Asal kök

Bir asal kök modülü n sayılar teorisindeki modüler aritmetikten bir kavramdır. Eğer ${\displaystyle n\geq 1}$ olan bir tam sayı ise, n formuna göre aralarında asal sayılar mod n'e göre çarpılarak, bir grup oluşturacak şekilde yapılan işlem,${\displaystyle (Z/n\cdot Z)^{x}}$ veya ${\displaystyle Z_{n}^{*}}$ olarak gösterilir. Bir asal sayı için ${\displaystyle p\geq 3}$ ve ${\displaystyle k\geq 1}$ ise, bu grup ancak ve ancak ${\displaystyle 1,2,4,p^{k}\!}$ veya ${\displaystyle 2p^{k}\!}$ 'ya denktir. Bu döngüsel grubun bir üreteci asal kök modülü n veya ${\displaystyle Z_{n}^{*}}$'in bir asal elemanı'dır şeklinde tanımlanır.

Bir asal kök modülü n, diğer bir deyişle, mod n'e göre g gibi öyle bir tam sayıdır ki n'le beraber ortak çarpanı olmayan her tam sayı, g 'nin bir kuvvetine denktir.

Örneğin

${\displaystyle n=14\!}$ alalım.${\displaystyle (Z/14\cdot Z)^{x}}$ 'in elemanları

${\displaystyle 1,3,5,9,11ve13\!}$ 'ün denk sınıflarından oluşur.

mod 14'e göre ${\displaystyle 3^{2}\equiv 9,3^{3}\equiv 13,3^{4}\equiv 11,3^{5}\equiv 5ve3^{6}\equiv 1\!}$ olduğundan, 3 mod 14'e göre bir asal köktür. Mod 14 için diğer ve tek asal kök ise 5'tir.

${\displaystyle nn^{k}\!}$ (mod 14) - (satırlardaki değerler döngüsel şarta bağlı olarak tekrar sonra kesilmiştir)

${\displaystyle 1:1,\!}$

${\displaystyle 2:2,4,8\!}$

${\displaystyle 3:3,9,13,11,5,1\!}$

${\displaystyle 4:4,2,8\!}$

${\displaystyle 5:5,11,13,9,3,1\!}$

${\displaystyle 6:6,8\!}$

${\displaystyle 7:7,\!}$

${\displaystyle 8:8,\!}$

${\displaystyle 9:9,11,1\!}$

${\displaystyle 10:10,2,6,4,12,8\!}$

${\displaystyle 11:11,9,1\!}$

${\displaystyle 12:12,4,6,2,10,8\!}$

${\displaystyle 13:13,1\!}$

${\displaystyle 14:0,\!}$

14'le aralarında asal olan sayılar yalnızca kuvvetlerinden biri 1 (mod 14)'e ulaşan sayılardır. Bu sayıların oluşturduğu küme S = (1, 3, 9, 13, 11, 5)'dir.

Problemi f(n, k) = n^k - 1 ≡ 0 (mod 14) gibi ele alırsak, n için tasarlanan köklerin k > 0 olan kuvvetleri için bir polinom sağladığını görürüz. S kümesindeki elemanların tümü, R = {3, 5} kümesindeki sayılardan ve onların kuvvetlerinden elde edilebilir. Ama örneğin 11'den ve onun kuvvetlerinden elde edilemez (mod 14 için). S kümesi tüm kökleri içerir. R kümesi ise asal kökleri içerir. Bunların (mod 14)'e göre tüm kuvvetleri döngüsel olarak tüm kökleri elde eder.