Tam sayılar, sayılar kümesinde yer alan sıfır (0), pozitif yönde yer alan doğal sayılar ve bunların negatif değerlerinden oluşan negatif sayılardan oluşan sayı kümesidir.
Topoloji, matematiğin ana dallarından biridir. Yunancada yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs ür.
Grup teorisi veya Grup kuramı, simetrileri inceleyen matematik dalıdır. Simetri kuramı olarak da adlandırılabilir. Bir nesnenin simetrileri ile kast edilen, nesneye uygulandığında nesneye hiçbir etki olmamış gibi sonuç veren dönüşümlerdir. Her nesnenin en az bir simetrisi vardır: hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü. Bahsettiğimiz dönüşümlerin tersleri de vardır ve aradığımız özellikleri sağlarlar. Son olarak da dönüşümlerin art arda yapılması, birleşimli bir işlemdir. Bu üç koşula sırasıyla birim elemana sahip olma, elemenların tersi olma ve grup işleminin birleşmeli olması denir. Bu kavramların matematikte soyutlanması, üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümeler ile yapılır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir 
işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:
Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:
Tıkızlık, topolojik uzayların sahip olabileceği başlıca özelliklerden biridir. Bir X uzayı ve birleşimleri X uzayını kaplayan herhangi bir açık kümeler topluluğu verildiğinde, bu topluluğun içinden sonlu sayıda açık küme hala X uzayını kaplayabiliyorsa, X uzayına tıkız (kompakt) denir. Gerçel sayılar kümesi (ℜ), üzerindeki standart topolojiye göre tıkız değildir, ancak ℜ’nin her kapalı ve sınırlı alt kümesi altuzay topolojisine göre tıkızdır. Matematiğin diğer pek çok alanında olduğu gibi, sonsuz bir nesnenin sonlu bir nesneye indirgenebilmesi çok önemli avantajlar sağladığı için topoloji alanında ve topolojik yöntemler kullanan diğer alanlarda vazgeçilmez bir kavramdır.
Fonksiyon, matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Fonksiyon, 17. yüzyılda matematiğin kavramlarından biri olmuştur. Fizik, mühendislik, mimarlık ve birçok alanda kullanılmaktadır. Galile, Kepler ve Newton hareketlerin araştırılmasında, zaman ve mesafe arasındaki durumu incelemek için fonksiyonlardan faydalanmıştır. Dört işlemden sonra gelen bir işlem türüdür.
Yüzey, matematikte ve özellikle topolojide iki boyutlu çokkatlı. İki gerçel değişkenli ve gerçel değerli bir fonksiyonun üç boyutlu uzayda (R³) grafiği tipik yüzey örneğidir. Ayrıca Dünya yüzeyi, bir yumurtanın kabuğu, bir simit birer yüzeydir.
Çok katlı, topolojide soyut topolojik bir uzay. Bu uzayın her noktasının çevresi Öklit uzayına benzer. Bununla birlikte, çok katlı bir Öklit uzayı olmak zorunda değildir. Genel yapısı, bu basit yerel yapısından çok daha karmaşık olabilir. Çok katlının boyutu, yerel olarak benzediği Öklit uzayının boyutu olarak tanımlanır. Herhangi bir topolojik uzay içinse boyut kavramından söz etmek genelde olası değildir.
Bağıntıda yansıma, simetri ve geçişme özelliği varsa bu bağıntı denklik bağıntısıdır.
Bölüm topolojisi, bir topolojik uzaydan başka bir topolojik uzay elde etmenin klasik yollarından biridir. Bir topolojik uzayda kimi noktaların birbirine yapıştırılmasıyla (özdeşleştirilmesiyle) elde edilen yeni kümenin üzerine konacak bölüm topolojisi, bu yeni kümeyi yeni bir topolojik uzaya dönüştürür. Bu yeni uzaya bölüm uzayı denir. Örneğin [0,1] kapalı aralığı bir topolojik uzaydır. Bu uzayda 0 ve 1 noktaları özdeşleştirilir ve bu yeni kümeye bölüm topolojisi verilirse oluşturulan topolojik uzay düzlemde birim çember olur. Başka bir örnek: düzlemde yatan birim yarıçaplı dairenin kenarının üst tarafındaki her bir nokta kenarın alt tarafında karşılık gelen noktaya yapıştırılır ve bu yeni kümenin üzerine bölüm topolojisi konursa, bu topolojik uzay 3 boyutlu Öklit uzayında birim yarıçaplı küre olur.
Karmaşık analizde Runge yaklaşım teoremi olarak da bilinen Runge teoremi 1885 yılında Alman matematikçi Carl Runge tarafından kanıtlanmış bir sonuçtur.
Matematikte verilmiş bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu "girdi" değerlerinin oluşturduğu kümedir. Örneğin, kosinüsün tanım kümesi gerçel sayılar olurken karekök fonksiyonunun tanım kümesi 0 ve 0'dan büyük sayıların oluşturduğu negatif olmayan gerçel sayılar kümesidir. Fonksiyonun xy Kartezyen koordinat sistemindeki temsilinde, tanım kümesi x-ekseni (apsis) ile temsil edilir.
Mandelbrot kümesi, Benoit Mandelbrot'un ikinci derece kompleks değişkenli polinomların dinamiklerini açıklamak için geliştirdiği ve incelediği kümedir. Mandelbrot kümesi, karmaşık düzlemin bir fraktal altkümesidir.
Topolojide tıkız-açık topoloji, bir topolojik uzaydan bir diğerine tüm sürekli gönderimlerin oluşturduğu küme üzerine konan bir topolojidir. Fonksiyonel analizde fonksiyon uzaylarına konan doğal bir topolojidir.
Pürüzsüz (gıcır) çokkatlı, türevli topolojide bir çeşit topolojik çokkatlı. Tanımı sayesinde, üzerinde türev alınabilir bir uzaydır. Örneğin türev ve integralin ilk tanımlandığı gerçel sayılar kümesi, 1 boyutlu pürüzsüz bir çokkatlıdır.
Matematikte deste, bir topolojik uzayın açık altkümelerine ilişkin yerel tanımlı verilerin sistematik olarak incelenmesini sağlayan bir araçtır.
Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı incelemek için kimi cebirsel, aritmetik veya topolojik değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.
Hausdorff uzay ya da T2 uzay ya da ayrılmış uzay, herhangi iki noktasının birbirinden ayrık komşuluklara sahip olduğu topolojik uzay. Bir topolojik uzayı geometrik sezgiye yakın duruma getiren ilk kabullerden biri Hausdorffluk koşuludur (ya da T2 koşulu). Örneğin bir Hausdorff uzayın her bir noktası, kapalı bir altuzaydır. Ayrıca bir Hausdorff uzayda her yakınsak dizinin, ağın ya da süzgecin yakınsadığı nokta tektir. Hausdorff koşulu, ilk olarak Alman matematikçi Felix Hausdorff tarafından önerilmiş ve onun adıyla anılır olmuştur.
Pro sonlu gruplar, Matematikte ilk olarak sayılar kuramında görülmüştür. 19. yüzyılın sonlarına doğru kongurans sistemlerini çalışmak için Alman matematikçi Hensel tarafından bulunan p-sel tamsayılar halkası Zp, pro-sonlu grupların en temel örneklerinden birisidir. Alman matematikçi Krull herhangi bir sonsuz Galois genişlemesinin Galois grubunun aslında doğal bir şekilde pro-sonlu grup yapısına sahip olduğunu gördü. Bu yapının sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla belirlendiğini gösterdi. Daha sonra, cebirsel geometri alanında Grothendieck, şemaların temel gruplarını birer pro-sonlu grup olarak tanıttı.
Matematiksel analizde, M metrik uzay olmak üzere, elemanları M 'de olan her Cauchy dizisinin yine M'de bir limiti varsa,veya alternatif olarak, M'deki her Cauchy dizisi yine M'de yakınsaksa M metrik uzayına tam denir.
