Apéry sabiti

Kullanılan sayılar γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
İkilik sistem	1.001100111011101...
Onluk sistem	1.2020569031595942854...
Sonsuz kesir olarak yazılışı	${\displaystyle 1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{18+{\frac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}}$

Apéry sabiti, matematiğin gizemli sayılarından biridir. Elektrodinamik alanında elektronun jiromagnetik oranının ikinci ve üçüncü derece terimlerinin yanı sıra birçok fiziksel soruda karşılaşılan bu sabit, paydasında üstel fonksiyon barındıran integrallerin çözümünde de kullanılmaktadır. Debye modelinin iki boyut için hesaplanması buna örnek olarak gösterilebilir. Sayı, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots }$

Burada ζ, Riemann zeta fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu sayının yaklaşık değeri

${\displaystyle \zeta (3)=1.20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots }$

Bu sayının çarpmaya göre tersi rastgele seçilen üç pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığına eşittir.

Bu sabit, onun bir irrasyonel sayı olduğunu 1978 yılında kanıtlayan Roger Apéry (1916–1994)'ye atfedilmiştir. Bu sonuç, Apéry teoremi olarak adlandırılır. Özgün ispatın karmaşık yapısından ötürü anlaşılamaması Legendre polinomlarını kullanan ispatları popüler hale getirmiştir. Apéry sabitinin bir doğaüstü sayı olup olmadığı henüz bilinmemektedir.

Wadim Zudilin ve Tanguy Rivoal'ın yürüttükleri çalışma, sonsuz çoklukta ζ(2n+1) sayısının irrasyonel olduğunu göstermiştir.^[1] Ayrıca, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olması gerektiği bulunmuştur.^[2]

Leonhard Euler Euler 1773 1772 yılında bu sayıyı seri şeklinde ifade etmiştir Srivastava 2000, s. 571 (1.11):

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}$

Bu ifade birçok kez yeniden bulunmuştur.

Simon Plouffe her uygulamada farklı doğruluk derecesine sahip birçok seri önermiştir. Bunlar, Plouffe 1998:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}$

ve

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}$

ifadeleridir.

${\displaystyle \zeta (2n+1)}$'in farklı değerleri için geçerli eşitlikler zeta sabitleri maddesinde bulunmaktadır.

Bulunan diğer seri ifadeleri şunlardır:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!)^{2}}{k^{3}(2k)!}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {56k^{2}-32k+5}{(2k-1)^{2}}}{\frac {((k-1)!)^{3}}{(3k)!}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}-{\frac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {205nk^{2}+250k+77}{64}}{\frac {(k!)^{10}}{((2k+1)!)^{5}}}}$

ve

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {P(k)}{24}}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}}{(3k+2)!((4k+3)!)^{3}}}}$

Burada,

${\displaystyle P(k)=126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463.\,}$

Bu ifadelerden bazıları Apéry sabitinin birkaç milyon basamağa kadar hesaplanmasında kullanılmıştır.

Broadhurst 1998'ün sağladığı seri açılımı ikili sayı sisteminde çalışmaktadır. Bu, sabitin doğrusal zamanda hesaplanabilmesine olanak tanımaktadır.

Apéry sabiti ikinci dereceden bir poligamma fonksiyonu ile de ifade edilebilmektedir.

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1).}$

Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı son yıllarda büyük bir artış göstermiştir. Bu, bilgisayarların gelişen başarımı ve daha verimli algoritmaların üretilmiş olmasının bir sonucudur.

• Broadhurst, D.J. (1998), Polilogaritmik basamaklar, hipergeometrik seriler ve ζ(3) ve ζ(5)'in 10 milyonuncu basamakları, arXiv (math.CA/9803067), 13 Temmuz 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 3 Kasım 2008 .
• Ramaswami, V. (1934), "Riemann'ın ζ-fonksiyonu Üzerine", J. London Math. Soc., cilt 9, ss. 165-169, doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165 .
• Apéry, Roger (1979), "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)", Astérisque, cilt 61, ss. 11-13 .
• van der Poorten, Alfred (1979), "Euler'in ıskaladığı bir ispat. Apéry'nin ζ(3)'ün irrasyonelliğiyle ilgili ispatı.", Math. Intell., cilt 1, ss. 195-203 .
• Plouffe, Simon (1998), Ramanujan'ın Not Defterinden Bazı Özdeşlikler, 30 Ocak 2009 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 3 Kasım 2008 
• Plouffe, Simon, 2000. basamağına dek Apéry sabiti, 5 Şubat 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 3 Kasım 2008 .
• Wedeniwski, S. (2001), 1,000,000. basamağına dek Zeta(3), Project Gutenberg 
• Srivastava, H. M. (Aralık 2000), "Zeta Fonksiyonları İçin Bazı Yakınsak Seri Açılımları" (PDF), Taiwanese Journal of Mathematics, Çin Halk Cumhuriyeti Matematik Topluluğu (Tayvan), 4 (4), ss. 569-598, ISSN 1027-5487, OCLC 36978119, 19 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 3 Kasım 2008 
• Euler, Leonhard (1773), "Exercitationes analyticae" (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (Latince), cilt 17, ss. 173-204, 17 Eylül 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 3 Kasım 2008 
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003), Apéry sabiti: z(3), 13 Kasım 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 3 Kasım 2008 

Bu makale PlanetMath'deki Apéry sabiti maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.