Arşimet spirali

Arşimet spirali ya da aritmetik spiral; iki boyutlu düzlemde, orijinden çıkan ve sabit açısal hızla dönmekte olan bir doğru üzerinde, sabit hızla dışarıya doğru ilerleyen bir noktanın izleyeceği eğridir. İsmini, M.Ö. 3. yüzyılda yaşamış ve Spiraller Üzerine adlı kitabında bu eğrileri incelemiş olan Yunan matematikçi Arşimet'ten alır.

Kutupsal koordinat sisteminde, Arşimet spirali şu denklemle ifade edilir:

${\displaystyle \,r=a+b\theta .}$

Burada a ve b gerçel sayılardır. a'nın değerini değiştirmek, spirali döndürecek, b'nin değerini değiştirmek ise spiralin kolları arasındaki mesafeyi azaltıp artıracaktır.

Orijinden dışarıya doğru herhangi bir yönde çıkan bir doğrunun spirali keseceği noktalar, birbirine eşit uzaklıktadır. (θ radyan cinsinden ölçülürse bu uzaklık 2πb'ye eşittir.) Logaritmik spiralde ise bu noktaların aralarındaki mesafeler, dışarıya doğru gidildikçe bir geometrik dizi halinde artar. Doğada rastlanan durağan spirallerin hepsi (notilus kabuğu, sarmal galaksi, örümcek ağı, vs) logaritmik spirallerdir. Güneş'in manyetik alanı gibi pek çok dinamik spiral ise Arşimet spiralidir.

θ < 0 ve θ > 0 hallerinde, birbirinin y ekseni üzerinden yansıması olan iki ayrı spiral elde edilir. Yandaki resimde θ, 0 ve 6π arasında değişmektedir.

Bazı kaynaklarda Arşimet spirali şu denklemle tanımlanır:

${\displaystyle \,r=a+b\theta ^{1/c}.}$

Burada c yine bir bir reel parametredir. c 1 alınırsa yukarıda anlatılan standart Arşimet spirali elde edilir. c için 1'den farklı değerler alındığında hiperbolik spiral, Fermat spirali ve lituus gibi çeşitli eğriler oluşur.

Arşimet spiralinin gerçek dünyada pek çok uygulaması vardır.

Örneğin, Arşimet spirali şekilli ve birbirinin içine geçmiş aynı büyüklükteki iki sarmal, sıvı ya da gaz gibi akışkanları pompalamak ya da sıkıştırmak için kullanılan sarmal kompresörlerin temelini oluşturur. Sarmallardan biri sabit dururken diğeri kendi çevresinde dönmemek üzere merkez dışı (eksantrik) bir dönüş hareketi yapar ve akışkanı iki sarmalın duvarları arasında sıkıştırarak ilerletir.^[1]

Gramofon plakların çok erken dönemlerinde, plak üzerindeki oluklar bir Arşimet spirali oluşturacak şekilde açılır ve bu şekilde, olukların birbirlerinden eş uzaklıkta durmaları sağlanarak, bir plağın üstüne en çok miktarda müzik kaydedilmeye çalışılırdı. Ancak sonraları, daha iyi ses kalitesi elde edebilmek için bu uygulamadan vazgeçilmiştir.^[2]

• Logaritmik spiral
• Hiperbolik spiral

• MathWorld'den Arşimet Spirali18 Haziran 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. sayfası (İngilizce)