Atomun vektör modeli

Fizikte, kısmen kuantum (nicem) mekaniğinde, atomun vektör modeli atom modelinin açısal momentum (devinim) cinsinden tanımıdır.^[1] Bu, birden çok elektronlu atomların Rutherford-Bohr-Sommerfeld atom modelinin bir genişletmesi olarak kabul edilebilir.

Bu model atomda, elektronların açısal momentumunun tanımı için elverişlidir. Açısal momentum her zaman L orbitali (yörüngesi),S sipini (fırılı) ve toplam J arasında paylaştırılır:

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$

Bu verilen formül kuantum mekaniğinde, açısal momentum kuantize edilir (nicemlenir) ve burada her vektörün bileşkesi arasında kesin olmayan bir ilişki vardır ki bu durumu matematiksel arka planın oldukça kompleks olmasına rağmen oldukça basitleştirir. Geometriksel olarak bu ayrık dik dairesel konilerin dairesel tabanları olmadan bütün eksenlerin tek bir eksen etrafında sıralanmasıdır. Eğer 3 boyutlu kartezyen koordinatlarında çalışılıyorsa bu eksen z ekseni olur.^[2] İzleyen konular bu hususun arka planını oluşturmaktadır.

Komütatör (Öndeleyici), L, S ve J'nin her biri için, bir anlık zamanda herhangi bir açısal momentumun (devinim) sadece bir bileşkesinin hesaplanabilir olduğunu belirtir. Komütatörün iki açısal momentum işlemcisi sıfır olamaz. İzleyen bilgiler vektör modelin inşasında bağlantılı matematiksel olguların bir özetidir.

Değiştirim ilişkileri aşağıdaki gibidir (Einstein'ın toplam eğilimi kullanıldığında):

${\displaystyle {\begin{aligned}&[{\hat {L}}_{a},{\hat {L}}_{b}]=i\hbar \varepsilon _{abc}{\hat {L}}_{c}\\&[{\hat {S}}_{a},{\hat {S}}_{b}]=i\hbar \varepsilon _{abc}{\hat {S}}_{c}\\\end{aligned}}}$

Bu denklemde,

• L = (L₁, L₂, L₃), S = (S₁, S₂, S₃) ve J = (J₁, J₂, J₃) (Bunların kartezyen koordinatta tekabül ettikleri bileşkeler L = (L_x, L_y, L_z), S = (S_x, S_y, S_z) ve J = (J_x, J_y, J_z) ),
• a, b, c ∊ {1,2,3} açısal momentumun bileşkelerinin indeksleridir.
• ε_abc 3 boyutta 3-indeksli permütasyon tensörüdür (gericisidir).

Fakat L, S ve J'nin büyüklükleri aynı anda ölçülebilir çünkü açısal momentumun işlemcisinin karesinin herhangi bir bileşke ile değiştirimi sıfırdır. Dolayısıyla ${\displaystyle {\hat {L}}_{a}}$ ile ${\displaystyle {\hat {L}}^{2}}$,'nin ${\displaystyle {\hat {S}}_{a}}$ ile ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$ 'nin ve ${\displaystyle {\hat {J}}_{a}}$ ile ${\displaystyle {\hat {J}}^{2}}$ 'nin aynı anda ölçümü aşağıdaki eşitliği sağlamaktadır:

${\displaystyle {\begin{aligned}&[{\hat {L}}_{a},{\hat {L}}^{2}]=0\\&[{\hat {S}}_{a},{\hat {S}}^{2}]=0\\&[{\hat {J}}_{a},{\hat {J}}^{2}]=0\\\end{aligned}}}$

Bu büyüklükler aşağıdaki denklemleri işlemci ve vektör bileşkesi cinsinden yazıldığında da sağlamaktadır.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {L}}^{2}={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2},\\&{\hat {S}}^{2}={\hat {S}}_{x}^{2}+{\hat {S}}_{y}^{2}+{\hat {S}}_{z}^{2}\,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {S} =S^{2}=S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2},\\&{\hat {J}}^{2}={\hat {J}}_{x}^{2}+{\hat {J}}_{y}^{2}+{\hat {J}}_{z}^{2}\,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {J} \cdot \mathbf {J} =J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2},\\\end{aligned}}}$

ve kuantum (nicem) numaraları;

${\displaystyle {\begin{aligned}&|\mathbf {L} |=\hbar {\sqrt {\ell (\ell +1)}},\quad L_{z}=m_{\ell }\hbar ,\\&|\mathbf {S} |=\hbar {\sqrt {s(s+1)}},\quad S_{z}=m_{s}\hbar ,\\&|\mathbf {J} |=\hbar {\sqrt {j(j+1)}},\quad J_{z}=m_{j}\hbar ,\\\end{aligned}}}$

Bu denklemde,

• ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$, açısal nicem sayısı
• s, parçacığın tipine göre spin (fırıl) nicem sayısı
• j, toplam açısal devinim nicem sayısı

bunlar ayrı ayrı değerler aldığında,

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{\ell }\in \{-\ell ,-(\ell -1)\cdots \ell -1,\ell \},\quad \ell \in \{0,1\cdots n-1\}\\&m_{s}\in \{-s,-(s-1)\cdots s-1,s\},\\&m_{j}\in \{-j,-(j-1)\cdots j-1,j\},\\&m_{j}=m_{\ell }+m_{s},\quad j=|\ell +s|\\\end{aligned}}}$

Bu matematiksel yargılar belirli kuantum numaralarının yerini tutan bütün olası açısal momentum süreci tanımlamaktadır.

1. Bir doğrultu sabit, diğer iki doğrultu ise değişkendir.
2. Vektörlerin büyükleri sabit olmak zorundadır. Dolayısıyla vektörlerin orta dereceli her bir bileşkesi bir çember tarafından kapalı olmak zorundadır. Şöyle ki ölçülebilir ve ölçülemez bileşkeler olası bütün orta dereceli bileşkelerin büyüklüklerini doğru bir şekilde inşa etmeyi mümkün kılar.

Geometrik sonuç bir vektör konisidir ve bu vektör koninin tepe noktasından başlayıp koninin çevresine kadar ulaşmaktadır. Bu toplantı açısal momentumun ölçülebilir bileşkesini bulmak için z eksenini kulannmaktadır. Bu eksen düzleme dik olan, koninin çevresel tabanı tarafından tanımlanmış koninin tepesinden düzleme doğru yönelmiş bir eksendir. Farklı kuantum numaraları için koniler farklılık gösterir. Dolayısıyla buradaki açısal momentum durumunun ayrık numaraları ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$, s ve j tarafından belirlenebilir. Bir önceki koninin bir parçası olan vektör kurulumunu kullanarak, her bir durum bir koni yerine kullanılabilir. Bu durumda artan ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$, s ve j ve azalan ${\displaystyle \scriptstyle \ell }$, s ve j> negatif (eksi) kuantum sayıları x-y düzlemindeki konilere karşılık gelir. Üç durumdan biri, sıfıra eşit olan bir kuantum numarası için, açıkça bir koniye karşılık gelmemektedir. Bu durum sadece x-y düzlemindeki bir çember için geçerlidir.

Koni sayıları durumların çarpılmasına eşittir, ${\displaystyle \scriptstyle 2\ell +1}$.

Bu durum Bohr modelinin bir uzantısı olarak da kabul edilebilir çünkü Niels Bohr'da açısal momentumun kuantize (nicemlenmiş) olduğunu önermiştir. Bohr'a göre bu kuantizasyon aşağıdaki formüle göre gerçekleşir.

${\displaystyle L=m\hbar }$

bu formüldeki m, Hidrojen atomu için doğru sonuçlar sunan bir tam sayıdır. Bohr modeli çok elektronlu atomlara uygulanamamasına rağmen bu yöntem, atomun vektör modelinden önce gelen, atoma uygulan ilk başarılı açısal momentum kuantizasyonudur.

Hidrojen gibi bir elektronlu atomlarda yörüngelerdeki elektronlar için sadece bir grup koni vardır. Çok elektronlu atomlar için ise artan elektron sayısından dolayı birçok hal sözkonsudur.

Atomdaki bütün elektonların açısal momentumu vektörel olarak eklenir. Birçok atomik işlem süreci, nükleer veya kimyasal fark etmeksizin komşu çekirdek tanecikleri ve elektronlar yüzünden -radyoaktif ışımanın (ışınsaçar bozunum) tahmini işlem süreci hariç -spin(fırıl)- paylaşımı ve açısal momentum bağlaşımı ile açıklanabilir. Bu konuda "bağlaşım" terimi açısal momentumun vektör üstdüşümleri anlamına gelmektedir. Bu da büyüklüklerin ve yönlerin eklendiği anlamına gelir.

Çok elektronlu atomlarda, iki açısal momentumun vektör toplamı şu şekilde olur;

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{1}+\mathbf {J} _{2}\,\!}$

eğer z bileşkesini göre alıcak olursak;

${\displaystyle J_{z}=J_{1z}+J_{2z}\,\!}$

burada

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {J} _{z}=m_{j}\hbar \\&\mathbf {J} _{1z}=m_{j_{1}}\hbar \\&\mathbf {J} _{2z}=m_{j_{2}}\hbar \\\end{aligned}}\,\!}$

ve de bileşkelerin büyüklükleri

${\displaystyle {\begin{aligned}&|\mathbf {J} |=\hbar {\sqrt {j(j+1)}}\\&|\mathbf {J} _{1}|=\hbar {\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}\\&|\mathbf {J} _{2}|=\hbar {\sqrt {j_{2}(j_{2}+1)}}\\\end{aligned}}}$

olur. Bu durum aşağıdaki koşulda geçerlidir;

${\displaystyle j\in \{|j_{1}-j_{2}|,|j_{1}-j_{2}|-1\cdots j_{1}+j_{2}-1,j_{1}+j_{2}\}\,\!}$

Bu işlem süreci toplam açısal momentum bulunana kadar, üçüncü veya dördüncü bir elektron için tekrar edilebilir.

Bütün açısal momentumların birbirine eklenmesi oldukça zahmetli bir konudur. z-ekseni etrafında bulunan bütün devinik momentum konileri hesaba katılmak zorundadır çünkü sonuçda elde edilecek momentum kesin değildir. Bu durum L-S bağlaşımındaki, H.N. Russell ve F.A. Saunders tarafından adlandırılan Russell-Suanders bağlaşımı gibi bir takım yakınlaştırmalarla daha kolay bir hale getirilebilir.^[3]

• Atomic Many-Body Theory, I. Lindgren, J. Morrison, Springer-Verlag Series in: Chemical Physics N^o13, 1982, ISBN, Graduate level monograph on many body theory in the context of angular momentum, with much emphasis on graphical representation and methods.
• Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill, 2005, ISBN 0-07-145546-9