Aritmetik dizi

Bir aritmetik ilerleme veya aritmetik dizi (AP), birbirini izleyen iki terim arasındaki farkın dizi boyunca sabit kaldığı bir sayı dizisidir. Sabit fark, bu aritmetik dizinin ortak farkı olarak adlandırılır. Örneğin, 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . ortak farkı 2 olan bir aritmetik dizidir.

Bir aritmetik dizinin ilk terimi ${\displaystyle a_{1}}$ ve ardışık terimlerin ortak farkı ${\displaystyle d}$ olmak üzere, dizinin ${\displaystyle n}$. terimi şöyle ifade edilir:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

Bir aritmetik dizinin sonlu bir parçasına sonlu aritmetik dizi denir ve kimi zaman sadece aritmetik dizi olarak adlandırılır. Sonlu bir aritmetik dizinin toplamına aritmetik seri denir.

Doğruluğu kesin olmayan bir rivayete göre,^[1] ilkokula giden genç Carl Friedrich Gauss, 1'den 100'e kadar olan tam sayıların toplamını hesaplamak için, toplamdaki n/2 sayı çiftini her bir n + 1 çiftinin değerleriyle çarparak bu yöntemi yeniden keşfetmiştir. ^[] Ancak, bu rivayetin doğruluğu ne olursa olsun, Gauss bu formülü ilk keşfeden kişi değildir ve bazıları formülün kökeninin MÖ 5. yüzyılda Pisagorculara kadar uzandığını düşünmektedir.^[2]

Benzer kurallar antik çağda Arşimet, Hypsicles ve Diophantus;^[3] Çin'de Zhang Qiujian; Hindistan'da Aryabhata, Brahmagupta ve Bhaskara II;^[4] Orta Çağ Avrupa'sında ise Alcuin,^[5] Dicuil,^[6] Fibonacci,^[7] Sacrobosco^[8] ve Tosafistler^[9] olarak bilinen anonim Talmud yorumcuları tarafından bilinmekteydi.

Sonlu bir aritmetik dizinin üyelerinin toplamına aritmetik seri denir. Örneğin, şu toplamı düşünün:

${\displaystyle 2+5+8+11+14=40}$

Bu toplam, eklenen terimlerin sayısı n alınarak (burada 5), dizideki ilk ve son sayıların toplamıyla çarpılarak (burada 2 + 14 = 16) ve 2'ye bölünerek hızlı bir şekilde bulunabilir:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

Yukarıdaki durum, şu denklemi verir:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

Bu formül herhangi bir ${\displaystyle a_{1}}$ ve ${\displaystyle a_{n}}$ gerçek sayısı için çalışır. Örneğin:

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

Yukarıdaki formülü türetmek için aritmetik seriyi iki farklı şekilde ifade ederek başlayın:

${\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}$

${\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}$

Terimleri ters sırada yeniden yazın:

${\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}$

İki denklemin her iki tarafının karşılık gelen terimlerini ekleyin ve her iki tarafı da ikiye bölün:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}$

Bu formül şu şekilde basitleştirilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}}$

Ayrıca, serinin ortalama değeri şu şekilde hesaplanabilir: ${\displaystyle S_{n}/n}$ :

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

Formül, ayrık tekdüze bir dağılımın ortalamasına çok benzer.

Başlangıç elemanı a1, ortak farkları d ve toplamda n elemanlı sonlu bir aritmetik dizinin elemanlarının çarpımı aşağıdaki gibi kapalı bir ifade ile tanımlanır:

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

Buradaki ${\displaystyle \Gamma }$ Gama işlevini belirtir. Formül, ${\displaystyle a_{1}/d}$'nin negatif veya sıfır olduğu durumlarda geçerli değildir.

Bu, serinin çarpımının ${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$ faktöriyel ile belirlenmiş ${\displaystyle n!}$ olduğu gerçeğinin bir genellemesidir.

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

${\displaystyle m}$ ve ${\displaystyle n}$ pozitif tam sayılar olmak üzere:

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ artan faktoriyel anlamına gelir.

Yineleme formülü ile ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$, karmaşık bir sayı için geçerlidir ${\displaystyle z>0}$,

${\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}$ ,

${\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}$ ,

böylece

${\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}$

için ${\displaystyle m}$ pozitif bir tam sayı ve ${\displaystyle z}$ pozitif bir karmaşık sayı

Böylece, eğer ${\displaystyle a_{1}/d>0}$,

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$ ,

ve son olarak:

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

Örnek

${\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }$ örnek alınırsa, ${\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}$ olarak verilen aritmetik dizinin 50. terimine kadar olan terimlerin çarpımı:

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}$

Örnek 2

İlk 10 tek sayının çarpımı ${\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}$ şöyle gösterilir.${\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}$ = 654.729.075

Herhangi bir aritmetik dizinin standart sapması şu şekilde hesaplanabilir:

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

${\displaystyle n}$ dizideki terim sayısıdır ve ${\displaystyle d}$ terimler arasındaki ortak farktır. Formül, ayrık bir tekdüze dağılımın standart sapmasına çok benzer.

Herhangi iki çift sonsuz aritmetik dizinin kesişimi ya boştur ya da Çin kalan teoremi kullanılarak bulunabilen başka bir aritmetik dizidir. İkili sonsuz aritmetik dizi ailesindeki her dizi çiftinin boş olmayan bir kesişimi varsa, o zaman hepsi için ortak bir sayı vardır; yani sonsuz aritmetik diziler bir Helly ailesi oluşturur.^[10] Bununla birlikte, sonsuz sayıda sonsuz aritmetik dizinin kesişimi, kendisinin sonsuz bir dizi yerine tek bir sayı da olabilir.

•  "Aritmetik seriler", Matematik Ansiklopedisi, Avrupa Matematik Topluluğu, 2001 
• Eric W. Weisstein, Aritmetik Dizi (MathWorld)
• Eric W. Weisstein, Aritmetik Seriler (MathWorld)