İçeriğe atla

Alef sayısı

Başlığın diğer anlamları için Alef sayfasına bakınız.
Alef-sıfır, en küçük sonsuz nicel sayı.

Alef sayıları, matematikte, daha ayrıntılı söylemek gerekirse kümeler teorisinde, iyi sıralı olabilen sonsuz kümelerin kardinalitesini göstermek için kullanılan sayılardır. Alef sayısı ismini sembolünden, İbranice alef harfinden alır. Bazı eski matematik kitaplarında yanlışlıkla alef sembolü ters basılmıştır.

Doğal sayılar kümesinin kardinalitesi ℵ0'dır (alef sıfır diye okunur), ondan sonraki kardinalite ise ℵ1 yani alef 1'dir, ondan sonra ℵ2 ve bu şekilde devam eder. Bu şekilde devam edilerek her a ordinal sayısı için bir ℵa kardinal sayısı bulmak mümkündür.

Fikir ve notasyon Georg Cantor'a[1] aittir, kendisi sonsuz kümelerin değişik kardinalitelere sahip olabileceğini keşfetmiştir.

Alef sayıları genellikle cebir ve kalkülüste bulunan sonsuzluktan (∞) farklıdır. Alefler kümelerin büyüklüklerini ölçer, sonsuzluk ise genellikle fonksiyonlarda ve serilerde "sonsuza yaklaşır" denildiğinde reel sayılar doğrusunun sınırı olarak, genişletilmiş reel sayılar doğrusunda ise uç nokta olarak ifade edilir.

Alef sıfır

Alef sıfır doğal sayılar kümesinin kardinalitesidir (büyüklüğü). Alef sıfır en küçük sonsuz sayıdır. Sonsuz kardinal sayılar dizisinin ilk üyesidir. ℵ0 sembolü ile gösterilir.[2]

ℵ0 doğal sayılar kümesinin kardinalitesidir ve sonsuz bir kardinaldir. Bütün ordinallerin kümesinin kardinalitesi de ki buna ω veya ω0 denir, (burada ω Yunan alfabesinden küçük omega harfidir) ℵ0'dır. Bir kümenin kardinalitesi ancak ve ancak sayılabilir sonsuzlukta ise ℵ0'dır, bu da küme ile doğal sayılar kümesi arasında bir birebir örten fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu kümelere örnek olarak şunlar verilebilir:

  • Tüm tam kare sayıların kümesi, tüm kübik sayıların kümesi, tüm dördün kuvvetlerinin kümesi, ...
  • Tüm mükemmel kuvvetli sayıların kümesi, tüm asal kuvvetli sayıların kümesi,
  • Tüm çift sayıların kümesi, tüm tek sayıların kümesi,
  • Tüm asal sayıların kümesi, tüm asal olmayan sayıların kümesi,
  • Tüm tam sayıların kümesi,
  • Tüm rasyonel sayıların kümesi,
  • Tüm inşa edilebilen sayıların kümesi,
  • Tüm cebirsel sayıların kümesi,
  • Tüm tanımlanabilir sayıların kümesi,
  • Tüm sınırlı bir uzunluğa sahip ikili dizilerin kümesi ve
  • Bir sınırsız kümeye ait tüm sınırlı alt kümelerin kümesi.

ω,ω+1,ω*2,ω2,ωω gibi sonsuz ordinaller de sayılabilir sonsuzlukta kümelerle çalışır. Örneğin, ordinalitesi 2ω olan ve bütün pozitif tek sayılardan sonra bütün pozitif çift sayıların gelmesiyle oluşan

{1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10...}

kümesi kardinalitesi ℵ0 olan doğal sayılar kümesinin bir dizilişidir.

Alef bir

Alef bir, doğal sayılar kümesinin kuvvet kümesi'nin (doğal sayılar kümesinin elemanları ile oluşturulabilecek tüm kümelerin kümesi) kardinalitesidir (büyüklüğü).

ℵ1 bütün sayılabilen ordinal sayıların kümesinin kardinalitesidir ve sayılamaz sonsuzluktadır. Bu yüzden ℵ1, ℵ0'dan farklıdır. ℵ1'in tanımına göre (Zermelo-Frankel küme teorisine göre, seçim aksiyomu olmadan dikkate alınırsa), ℵ0 ile ℵ1 arasında hiçbir kardinal sayı yoktur. Seçim aksiyomu kullanılırsa, ℵ1 in en küçük ikinci sonsuz kardinal sayı olduğu kanısına ulaşılabilir.

Süreklilik hipotezi

Reel sayılar kümesinin kardinalitesi (sürekliliğin kardinalitesi) dir. Alef sayıların arasında bu sayının hangi aralıkta olduğu ZFC (seçim aksiyomu olmadan Zermelo-Frankel küme teorisi) kullanılarak belirlenemez. Fakat ZFC kullanılarak süreklilik hipotezinin şu eşitlik anlamına geldiği bulunabilir:

Süreklilik hipotezine göre tam sayılar kümesinin kardinalitesi ile reel sayılar kümesinin kardinalitesi arasında kardinalite yoktur. Süreklilik hipotezi ZFC'den bağımsızdır: aksiyom sistemine bakılarak ne doğruluğu ispatlanabilir ne de yanlışlığı ispatlanabilir.

Kaynakça

  1. ^ "Arşivlenmiş kopya". 4 Kasım 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 17 Ocak 2020. 
  2. ^ "Aleph-0--from Eric Weisstein's World of Mathematics". web.archive.org. 12 Mayıs 2000. 12 Mayıs 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Nisan 2022. 

İlgili Araştırma Makaleleri

Sayı, sayma, ölçme ve etiketleme için kullanılan bir matematiksel nesnedir. En temel örnek, doğal sayılardır. Sayılar, sayı adı (numeral) ile dilde temsil edilebilir. Daha evrensel olarak, tekil sayılar rakam adı verilen sembollerle temsil edilebilir; örneğin, "5" beş sayısını temsil eden bir rakamdır. Yalnızca nispeten az sayıda sembolün ezberlenebilmesi nedeniyle, temel rakamlar genellikle bir rakam sisteminde organize edilir, bu da herhangi bir sayıyı temsil etmenin organize bir yoludur. En yaygın rakam sistemi Hint-Arap rakam sistemidir, bu sistem on temel sayısal sembol, yani rakam kullanılarak herhangi bir negatif olmayan tam sayının temsil edilmesine olanak tanır. Sayılar sayma ve ölçme dışında, etiketlerde, sıralamada ve kodlarda kullanılmak için de sıklıkla kullanılır. Yaygın kullanımda, bir rakam ile temsil ettiği sayı net bir şekilde ayrılmaz.

<span class="mw-page-title-main">Tam sayı</span> sıfırın sağında bulunan sayılar büyükken solunda bulunan sayılar küçüktür

Tam sayılar, sayılar kümesinde yer alan sıfır (0), pozitif yönde yer alan doğal sayılar ve bunların negatif değerlerinden oluşan negatif sayılardan oluşan sayı kümesidir.

<span class="mw-page-title-main">Doğal sayılar</span> sayma sayıları kümesine 0ın eklenmesiyle oluşan sayılar kümesi

Doğal sayılar, şeklinde sıralanan tam sayılardır ve kimi tanımlamalara göre 0 sayısı da bu kümeye dâhil edilebilir. Aralarında standart ISO 80000-2'nin de bulunduğu bazı tanımlar doğal sayıları 0 ile başlatır ve bu durum negatif olmayan tam sayılar için 0, 1, 2, 3, ... şeklinde bir karşılık bulurken, bazı tanımlamalar 1 ile başlamakta ve bu da pozitif tam sayılar için 1, 2, 3, ... şeklinde bir eşlenik oluşturur. Doğal sayıları sıfır olmadan ele alan metinlerde, sıfırın da dahil edildiği doğal sayılar bazen tam sayılar olarak adlandırılırken diğer bazı metinlerde bu terim, negatif tam sayılar da dahil olmak üzere tam sayılar için kullanılmaktadır. Özellikle ilkokul seviyesindeki eğitimde, doğal sayılar, negatif tam sayıları ve sıfırı dışlamak ve saymanın ayrık yapısını, gerçek sayıların bir karakteristiği olan ölçümün sürekliliğiyle karşıtlık oluşturmak amacıyla sayma sayıları olarak adlandırılabilir.

Modeller kuramı, matematiksel konseptleri küme kuramı temelinde inceleyen ya da başka bir deyişle matematiksel sistemlerin dayandığı modelleri araştıran matematik dalıdır. Modeller kuramı, 'dış dünyada' matematiksel nesnelerin var olduğunu varsayar ve nesneler, nesneler arasında bazı işlemler ya da bağıntılar ve bir aksiyomlar kümesi verildiğinde, nelerin nasıl tanıtlanabileceğine ilişkin sorular sorar.

İyi-sıralılık ilkesi, küme kuramının bir önermesidir. Her küme iyi sıralı bir küme yapılabilir. Bu teorem sonluötesi tümevarımın her kümede uygulanabilmesini sağlar. İyi sıralılık ilkesi seçim aksiyomuna denktir.

Matematikte, bir S kümesinin boş olmayan her altkümesi için, en küçük bir eleman tanımlayan tam sıralara, S kümesi üzerinde tanımlı bir iyi-sıra denir. İyi-sıralılık özelliğine sahip bir S kümesi iyi sıralı bir kümedir.

Matematikte reel sayılar kümesi, Fransızca réel “gerçek” den gelmektedir. Oranlı sayılar kümesinin evrim sürecinden elde edilen bir varsayım kombinasyonudur. Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir.

Süreklilik hipotezine göre bütün sonsuzların eşit olması mümkün değildir. 19. yüzyılın sonunda Alman matematikçi Georg Cantor'un ispatından beri gerçek sayılar kümesinin eleman sayısının, doğal sayılar kümesinin eleman sayısından fazla olduğu bilinmektedir. Bu, gerçek sayılar kümesinin eleman sayısının doğal sayıların alt kümelerinin sayısına eşit olduğu anlamına gelir. Genelde ile doğal sayılar kümesinin eleman sayısı ifade edilirken, bu durumda gerçek sayılar kümesinin eleman sayısının olduğu görülmektedir. Süreklilik hipotezi, bu iki sonsuzluk arasında başka derecelerde de sonsuzluk olup olmadığı sorusunu sorar.

<span class="mw-page-title-main">Cantor'un köşegen yöntemi</span> teorem

Georg Cantor'un doğal sayılar ile reel sayıların birebir eşlemesinin yapılamayacağını göstermek için geliştirdiği yöntem. Böyle bir eşlemenin yokluğu sonsuz elemanlı kümelerin büyüklüklerinin karşılaştırılması kavramının gelişimi açısından son derece önemlidir.

Sayılabilirlik, bir kümedeki eleman sayısıyla doğal sayılar arasında birebir eşleme kurulabilme durumu.

<span class="mw-page-title-main">Aritmetik</span> temel matematik dalı

Aritmetik; matematiğin sayılar arasındaki ilişkiler ile sayıların problem çözmede kullanımı ile ilgilenen dalı. Aritmetik kavramı ile genellikle sayılar teorisi, ölçme ve hesaplama kastedilir. Bununla birlikte bazı matematikçiler daha karmaşık çeşitli işlemleri de aritmetik başlığı altında değerlendirirler.

<span class="mw-page-title-main">Georg Cantor</span> Alman matematikçi, küme teorisinin mucidi (1845-1918)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, Alman matematikçi. Kümeler kuramının kurucusudur. Kümeler arasında birebir eşlemenin önemini ortaya koydu, "sonsuz küme" kavramına matematiksel bir tanım getirdi ve gerçel sayıların sonsuzluğunun doğal sayıların sonsuzluğundan "daha büyük" olduğunu ispatladı. Ayrıca kardinal sayı ve ordinal sayı kavramlarını ortaya atmış ve bu sayıların aritmetiğini tanımlamıştır. Cantor'un buluşlarının matematik ve felsefede önemli yeri vardır.

Cantor, tamsayılar kümesinin kardinalitesinin reel sayılar kümesinin kardinalitesinden büyük olduğunu, paradokslu olarak söyleyecek olursak, reel sayılar sonsuz kümesinin, tam sayılar sonsuz kümesinden büyük olduğunu ispat etmiştir.

Alef, İbrani alfabesi'nin ilk harfidir - א. Sayısal değeri 1'dir. Ses değeri yoktur. Sesini, üzerine konan ünlü harfleri ifade eden noktalama işaretinden alır. Noktalama işaretlerine göre genelde "A" ve "E" olarak okunmasına rağmen ender de olsa "O", "U" ve "İ" olarak da okunabilir.

<span class="mw-page-title-main">Dizi</span> aynı tip elemanların sıralı listesi (sonlu veya sonsuz)

Dizi, bir sıralı listedir. Bir küme gibi, ögelerden oluşur. Sıralı ögelerin sayısına dizinin uzunluğu denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Örneğin doğal sayılar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi sonlu olabilir. Ya da tüm çift pozitif tam sayılar gibi sonsuz olabilir.

Matematikte, kardinal sayılar ya da nicel sayılar, kısaca kardinaller; bir kümenin kardinalitesi ya da nicesi olarak bilinen büyüklüğünü göstermek için kullanılan sayılardır. Sonlu kümelerde kardinalite, kümenin öğe sayısını gösteren doğal bir sayıdır. Sonsuz kümelerin öğe sayısını tanımlamak için transfinite kardinal sayılar vardır.

<span class="mw-page-title-main">Küme</span> matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir.

Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Sonsuz</span> matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan şeyler ve sayılar

Sonsuz, eski Yunanca Lemniscate kelimesinden gelmektedir, çoğunlukla matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan şeyleri ve sayıları tarif etmekte kullanılan soyut bir kavramdır.

Cantor teoremi, kümeler teorisinin başlıca teoremlerindendir. Teorem; boş olmayan herhangi bir X kümesinin kuvvet kümesinin kardinalitesinin, X kümesinin kardinalitesinden büyük olduğunu söyler. P(X) ile kuvvet kümesi gösterilirse, teoreme göre X kümesi ile P(X) arasında birebir eşleme yapılamaz.

Temel matematikte sayı doğrusu, kalın çizgiden oluşan ve her noktası ilgili bir reel sayıya karşılık gelen en temel koordinat sistemidir. Daha çok tamsayılardan oluşan özel işaretli noktalar, aralarında eşit mesafe olacak biçimde gösterilir. Aşağıdaki şekilde her ne kadar −9 ile 9 arasındaki sayılar gösterilse bile, doğruya tüm reel sayılar dahildir. Bu sayılar her iki yönde sonsuza kadar devam eder. Bu sayı doğrusu daha çok, basit toplama ve çıkarmayı, özellikle negatif sayıları öğretmeye yardımcı olmak için kullanılır.


Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.