbirlerine gevşek bir biçimde bağlıdırlar. Açık yıldız kümeleri diğer kümelerle ve gaz bulutlarıyla yakın temaslarda bulunarak bozulmuş hale gelirler. Bu bozulmalar hem galaksinin ana bölümüne doğru yer değiştirmelere hem de küme elemanlarının yakın temasların içine doğru kaybıyla sonuçlanır.
Tarih boyunca matematiğin konu çeşitliliği ve derinliği artmaktadır, matematiği kavrama, birçok konuyu matematiğin daha genel alanlarına göre sınıflandırma ve düzenleme için bir sistem gerektirir. Bir dizi farklı sınıflandırma şeması ortaya çıkmıştır ve bazı benzerlikleri paylaşsalar da, kısmen hizmet ettikleri farklı amaçlara bağlı olarak farklılıkları vardır. Ek olarak, matematik geliştirilmeye devam ettikçe, bu sınıflandırma şemaları da yeni oluşturulan alanları veya farklı alanlar arasında yeni keşfedilen bağlantıları dikkate alacak şekilde değişmelidir. Farklı alanlar arasındaki sınırı aşan, genellikle en aktif olan bazı konuların sınıflandırılması daha zor hale gelir.
Matematikte yapı, üzerinde tanımlandığı kümeye ek bir önem ya da anlam katan bir matematiksel nesnedir.
Matematiksel analizde, küme üzerindeki bir ölçü, bu kümenin her bir uygun alt kümesine bir sayı atamanın sistematik bir yoludur ve sezgisel olarak kümenin boyutu olarak yorumlanır. Bu anlamda ölçü, uzunluk, alan ve hacim kavramlarının bir genellemesidir. Özellikle önemli bir örnek, Öklid geometrisinin geleneksel uzunluğunu, alanını ve hacmini n-boyutlu Öklid uzayının Rn uygun alt kümelerine atayan bir Öklid uzayındaki Lebesgue ölçüsüdür. Örneğin, gerçek sayılardaki [0, 1] aralığının Lebesgue ölçüsü, kelimenin günlük anlamındaki uzunluğudur ve tam olarak 1'dir.
Matematikte, genel topoloji, topolojide kullanılan temel kümeler teorisi tanımları ve yapılarıyla ilgilenen topoloji dalıdır. Diferansiyel topoloji, geometrik topoloji ve cebirsel topoloji dahil diğer birçok topoloji dalının temelini oluşturur.