Atwood düzeneği

Atwood düzeneği ya da Atwood makinesi, 1784 yılında, İngiliz matematikçi George Atwood tarafından, laboratuvarda sabit ivmeli hareket kanunlarının deneyleri yapılırken icat edilmiştir. Atwood düzeneği, klasik mekanik prensiplerini göstermek adına kullanılan yaygın bir düzenektir.

İdeal bir Atwood düzeneği, m₁ ve m₂ kütleleri olmak üzere birbirlerine uzatılamayan kütlesiz bir ip ve yine kütlesiz bir makarayla bağlanmak üzere iki kısımdan oluşur.^[1]

• m₁ = m₂ olduğu zaman, kütleler ne olursa olsun, düzenek denge durumundadır.
• m₁ ≠ m₂ olduğu zaman, kütleler ivmelenmeye başlayacaktır.

Kuvvet analizi kullanarak ivme üzerine bir denklem oluşturulabilir. Eğer kütlesiz ve genleştirilemeyen bir sicimi ve kütlesiz bir makarayı göz önünde bulundurursak, düşünmemiz gereken kuvvetler: gerilim kuvveti (T) ve iki objenin ağırlıkları (W₁ ve W₂) olacaktır. Ayrıca, ivmeyi hesaplayabilmek adına iki cisme de etki eden kuvvetleri dikkate almamız gerekir. Newton'ın hareket yasaları'dan ikincisini kullandığımız takdirde (m₁ > m₂ kabul ettiğimizde)ivme (a) için bir denklem sistemi elde ederiz.

${\displaystyle m_{1}}$ aşağı doğru ivmelenirken ve ${\displaystyle m_{2}}$ yukarı doğru ivmelenirken, a değeri pozitif olsun. O halde ${\displaystyle m_{1}}$ ve ${\displaystyle m_{2}}$ cisimlerinin ağırlıkları, ${\displaystyle W_{1}=m_{1}g}$ ve ${\displaystyle W_{2}=m_{2}g}$ olacaktır.

${\displaystyle m_{1}}$'e etki eden kuvvetler:

${\displaystyle \;m_{1}g-T=m_{1}a}$

${\displaystyle m_{2}}$'e etki eden kuvvetler:

${\displaystyle \;T-m_{2}g=m_{2}a}$

Ve iki denkleri topladığımız zaman elde ettiğimiz denklem:

${\displaystyle \;m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a}$

Ve ivme (a) için sonuçlanan formül:

${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Diğer taraftan yer çekimine bağlı olarak oluşan ivme g de ağırlıkların hareketinin zamanlanmasıyla ve düzgün ivmenin hesaplanmasıyla bulunabilir: ${\displaystyle d={1 \over 2}at^{2}}$.

Atwood düzeneği bazen hareket denklenmelerini türeten Lagrangian methodu'nu göstermek amacıyla da kullanılır.

İpteki gerilimin denklemini bilmek kullanışlı olabilir. Gerilimi ölçmek için ivme denklemi, her iki kuvvet denkleminin yerine yazılır.

${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Örneğin ${\displaystyle m_{1}a=m_{1}g-T}$'de yerine koyduğumuzda şu denklemi elde ederiz:

${\displaystyle T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

m₁ ve m₂ arasındaki çok küçük kütle farklılıkları için, r yarıçaplı makaranın eylemsizlik momenti (I), ihmal edilemez. Makaranın açısal ivmesi:

${\displaystyle \alpha ={a \over r},}$

${\displaystyle \alpha }$ makaranın açısal ivmesidir. Net tork ise:

${\displaystyle \tau _{\mathrm {net} }=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{\mathrm {friction} }=I\alpha }$

Newton'ın ikinci hareket kanunuyla birlikte, T₁, T₂ ve a çözülürse eğer şu sonuçları elde ederiz:

İvme:

${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})-{\tau _{\mathrm {friction} } \over r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

m₁ kütlesine etki eden ip gerilimi:

${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{\mathrm {friction} }} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

m₂ kütlesine etki eden ip gerilimi:

${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{\mathrm {friction} }} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Yatak sürtünmesini ihmal etmek gerekirse (fakat eylemsizlik momentini ve ipin sürtünmesini değil), bu eşitlikler aşağıdaki gibi sadeleştirilebilir.

İvme:

${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

m₁ kütlesine etki eden ip gerilmesi:

${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

m₂ kütlesine etki eden ip gerilmesi:

${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

1. Makara (mekanik)
2. Sürtünme

https://en.wikipedia.org/wiki/Atwood_machine 3 Mart 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

• Professor Greenslade's account on the Atwood Machine19 Ocak 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• "Atwood's Machine20 Ocak 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi." by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.