İçeriğe atla

Analitik mekanik

18. yy. ve sonrasında geliştirilmiş, genellikle vektörel mekanik olarak nitelendirilen ve orijinalinde Newton mekaniği olarak bilinen analitik mekanik (veya kuramsal mekanik), klasik mekaniğin matematiksel fizik kaynaklarıdır. Model harekete göre analitik mekanik, Newton’un vektörel enerjisinin yerine, hareketin iki skaler özelliği olan kinetik enerjiyi ve potansiyel enerjiyi kullanır. Bir vektör, yön ve nicelik ile temsil edilirken bir skaler, nicelik ile(yoğunluğu belirtirken) temsil edilir. Özellikle Lagrange mekaniği ve Hamilton mekaniği gibi (ikisi de birbirine sıkıca geçmiş alanlar) analitik mekanik de, sorunları çözmek için bir sistemin kısıtlamalarının ve tamamlayıcı yollarının kavramını kullanarak klasik mekaniğin kullanım alanını etkili bir şekilde yapılandırır. Schrödinger, Dirac, Heisenberg ve Feynman gibi kuram fizikçileri bu kavramları kullanarak kuantum fiziğini ve onun alt başlığı olan kuantum alan teorisini geliştirdiler. Uygulamalar ve eklemelerle, Einstein’a ait kaos teorisine ve izafiyet teorisine ulaşmışlardır. Analitik mekaniğin çok bilindik bir sonucu, modern teorik fiziğin çoğunu kaplayan Noether teoremidir.

Yapısal Hareket

Genelleştirilmiş koordinatlar ve kısıtlamalar (sabitler )

Newton mekaniğinde, biri alışıldığı üzere, hareket esnasında vücudun pozisyonuna göndermek için bütün Kartezyen koordinatların üçünü ya da diğer 3D koordinat sistemlerini kullanır. Ancak fiziksel sistemlerde, bazı yapılar ya da sistemler genellikle vücudun hareketini, belirli bir yönü ya da yolu tutmaktan alıkoyar. Bu yüzden Kartezyen koordinatının tamamına genelde ihtiyaç duyulmaz çünkü kısıtlamalar, koordinatlar arasındaki bağlantılara karşılık veren denklemler tarafından biçimlendirilebilir. Lagrange ve Hamilton biçimselciliğinde; kısıtlamalar, koordinat miktarını hareketi biçimlendirmek için ihtiyaç duyulan en az seviyeye düşüren hareketin geometrisine dahil edilir. Bunlar,qi (i = 1, 2, 3...) ile ifade edilen genelleştirilmiş koordinatlar olarak bilinir.

Eğrisel ve genelleştirilmiş koordinatlar arasındaki fark

Genelleştirilmiş koordinatlar, kısıtlamaları sistem üzerine dahil eder. Her bir qi bağımsızlık derecesi için (i = 1, 2...N deliliyle tanımlanmış uygunluk için) her bir sistem kendi kurulumunu, biçimini değiştirebilir; eğrisel uzunluklar ya da açılar olarak. Genelleştirilmiş koordinatlar, eğrisel koordinatla aynı değildir. Genelleştirilmiş koordinatların sayısının bu boyuta eşit olmasına gerek yok iken, eğrisel koordinatların sayısı söz konusu pozisyon uzamının (gerçel uzam ya da koordinat uzamı) boyutunu eşitler. (genellikle 3D uzam için 3). Kısıtlamalar, bağımsızlık derecesinin miktarını düşürebilir. Bu yüzden sistemin biçimini tanımlamak için genelleştirilmiş koordinatların sayısına ihtiyaç vardır. Sözü edilen genel kural:

[pozisyon uzamının boyutu (genellikle 3)] × [sistemin bileşenlerinin sayısı ("parçacık")] − (kısıtlamaların sayısı)
= (bağımsızlık derecesinin miktarı) = (genelleştirilmiş koordinatların sayısı)

N sayıda bağımsızlık derecesine sahip bir sistem için, genelleştirilmiş koordinatlar bir N-katında toplanabilir:

Ve bu katın zaman türevi (burada üst nokta ile belirtilen) genelleştirilmiş hızı verir:

.
D’Alembert İlkesi

Konunun inşa edildiği zemin D’Alembert ilkesidir. Bu ilke, bir kuvvet tarafından yapılan infinitezimal (sonsuz küçük) edimsiz iş sıfırdır der ki bu da sistem kısıtlamaları ile uyum içinde olan bir kuvvet tarafından yapılan iştir. Kısıtlama kanısı, sistemin yapabileceklerini sınırladığı ve sistemin hareketini çözmek için gerekli olan adımları sağladığı için yararlıdır. D’Ambert ilkesi için denklem şöyledir:

olmak üzere,

Bunlar genelleştirilmiş kuvvetlerdir (burada normal Q yerine aşağıdaki kuralsal dönüşümlerle oluşabilecek çelişkiyi önlemek için el yazısı olan Q kullanılmıştır.) ve q lar genelleştirilmiş koordinalardır. Bu, analitik mekanik dilindeki Newton yasalarının genelleştirilmiş formunu oluşturur:

T sistemin toplam kinetik enerjisi olmak üzere,

formülü yararlı bir stenodur (formül için matrix hesabına bakınız).

Holonomik Kısıtlamalar

Eğer eğrisel koordinat sistemi, standart konum vektörü r ile tanımlanırsa ve q (genelleştirilmiş koordinatlar) ile t zaman cinsinden yazılabiliyorsa:

ve bu ilişki her t için tutuyorsa, q Holonomik kısıtlama olarak adlandırılır. r vektörü, kısıtlamaların sadece q(t) yüzünden olmayıp t ile de farklılaştığı durumlarda açık bir şekilde t ye bağlıdır. Zamandan bağımsız durumlar için kısıtlamalar, skleronomik olarak da adlandırılır ve zamana bağlı durumlar için de reonomik olarak adlandırılır.

Lagrange Mekaniği

Genelleştirilmiş koordinatlara ve temel Lagrange mekaniğinin işlevine giriş:

T, toplam kinetik enerji olmak üzere ve V ise bütün sistemin toplam potansiyel enerjisi olmak üzere, Sonrasında değişimler hesabı takip edilerek ya da yukarıdaki formül kullanılarak Euler-Lagrange denklemlerine ulaşılır;

Bunlar N ikinci dereceden basit türevsel denklemler grubudur, hepsi birer adet qi(t) dir.

Bu formülleme; toplam enerjinin sabit olduğu ve geçiş süresinde hiçbir etkisi olmadığı düşünüldüğünde, hareketin takip ettiği asıl yolun üzerinde kinetik enerjinin zaman integralinin en az olduğu yolun seçimi olarak tanımlar.

Konfigürasyon uzayı

Lagrange formüllemesi sistemin konfigürasyon uzayını mümkün olan bütün genelleştirilmiş koordinatları kullanır:

N-boyutlu gerçel uzay olmak üzere, (ayrıca küme yapım formülüne bakınız).Euler-Lagrange denklemlerinin detaylı çözümü, yol (konfigürasyon) ya da yörünge olarak adlandırılır. Yani q(t) gerekli başlangıç kurallarına bağlıdır. Genel çözümler, bir takım mümkün konfigürasyonları zaman işlevleri olarak oluşturur:

Konfigürasyon uzayı, topolojik manifoltlar (çokkatmanlılar) ve tanjant demetleri açısından daha genel olarak hatta daha derinlemesine tanımlanabilir.

Hamilton Mekaniği

Hamiltonian ve Hamilton denklemleri

Lagrangian’ın Legendre dönüşümü, genelleiştirilmiş koordinatların ve hızın (q, ) ile (q, p) yerine geçer; genelleştirilmiş koordinatlar ve genelleştirilmiş momentumlar, genelleştirilmiş koordinatları birleştirir:

ve momentumlar ve genelleştirilmiş koordinatlar açısından Hamiltonan’ı tanımlar:

skaler çarpım olmak üzere, ayrıca Hamilton’un denklemine götürür:

Bunlar bir grup 2N birinci dereceden basit türevsel denklemlerdir, birer adet qi(t) ve pi(t) dir. Legendre dönüşümünün bir diğer sonucu Lagrange’nin ve Hamilton’un zaman türevleri ile ilgilidir:

Bu sıklıkla diğerlerine ek olarak Hamilton’un hareket denklemlerinin biri olarak düşünülür. Genelleştirilmiş momentumlar, genelleştirilmiş kuvvetler bakımından Newton’un ikinci yasasıyla aynı yoldan yazılabilir:

Genelleştirilmiş momentum uzayı

Konfigürasyon uzamına benzeyen bütün momentumlar grubu momentum uzayı dır. (teknik olarak bu bağlamda; genelleştirilmiş momentum uzayı):

momentum uzayı "k-uzayı"; olarak da adlandırılır yani kuantum mekaniğinde ve dalgalar teorisinde de kullanıldığı gibi, De Broglie ilişkileri tarafından verilen bütün dalga vektörleri grubu. Ancak bu kapsamda bundan bahsedilmemektedir.

Evre (zaman ya da faz) uzayı

Bütün pozisyonlar ve momentumlar evre uzayını oluşturur;

Yani genelleştirilmiş momentum uzayı ve konfigürasyon uzayının kartezyen çarpımı × .

Hamilton denklemlerinin detaylı çözümü evre yolu olarak adlandırılır, yani belirli bir eğri (q(t),p(t)), gerekli başlangıç durumlarına bağlıdır. Bütün evre yolları türevsel denklemlerin genel çözümleri, evre dikeyleridir:

Aynı şekilde evre uzayı, topolojik manifoltları ve kotanjant demetlerini kullanarak daha derinlemesine tanımlanabilir.

Sistem geliştikçe, q konfigürasyon uzamı aracılığıyla bir yol çizer (ancak bazıları gösterilir). Sistem tarafından alınan bu yol ( kırmızı olan) sistem konfigürasyonundaki ufak değişimler altında sabit bir eyleme (δS = 0) sahiptir (δq).[1]

En Küçük Eylem İlkesi

Hamilton formülü daha geneldir çünkü zamanla değişen enerjiye izin verir ve sabit eyleme sahip bir yol olması için takip edilen yolu tanımlar. Bu en küçük eylem ilkesi olarak bilinir:

Başlangıç t1 ve bitişit2 sabit tutarak. Eylem terimi çeşitli anlamlara gelir. Bu tanım sadece bir tanesidir ve özellikle Lagrangian sisteminin integraline cevap verir. Yol ya da yörünge terimi, sistemin zaman değişimini konfigürasyon uzayı aracılığyla , i.e. q(t) olan yol olarak tanır yani ’deki yolun planını çizer. Eylemin en az olduğu yol sistem tarafından alınmış yoldur.

Bu ilkeden yola çıkarak, klasik mekanikteki bütün hareket denklemleri çıkarılabilir. Bu yaklaşımların genellemeleri, quantum mekaniğinin integral formülleme yolunun altını çizer ve genel izafiyetteki jeodeziği hesaplamak için kullanılır.

Lagrange İşlevi ve Hamilton İşlevlerinin Özellikleri

Aşağıdakiler Lagrangian ve Hamiltonian işlevlerinin arasındaki birbirleriyle örtüşen özellikleridir.

  • Her bağımsızlık derecesi için olan bütün başlı başına genelleştirilmiş koordinatlar qi(t), süratler i(t) ve momentumlar pi(t) karşılıklı bağımsızlardır. Kapalı olmayan zaman-bağımlı fonksiyon; basitçe q(t) ve p(t) aracılığıyla parametre olarak değil, (ki bu da kapalı olmayan zaman-bağımsız anlamına gelirdi) zamanı t q(t) ve p(t) nin yanında bir çeşit olarak içerir.
  • Herhangi bir q ve t fonksiyonunun toplam zaman türevi ile toplanması durumunda, Lagrangian sabit kalır. Yani:
bu yüzden her bir Lagrangian L ve L' bire bir aynı hareketi tanımlar.
  • Benzer olarak, herhangi q, p ve t fonksiyonunun kısmi zaman türevi ile toplanması durumunda, Hamiltonian da sabit kalır. Yani:
(K bu durumda sıklıkla kullanılan bir işarettir.) Bu özellik, kanonik ( kabul edilmiş, standart) dönüşümlerde kullanılır.
  • Eğer Lagrangian bazı genelleştirilmiş koordinatlarının bağımsızı ise, bu koordinatlarla birleşmiş genelleştirilmiş momentumlar hareketin sabitleridir yani korunumludurlar. Bundan hemen Lagrange denklemleri sonucu çıkar:
Bu tür koordinatlar yok sayılabilir ignorable ya da devirseldir. Bu gösterir ki Hamiltonian aynı zamanda tıpkı genelleştirilmiş koordinatlardaki gibi devirseldir.
  • Eğer Lagrangian zaman-bağımsız ise, Hamiltonian da zaman bağımsızdır. Yani ikisi de zamanda değişmezler.
  • Eğer kinetik enerji genelleştirilmiş hızların homojen bir fonksiyonu ise (ikinci dereceden) ve Lagrangian açıkça zaman bağımsızsa:
λ sabit olmak üzere,Hamiltonian toplam korunmuş enerji olur, sistemin toplam kinetik ve potansiyel enerjisine eşit olur:
Bu, doğrudan onu alan quantum operatörlerini ekleyen Schrödinger denkleminin temelidir.

Hamilton-Jacobi Mekaniği

Kanonik Dönüşümler

Hamiltonian değişmezliği;(p, q ve t raslantısal fonksiyonunun kısmi bölümsel zaman türevinin eklenmesiyle) bir grup q koordinatlarının ve p momentumlarının, yeni bir grup Q = Q(q, p, t) ve P = P(q, p, t) ye dönüştürür. Bu dört şekilde olur:

Öyle ki P ve Q üzerindeki sınırlandırmayla, dönüşmüş Hamiltonian sistemi:

Yukarıdaki dönüşümler kanonik dönüşümler olarak adlandırılır, her bir Gn fonksiyonu "n cinsinden" ya da "n tipi" üreten fonksiyon olarak adlandırılır. Momentumların ve koordinatların dönüşümleri, Hamiltonian denklemleri için verilen problemi çözmede sadeleştirmeye izin verebilir.

Poisson Parantezi

Q ve P seçimleri tamamen raslantısaldır fakat her seçim kanonik dönüşüme sebep olmaz. Poisson parantezini hesaplamak, bir qQ ve pPdönüşümünün kanonik olup olmadığını kontrol etmek için olan basit bir testir.

ve eğer birim

bütün i = 1, 2,...N için ise dönüşüm kanoniktir aksi takdirde kanonik değildir.

Bütün dinamik değişkenler, r pozisyonundan, p momentumundan, t zamanından ve A = A(q, p, t) nin bir fonksiyonu olarak yazılanlardan türer. A nın toplam türevini hesaplamak ve sonuçlarda Hamilton denkleminin yerine kullanmak A nın evrimine sebep olur.

A daki bu denklem, Heissenberg betimlemesindeki hareket denklemiyle yakından alakalıdır ki bu denklemde klasik dinamik değişkenler (^) ile belirtilen quantum operatörlerine dönüşür ve Poisson parantezi, Dirackanonikkuvantumlaması aracılığıyla, operatör komütatörleri tarafından yer değiştirilir.

Hamilton-Jacobi denklemi

Kanonik olarak dönüştürülmüş Hamiltonian K = 0 olarak ayarlandığında, ikinci tip üretici fonksiyon Hamilton’un temel fonksiyonu (ayrıca ) ile gelişigüzel sabit (keyfi, belirsiz sabit) C toplamına eşittir.

Genelleştirilmiş momentumlar,

ya dönüşür ve P sabittir. Sonrasında da Hamilton-Jacobi denklemi (HJE ) ikinci tip kanonik dönüşümlerden türetilebilir.

H nin olduğu kısım öncesinde de olduğu gibi Hamiltonian’dır.

Bir diğer ilgili fonksiyon, zaman-bağımsız Hamiltonian H için olan toplumsal ayırma değişkenleri tarafından, HJE’yi çözmek için kullanılan Hamilton’ın karakteristik fonksiyonudur .

Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümleme çalışmaları haliyle simplektik manifold ve simplektik topoloji çalışmasına yol açmıştır. Bu formüllemede, Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümlemeleri, Hamiltonian vektör alanlarının integral eğrileridir.

Klasik Alan Kuramı İçin Genişletmeler

Lagrangian alan teorisi

Genelleştirilmiş koordinatlar, skaler alanlarla φ(r, t) yer değiştirerek ve Lagrangian yoğunluğunu tanımlayarak (birim hacime düşen Lagrangian) ki Lagrangian bunun hacim integralidir:

μ 4-gradient Euler-Lagrange denklemleri alanlara genişletilebilir (toplam konvansiyonun kullanıldığı yerlerde):

Bu skaler alan formüllemesi, vektör alanlarına, tensor alanlarına ve hatta spinor alanlarına genişletilebilir. Aslen klasik alanlar için geliştirilmiş yukarıdaki formülleme, klasikteki bütün fiziksel alanlar, quantum ve göreceli durumlar için (Newton yerçekimi, klasik elektromanyetizm, genel izafiyet ve quantum alan teorisi gibi ) kabul edilebilirdir. Bu, doğru olan denklemini geliştirmek için doğru Lagrangian yoğunluğuna karar verme meselesidir.

Hamiltonian alan teorisi

φ(r, t) alanına bağlı olan yöndeş momentum alan hacmi şudur:

Hamiltonian yoğunluğu (birim hacme düşen Hamiltonian) aynı şu şekildedir:

ve benzer şekilde tamamlar:

Routhian Mekaniği

Yukarıda bahsedilen halkalı koordinatları kaldırmak için Routhian tanımlanabilir:

Ki bu Lagrangian gibidir ancak sadece N - 1 bağımsızlık derecesi ile birlikte. Routhian yoğunluğu şunu tamamlar:

Ayrıca şunu da tamamlar :

Eşbakışım (simetri), korunum ve Noether kuramı

Klasik mekan ve zamanda simetri dönüşümleri

Her dönüşüm bir operatör tarafından tanımlanabilir. (yani r pozisyonu ya da p momentumu değişkenleri üzerindeki fonkiyon temsili onları değiştirmek içindir.) Aşağıdakiler, operatörlerin r ya da p yi yani simetrileri değiştirmediği durumlardır.

Transformation Operator Position Momentum
Translational symmetry
Time translations
Rotational invariance
Galilean transformations
Parity
T-symmetry

R(, θ) olduğu yer, vektör birimi ve θ açısı tarafından tanımlanan bir eksen hakkındaki rotasyon matriksidir.

Noether teoremi

Noether teoremi şunu belirtir: bir hareketin zincirleme simetri dönüşümü, korunum yasasına cevap verir yani hareket (ve nitekim Lagrangian) bir s parametresi tarafından ifade edilen bir dönüşüm durumunda değişmez.

Lagrangian aynı s bağımsız hareketini tanımlar ki bu uzunluk, rotasyon açısı ya da zaman olabilir. q ya karşılık gelen momentum korunur.

Kaynakça

  1. ^ Penrose, R. (2007). The Road to Reality. Vintage books. s. 474. ISBN 0-679-77631-1. 

Daha fazla

  • Action (physics)
  • Applied mechanics
  • Classical mechanics
  • Dynamics
  • Hamilton–Jacobi equation
  • Hamilton's principle
  • Kinematics
  • Kinetics (physics)
  • Non-autonomous mechanics

Şablon:Physics-footer

İlgili Araştırma Makaleleri

Laplasyen , skaler bir alanının gradyanı alınarak elde edilen vektörün diverjansıdır. Fizikteki birçok diferansiyel denklem laplasyen içerir.

<span class="mw-page-title-main">Küresel koordinat sistemi</span>

Küresel koordinat sistemi, üç boyutlu uzayda nokta belirtmenin bir yoludur.

<span class="mw-page-title-main">Navier-Stokes denklemleri</span> Akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan denklemler dizisi

Navier-Stokes denklemleri, ismini Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes'tan almış olan, sıvılar ve gazlar gibi akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan bir dizi denklemden oluşmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Katı cisim dinamiği</span>

Katı-cisim dinamiği, dış kaynaklı kuvvetler karşısında hareket eden birbiri ile ilişkili sistemlerin analizini inceler. Her bir gövde için, cisimlerin katı olduğu ve bu nedenle uygulanan kuvvetler nedeni ile deforme olmadıkları, sistemi tanımlayan taşıma ve dönme parametrelerinin sayısını azaltarak analizi basitleştirmektedir.

Klein-Gordon Denklemi, Schrödinger denkleminin bağıl/göreli (relativistik) olan versiyonudur ve atomaltı fizikte kendi ekseni etrafında dönmeyen parçacıkları tanımlamada kullanılır. Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından bulunmuştur.

<span class="mw-page-title-main">Laplace denklemi</span>

Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Fourier serisi</span>

Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların toplamına çevirir.

<span class="mw-page-title-main">Liénard-Wiechert potansiyelleri</span>

Liénard-Wiechert potansiyelleri yüklü bir noktasal parçacığın hareketi esnasında oluşan klasik elektromanyetik etkiyi bir vektör potansiyeli ve bir skaler potansiyel cinsinden ifade eder. Maxwell denklemlerinin doğrudan bir sonucu olarak bu potansiyel relativistik olarak doğru, tam, zamana bağlı etkileri de içeren, noktasal parçacığın hareketine herhangi bir sınır konulmaksızın en genel durum için geçerli olan fakat kuantum mekaniğinin öngördüğü etkileri açıklayamayan elektromanyetik bir alan tanımlar. Dalga hareketi formunda yayılan elektromanyetik ışıma bu potansiyellerden elde edilebilir.

Matematikte, Poisson denklemi elektrostatik, makine mühendisliği ve teorik fizik'de geniş kullanım alanına sahip eliptik türdeki Kısmi diferansiyel denklemlerdir. Fransız matematikçi, geometrici ve fizikçi olan Siméon Denis Poisson'dan sonra isimlendirilmiştir. Poisson denklemi

Elektromanyetik dalga denklemi, elektromanyetik dalgaların bir ortam boyunca ya da bir vakum ortamı içerisinde yayılmasını açıklayan, ikinci dereceden bir kısmi diferansiyel denklemdir. Denklemin, ya elektrik alanı E ya da manyetik alan B cinsinden yazılan homojen formu şöyledir:

<span class="mw-page-title-main">Ayar teorisi</span> Fizikte bir teori

Ayar teorisi veya ayar kuramı, kuramsal fizikte temel etileşmeleri açıklar. Türkçede bazen yerelleştirilmiş bakışım kuramı olarak da geçer.

<span class="mw-page-title-main">Küresel harmonikler</span>

Matematikte, küresel harmonikler Laplace denkleminin çözüm kümesinin açısal kısmıdır. Küresel koordinatların bir sistemi içinde küre yüzeyinde tanımlanır, Fourier serisi ise çember üzerinde tanımlanır. Laplace'ın küresel harmonikleri Pierre Simon de Laplace tarafından ilk 1782 yılında tanıtılan bir ortogonal sistemin küresel harmonik formlarının özel bir kümesidir. Küresel harmoniklerden birkaçının kökleri sağda gösterimlenmiştir. Küresel harmonikler pek çok yerde teorik önem taşımaktadır ve özellikle atomik yörünge elektron konfigürasyonları, yerçekimi alanları, geoitleri ve gezegen ve yıldızların manyetik alanlarının temsili ve kozmik mikrodalga arka plan radyasyonu karakterizasyonu hesaplanmasında kullanılan pratik uygulamaları vardır. Küresel harmonikler 3D Bilgisayar grafiklerinde, dolaylı aydınlatma ve 3D şekillerin tanınması gibi konularda geniş bir yelpazede özel bir rol oynamaktadır.

Modern kuantum (nicem) mekaniğinden önce gelen eski kuantum (nicem) kuramı, 1900 ile 1925 yılları arasında elde edilen sonuçların birikimidir. Bu kuramın, klasik mekaniğin ilk doğrulamaları olduğunu günümüzde anladığımız bu kuram, ilk zamanlar tamamlanmış veya istikrarlı değildi. Bohr modeli çalışmaların odak noktasıydı. Eski kuantum döneminde, Arnold Sommerfield, uzay nicemlenimi olarak anılan açısal momentumun (devinimin) z-bileşkesinde nicemlenim yaparak önemli katkılarda bulunmuştur. Bu katkı, electron yörüngelerinin dairesel yerine eliptik olduğunu ortaya çıkarmıştır ve kuantum çakışıklık kavramını ortaya atmıştır. Bu kuram, electron dönüsü hariç Zeeman etkisini açıklamaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Elektromanyetizmanın eşdeğişim formülasyonu</span>

Klasik manyetizmanın eşdeğişimli formülasyonu klasik elektromanyetizma kanunlarının(özellikle de, Maxwell denklemlerini ve Lorentz kuvvetinin) Lorentz dönüşümlerine göre açıkça varyanslarının olmadığı, rektilineer eylemsiz koordinat sistemleri kullanılarak özel görelilik disiplini çerçevesinde yazılma sekillerini ima eder. Bu ifadeler hem klasik elektromanyetizma kanunlarının herhangi bir eylemsiz koordinat sisteminde aynı formu aldıklarını kanıtlamakta kolaylık sağlar hem de alanların ve kuvvetlerin bir referans sisteminden başka bir referans sistemine uyarlanması için bir yol sağlar. Bununla birlikte, bu Maxwell denklemlerinin uzay ve zamanda bükülmesi ya da rektilineer olmayan koordinat sistemleri kadar genel değildir.

Matematikte, uzunluğu 1 olan ve uzayda bir norma sahip olan vektöre birim vektör denir. Birim vektör genellikle ‘û‘ gibi şapkalı ve küçük harflerle ifade edilir. Normalize vektör veya versor olmayan bir sıfır vektörü u ile eş yönlü olan birim vektörü u

Matematiksel fizikte, hareket denklemi, fiziksel sistemin davranışını, sistem hareketinin zamanı ve fonksiyonu olarak tanımlar. Daha detaya girmek gerekirse; hareket denklemi, matematiksel fonksiyonların kümesini "devinimsel değişkenler" cinsinden izah eder. Normal olarak konumlar, koordinat ve zaman kullanılır ama diğer değişkenler de kullanılabilir: momentum bileşenleri ve zaman gibi. En genel seçim genelleştirilmiş koordinatlardır ve bu koordinatlar fiziksel sistemin karakteristiğinin herhangi bir uygun değişkeni olabilirler. Klasik mekanikte fonksiyonlar öklid uzayında tanımlanmıştır ama görelilikte öklid uzayı, eğilmiş uzay ile tanımlanmıştır. Eğer sistemin dinamiği biliniyor ise denklemler dinamiğin hareketini izah eden diferansiyel denklemlerin çözümleri olacaktır.

<span class="mw-page-title-main">Lagrange mekaniği</span> Klasik mekaniğin yeniden formüle edilmesi

Lagrange mekaniği, klasik mekaniğin yeniden formüle edilmesidir. İtalyan-Fransız matematikçi ve astronom Joseph-Louis Lagrange tarafından 1788’de geliştirilmiştir.

İstatistik fizikde,BBGKY hiyerarşisi (Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon hiyerarşisi, bazen Bogoliubov hiyerarşisi olarak alınır) çok sayıda etkileşen parçacıkdan oluşan bir sistemin dinamiklerini tanımlayan bir dizi denklemdir. BBGKY hiyerarşisinde S- parçacığı için denklem dağıtım fonksiyonu (olasılık yoğunluk fonksiyonu) (s + 1)-parçacık dağılım işlevi eşitlikli bir denklem zincirini içerir. Bu kuramsal sonuç, Bogoliubov, Born, Green, Kirkwood ve Yvon'un ardından isimlendirilmiştir.

Hamiltonyan optik ve Lagrange optiği, matematiksel formülasyonlarının büyük bir kısmını Hamilton mekaniği ve Lagrange mekaniği ile paylaşan Geometrik optiğin iki formülasyonudur.

Hamilton mekaniği klasik mekaniğin tekrar formüle edilmesiyle geliştirilmiş ve Hamilton olmayan klasik mekanik ile aynı sonuçları öngörmüş bir teoridir. Teoriye daha soyut bir bakış açısı kazandıran Hamilton mekaniği klasik mekaniğe kıyasla farklı bir matematiksel formülasyon kullanmaktadır. Tarihi açıdan önemli bir çalışma olan Hamilton mekaniği ileriki yıllarda istatistiksel mekanik ve kuantum mekaniği konularının da geliştirilmesine önemli katkılarda bulunmuştur.