Asal omega fonksiyonu

Sayılar teorisi'nde asal omega fonksiyonları ${\displaystyle \omega (n)}$ ve ${\displaystyle \Omega (n)}$, ${\displaystyle n}$ doğal sayısının asal çarpanlarının sayısını hesaplamak için kullanılır. ${\displaystyle \omega (n)}$ (küçük omega) fonksiyonu ${\displaystyle n}$ doğal sayısının birbirinden farklı asal çarpanlarının sayısını hesaplarken ${\displaystyle \Omega (n)}$ (büyük omega) fonksiyonu sayının toplam asal çarpan sayısını hesaplar. Yani birbirinden farklı ${\displaystyle p_{i}(1\leq i\leq k)}$ asal sayıları için ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}$ ise ${\displaystyle \omega (n)=k}$ ve ${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+...+\alpha _{k}}$ olur.

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\vert n}{1}}$

Eğer ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle n}$'yi en az bir kere bölüyorsa ${\displaystyle \omega (n)}$'de ${\displaystyle p}$ sadece bir kere sayılır. Örneğin: ${\displaystyle \omega (63)=\omega (3^{2}7)=1+1=2}$.

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\vert n}{1}=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}{\alpha }}$

Eğer ${\displaystyle p^{\alpha }\parallel n}$ yani ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle n}$'yi tam olarak ${\displaystyle \alpha }$ kez bölüyor ise ${\displaystyle \Omega (n)}$'de ${\displaystyle p^{\alpha }\parallel n}$ sağlayan ${\displaystyle \alpha }$ doğal sayıları toplanır. Örneğin: ${\displaystyle \Omega (200)=\Omega (2^{3}5^{2})=3+2=5}$.

${\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}$

Eğer ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}$ ise ${\displaystyle n}$, 1 dışında herhangi bir tam sayının karesine bölünmez. Bu eşitlik sağlanırsa Möbius fonksiyonu bu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}$

${\displaystyle \Omega (n)=1}$ ise ${\displaystyle n}$ bir asal sayıdır.

${\displaystyle \omega (n)}$ fonksiyonunun her yerde analitik olmayan bir devamlılığı bulundu:^[1]

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{x=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{y=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(x^{2}+x-yz\right)\right)\right)}$

Not: Burada ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$, ${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$'i ifade etmektedir.

${\displaystyle \omega (n)}$'yi ve Riemann zeta fonksiyonu'nu içeren bir Dirichlet serisi bu şekilde verilmiştir:^[2]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{2^{\omega (n)}n^{-s}}=\sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}\sum _{n=1}^{\infty }{\mu ^{2}(n)n^{-s}}={\frac {\zeta ^{2}(n)}{\zeta (2n)}},\Re (s)>1}$