Alan (fizik)

Alan, fizik kuramlarında kullanılan, matematikteki cebirsel alanın tüm özelliklerini taşıyan terim. Genellikle bu etki 100 nanometre ve daha küçük skalalarda etkili olur. Bu etki nanoteknolojiyle aynı ölçeğe denk gelir. Bir alan mekan ve zaman içinde her bir nokta için bir değeri olan bir fiziksel miktardır.^[1] Örneğin, hava durumu, rüzgâr hızı uzayda her nokta için bir vektör atayarak tarif edilmektedir. Her bir vektör bu noktada hava hareketinin hızını ve yönünü temsil eder.

Bir alan her noktadaki alanın değeri sırasıyla skaler, vektör, bir spinor veya bir tensör olup olmadığını, uygun skaler, bir vektör, bir spinör veya bir tensör, olarak sınıflandırılabilir. Örneğin, Newtonyen yerçekimi alanı bir vektör alanıdır: uzay zamanı içinde bir noktada onun değerini belirterek bu noktada üç sayı, yerçekimi alan vektörünün bileşenleri gerektirir. Ayrıca, her kategoride (skaler, vektör, tensör) içinde, bir alan sırasıyla numaraları veya kuantum operatörleri ile karakterize olup olmadığına bağlı olarak bir klasik alan veya bir kuantum alanı da olabilir. Bir alan bütün uzay boyunca uzanan olarak da düşünülebilir. Uygulamada, bilinen her alanın gücü tespit edilemez olma noktasına olan mesafe ile azaltmak için bulunmuştur. Örneğin, çekimin Newton teorisi, yerçekimi gücü çekilen nesneye olan uzaklığın karesi ile ters orantılıdır. Bu nedenle Dünya'nın yerçekimi alanı hızla kozmik ölçeklerde saptanamaz olur ."Uzaydaki numaralar" olarak tanımlanan alanın fiziksel gerçek olduğu fikrine olumsuz etkisi olmamalıdır. "Bu alanı kaplar. Bu enerji içerir onun gerçek varlığını bir vakum ortadan kaldırır. Öyle ki biz bunu bir parçacık koyduğumuz zaman, parçacık bir kuvvet "hissediyor ".^[2] Alan "Uzayda bir durum yaratır"^[3] Bir elektrik yükü hızlanır, başka bir yükün etkileri anında görünmüyor. İlk şarj momentum toplayıp, bir tepki kuvvet hisseder, fakat ikinci şarj etkisine kadar hiçbir şey hissetmiyor seyahat ışık hız onu ulaşır ve ona momentum verir. ikinci yükten önceki momentum nerede ?Momentumun korunumu yasası ile bir yerde olmalı. Fizikçiler derki "Gücün analizi için büyük yarar" bunu bulduk "^[3] alan içindeki varlık olarak düşünüyorlar Bu programı modern fiziğin tüm yapısının bir destek paradigma alan kavramı yapmanın altyapısında, elektromanyetik alanların aslında var olduğuna inanan fizikçiler yer alır.John Wheeler ve Richard Feynman derki(onlar, genel görelilik ve kuantum elektrodinamiği araştırması için sürmekte olan alan kavramının yararını bir kenara koymasına rağmen) bir uzaklıktan hareket'in Newton'un öncesi alan kavramı ciddiye alınmalı " Aslında Elektromanyetik alanın sahip olduğu momentum ve enerji ile onu çok gerçek kılan... bir parçacık bir alan yapar ve bir alan başka bir parçacığa hareket verir ve alan; enerji içeriği ve momentum gibi tanıdık özelliklere sahip, sadece parçacıklar olabildiğince var". ^[3]

Isaac Newton evrensel kütleçekimi kanununu sadece büyük nesneler herhangi bir çifti arasında hareket yerçekimi kuvvetini dile getirdi. Tüm cisimlerin her çifti arasındaki kuvvet ile uğraşan, bu tür Güneş Sistemi'ndeki gezegenler gibi, birbirleri ile etkileşen birçok cisimlerin hareket baktığınızda ayrı hızla hesaplama sakıncalı olur. On sekizinci yüzyılda, yeni bir varlık tüm bu yerçekimi kuvvetlerinin defter tutma kolaylaştırmak için icat edildi. Bu varlık, çekim alanı uzayda her noktada bu noktada birim kütleye sahip bir nesne tarafından hissedilir olacaktır. toplam yerçekimi kuvveti verir. Eğer tek bir nesne üzerindeki tüm yerçekimi kuvvetleri hesaplanır ve daha sonra onları bir araya eklenir ise ya da ilk önce bir yerçekimi alanı olarak birlikte tüm katkıları toplanır ve nesneye bir uygulanırsa, önemli değil. Bu herhangi bir şekilde fizikte değişmedi.^[4]

Bir alan kavramının bağımsız gelişimi gerçekten elektromanyetizma teorisinin gelişimi ile on dokuzuncu yüzyılda başladı. Erken evrelerde André-Marie Ampère ve Charles-Augustin de Coulomb elektrik yükleri ya da elektrik akımı çiftleri arasındaki kuvvetleri ifade Newton tarzı yasalarla yönetilmiş olabilir. Ancak, çok daha doğal alan yaklaşım ve elektrik ve manyetik alan açısından bu yasaları ifade etmek oldu; 1849 yılında Michael Faraday dönemi "alan" için ilk değer oldu.^[4]

Alanın bağımsız doğası bu alan içindeki dalgaların sonlu bir hızla yayılması ile mümkündü ve durum, James Clerk Maxwell'in keşfi ile daha belirgin bir hale geldi. Sonuç olarak yükler ve akımları üzerinde kuvvetler artık sadece aynı zamanda diğer yük ve akımların pozisyonları ve hızlarına bağlıydı, ama aynı zamanda geçmişteki konumlarına ve hızlarına da bağlıydı.^[4]

Maxwell ilk başta, bağımsız olarak var olabilecek, alan gibi modern bir temel varlık kavramını kabul etmedi. Bunun yerine, elektromanyetik alanın deformasyonunun bazı temel ortam yani -ışık-saçan eter- ifade etmesi gerekiyordu, bir lastik zarında gerginliğe çok benzer. Eğer bu durumda olsaydı, elektromanyetik dalgaların gözlenen hızı etere göre gözlemcinin hızına bağlı olması gerekir. Çok çabaya rağmen, hiçbir deneysel kanıt böyle bir etkiyi şimdiye kadar bulamadı, durum 1905 yılında Albert Einstein tarafından özel görelilik teorisinin tanıtımı ile çözüldü. Bu teori hareketli gözlemcilerin bakış açılarının Maxwell'in teorisinde elektromanyetik dalgaların hızı tüm gözlemciler için aynı olacak şekilde birbirleriyle ilişkili olmalıdır şeklinde değişti. Arka plan ortamı için ihtiyaç ortadan yaparak, bu gelişme gerçekten bağımsız kuruluşlar gibi konularda düşünmeye başlamak için fizikçiler için bir yol açtı.^[4]

1920'li yılların sonlarında,kuantum mekaniği'nin yeni kurallar ilk elektromanyetik alanlara uygulanmıştır. 1927 yılında, Paul Dirac başarılı bir atomun çürümesi olan alt kuantum durumu elektromanyetik alanın kuantumu bir foton'un spontan emisyonunu nasıl olduğunu açıklamak için kuantum alanları kullanılır. Elektron ve proton da dahil olmak üzere tüm partikülleri, doğada en temel nesnelerin durumuna yükselten alanlar, bir kuantum alanının miktarı olarak anlaşılabilir ki (Pascual Jordan, Eugene Wigner, Werner Heisenberg ve Wolfgang Pauli) çalışmasının ardından) bu kadar çabuk gerçekleşmesi izledi.^[4]

Buradaki klasik alanların birkaç örneğidir. Kuantum özellikleri meydana gelmeyen yerde klasik bir alan teorileri yararlı kalır ve araştırmaların aktif alanları olabilir. eşyaların elastisitesi, akışkan dinamiği ve Maxwell denklemleri nokta içindeki durumlardır.

Bazı basit fiziksel alanlardan vektör kuvvet alanları vardır. Tarihsel olarak, Faraday'ın kuvvet çizgisi elektrik alanı tanımı ise alanların ciddiye alındığını ilk zaman oldu,çekim alanı ise benzer tanımlandı.

Bir klasik alan teorisi açıklayan yerçekimi Newtonyen çekimdir,bu iki kütle(ler) arasındaki bir karşılıklı etkileşim çekim gücü olarak tanımlanır.

Herhangi büyük gövde M bir çekim alanı g var bu olarak diğer büyük gövdeyi etkisiyle onu tanımlar. M in çekim alanı olarak uzay içindeki bir r noktası F kuvveti tarafından belirlenerek bulunur. Bu M uygulama olarak bir küçük test kütlesi r de m yer alır ve m tarafından bölünürse:^[5]${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$ öngörülen m çok küçük Me göre şunu sağlar ki m 'in varlığına M in davranışı ihmal edilebilir etkisi var.

Newton'un Kütleçekim kanunu'na göre, F(r) ile verilir.^[5]${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$ burada ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ bir birim vektör M ve m dir ve m noktasından M'e birleştiren hat boyunca uzanır. Bu nedenle, M in çekim alanı^[5] dır.

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

Deneysel araştırmalar bu eylemsiz kütle ve çekim kuvveti doğruluğun görülmemiş düzeyleri ne eştir çekim alanının özdeş gücü olarak to the deneysel hızlandırılan bir parçacık tarafından. Bu eşdeğer prensipler'in başlangıç noktasıdır. Bu genel görelilik için bir yoldur

Çünkü çekim kuvveti F koruyucudur, çekim alanı g gradyani bir skaler fonksiyonun terimleri içinde yazılabilir,çekim potansiyeli Φ(r):

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$

Michael Faraday Önce fiziksel bir nesne gibi, bir alanın önemi içine yaptığı araştırmalar sırasında manyetizma'yı fark etti. O şunu fark etti; elektrik ve manyetik alanlar parçacıkların hareketini belirleyen kuvvetin yalnızca alanları değildir, ama Onlar aynı zamanda enerjiyi taşırlar çünkü bağımsız bir fiziksel gerçekliğe sahipler. Bu fikirler sonunda elektromanyetik alan için denklemlerin tanıtımı ile, James Clerk Maxwell tarafından fizikte ilk birleşik alan teorisinin kurulmasına yol açtı. Bu denklemlerin modern versiyonuna Maxwell denklemleri denir.

Bir yüklü parçacık testi yüküne dayalı olarak yük q ile deneysel bir kuvvet F tir. Benzer tanım elektrik alanı E böyledir F = qE. Kullanılan bu ve Coulomb kanunu elektrik alanı nedeniyle bir tek yüklü parçacık olarak bize şunu söyler:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

Elektrik alanı tutucudur ve Bu nedenle bir skaler potansiyel ile tanımlanabilir, V(r):

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$

Bir yol ℓ boyunca akan I sabit akım, yukarıda tarif edilen elektrik alan kuvveti kantitatif farklıdır yakındaki yüklü parçacıklar üzerine bir kuvvet uygulayacaktır. v hızı ile yakındaki bir q yükü üzerine I tarafından uygulanan kuvvet

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

burada B(r) manyetik alandır, bu Biot-Savart kanunu tarafından I dan belirlenir:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

Manyetik alan, genel olarak tutucu değildir ve bu nedenle genellikle skaler potansiyeli açısından yazılı olamaz. Ancak açısından yazılmış olabilir bir vektör potansiyeli, A (r):

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

E durağan elektrik yükleri, nedeniyle alanlar ve B durağan alanlar nedeniyle manyetik yük. hareket içinde (hız v), bir elektrik yük uyarılması bir B alanı nedeniyle bir manyetik yük uyarılması bir E alanı geleneksel akım kullanılıyor.

Top: E alanı nedeniyle bir elektrik dipol momenti d. Bottom left: B alanı nedeniyle bir matematiksel manyetik dipol m İki manyetik kutuplar ile oluşturulur. Bottom right: B alanı nedeniyle bir saf manyetik dipol moment m sıradan madde bulundu.(tek kutuptan değil).

The E alanları ve B alanları due to elektrik yüküs (siyah/beyaz) vemanyetik kutuplar (kırmızı/mavi).^[6][7]

Genel olarak, bir şarj yoğunluğu ρ(r, t) ve akım yoğunluğu J(r, t) her iki mevcudiyetinde, bir elektrik ve manyetik alan her ikisi olacak ve her ikisi de zaman içinde değişecektir. Bunlar doğrudan ρ ve J ye ilgili E ve B Maxwell denklemleri, diferansiyel denklem kümesi tarafından belirlenir.^[8] Alternatif olarak, bir ile skalar ve vektör potansiyel V ve A cinsinden sistem tanımlayabiliriz.gecikmeli potansiyel olarak bilinen ayrılmaz bir dizi denklem hesaplamasını sağlar V ve A dan ρ ve J'ye^{[note 1]} ve oradan elektrik ve manyetik alanlar ile ilişkileri belirlenir.^[9]${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$

19. yüzyılın sonlarında,elektromanyetik alan uzay içindeki iki vektör alanının bir koleksiyonu olarak anlaşılmıştı. Günümüzde, bir uzayzamanı içinde bir tek antisimetrik 2-rank tensör alanı olarak bu tanınır.

çekimin Einstein teorisi, genel görelilik olarak adlandırılır, bir alan teorisinin diğer bir örneğidir. Burada the prensip alan is the metrik tensördür, uzay-zaman içinde bir simetrik 2ci-rank tensör alanıdır Evrensel çekimin Newton kanunu'nun yerine geçmiştir.

Dalgalar fizik olanlar olarak yapılandırılabilirler, kendiliğinden sonlu yayılma hızı ve nedensel doğa ise izole kapalı sistem'in sadeleştirilmiş bir fizik model'inin kümesidir ^[]. Bu aynı zamanda ters-kare yasası'na bağlıdır.

Elektromanyetik dalgalar için, burada optik alan vardır ve yakın- ve uzak-alan gibi terimler kırınım için sınırlardır. Uygulamada, optik olsa da alan teorileri Maxwell'in elektromanyetik alan teorisi tarafından aşılırlar.

Şimdi bir kuantum alan teorisi, en azından prensipte, kuantum mekanik anlamda bir yeniden düzenlemesine izin gerektiğini, böylece kuantum mekaniği, tüm fiziksel olayların temelinde olması gerektiğine başarı getirdiğine inanılan, kuantum alan teorisini verir. Örneğin,klasik elektrodinamik nicemleme ile kuantum elektrodinamiğini verir. deneysel veriler başka bir teori daha (daha önemli basamak) daha yüksek bir duyarlıklı olarak onun öngörülerini teyit eder.^[12] diğer iki temel kuantum alan teorisi kuantum renk ve elektrozayıf teorisi vardır; kuantum elektrodinamik tartışmasız en başarılı bilimsel teoridir.

kuantum kromodinamiğinde, renk alanı çizgileri gluon tarafından kısa mesafelerde birleştiğinde, alana göre polarize ve onunla hizalı olur. Bu etki kısa bir mesafe içinde artar (kuarkların yakınlarından 1 fm çevresinde), hadronun içinde kuarklar hapsederek kısa bir mesafe içinde renk kuvvetinde artış yapar. Alan çizgileri gluonlar ile birbirine sıkıca çekilir gibi, bu elektrik yükleri arasındaki bir elektrik alanı olarak dışarıya kadar "beyaz" değil.^[13]

Bu üç kuantum alan teorileri tüm parçacık fiziğinin ve sözde standart modelin özel durumları olarak elde edilebilir.Genel görelilik, yerçekiminin Einstein alan teorisi, şimdilik başarılı kuantize olmak için başarılı. Ancak bir uzantısı,termal alan teorisi, sonlu sıcaklıklarda, nadiren kuantum alan teorisi dikkate şeye kuantum alan teorisi ile ilgilenir.

BRST teorisi içinde tek alanlar ile bölme yani Faddeev–Popov hayaletidir. Dereceli manifoldu ve supermanifold her ikisi de tek klasik alanlarda farklı açıklamaları vardır.

Klasik alanları yukarıda olduğu gibi, daha önce olduğu gibi benzer teknikleri kullanarak tamamen matematiksel bir görünümden kuantum karşılıkları yaklaşımı mümkündür. Kuantum alanları yöneten denklemler gerçeği KDD'lerin (özellikle, relativistik dalga denklemleri (RWEs)) bulunmaktadır. Böylece bir Yang-Mills, Dirac, Klein-Gordon ve Schrödinger alanı ile ilgili denklemlerin çözümleri konuşulabilir. Olası bir sorun, bu RWEs egzotik cebirsel özellikleri olan karmaşık matematiksel nesnelerin ile başa olduğunu (örneğin spinörleri tansörleri değildir, bu yüzden spinor alanı s üzerinde hesabı gerekebilir) ancak bu teori hala matematiksel genelleme uygun verilen analitik yöntemlere tabi olabilir.

Bir alan teorisi, bir veya daha fazla fiziksel alan madde ile nasıl etkileşime açıklayan fizik teorisidir. Alan teorisi genellikle bir alanın dinamiklerinin bir yapısı anlamına gelir, zaman veya alan bağımlı olduğu diğer bağımsız fiziksel değişkenler açısından alan değişikliklerin bir şartnamesidir yani. Genellikle bu Lagrangianveya alanın bir Hamiltonyen'i yazma ve serbestliğin derecesi sonsuz sayıda bir sistemin klasik mekanik (veya kuantum mekaniği) olarak muamele yapılır. Oluşan alan teorileri klasik veya kuantum alan teorileri olarak adlandırılır. Klasik bir alanın dinamikleri genellikle alan bileşenleri açısından Lagrangian yoğunluk ile belirtilen, dinamik hareket prensibi kullanılarak elde edilebilir.

Birkaç değişken hesabı, potansiyel teorisi ve kısmi diferansiyel denklemler (PDEs) sadece matematik kullanarak herhangi bir fizik ön bilgi olmadan basit alanları inşa etmek mümkündür. Örneğin, skaler PDE gibi dalga denklemi ve akışkan dinamiği için genlik, yoğunluk ve basınç alanları gibi miktarlarda düşünebilirsiniz ısı/difüzyon denklemi denklemleri için ısı/konsantrasyon alanları. Fizik uygun (örneğin, radyometri ve bilgisayar grafikleri) dışında, hatta ışık alanları vardır. Tüm bu örnekler, önceki skaler alanlar vardır. Benzer vektörleri için, (uygulamalı matematik) akışkan dinamiği deplasman, hız ve vortisiti alanları için vektör PDE vardır, ama vektör hesabı şimdi bu üç miktarları gibi (genel olarak vektör alanları üzerinde hesabı olan, yanı sıra ihtiyaç duyulan ve vektör PDE için olanlar olabilir) .örneğin sürekli ortamlar mekaniği daha genel sorunlar içerebilir, daha sonra yön elastisite (germek anlamına geldiği için Latince kelime türetilmiş tensör terimi), kompleks sıvı akar veya anizotropik difuzyon,matris - tensör KDD'lerin olarak çerçeveli ve matrisler gerektirir veya tensör alanları, dolayısıyla matris veya tensör hesabı. Bu skalerler (ve böylece, vektörler, matrisler ve tansörler) her ikisi de gerçek ya da kompleks soyut-cebir/halka-teoretik anlamda alanları olabilir unutulmamalıdır. Genel bir ortamda, klasik alanlar lif demetleri ve bunların dinamikleri bölümleri jet manifoldlar (kovaryant klasik alan teorisi) açısından formüle edilmiştir tarif edilmektedir.^[14]

Modern fizikte, en sık çalışılan alanlar bir gün Birleşik Alan Teorisine yol açabilir olan dört temel kuvvet modelidir..

Bir alan sınıflandırmak için uygun bir yol(klasik veya kuantum) ile simetrilere sahiptir. Fiziksel simetriler genellikle iki tiptir:

• Skaler alanlar:Alan değerleri her noktada tek bir değişken tarafından verilmektedir (sıcaklık gibi) Bu değer alanı dönüşüm altında değişmez.
• Vektör alanları: alanın her noktasına bir vektör takılarak belirtilir (örneğin, bir manyetik alan içinde her noktada kuvvet in büyüklüğü ve yönü gibi).Bu vektöre ait bileşenlerin uzayda dönüş altında her zaman olduğu gibi kendi aralarında dönüşümü.
• Tensör alanları: (örneğin bir kristalin stres tensörü gibi) alanı her noktada bir tensör tarafından belirtilen. Tensör bileşenleri uzayda dönmeler altında her zamanki gibi kendi aralarında dönüşümü.
• Spinör alanlar: (örneğin Dirac Spinör olarak) spin parçacıkları tanımlamak için Kuantum alan kuramı ortaya çıkar.

Alanlar uzay simetrilerine ek olarak iç simetriye sahip olabilir. Örneğin, birçok durumda, bir uzay-zaman skalerlerin bir listesi verilmiş alanlar gerekir: (φ₁, φ₂, … φ_N).Örneğin, hava tahminleri, bu gibi sıcaklık, basınç, nem, olabilir, Parçacık fiziğinde, kuarkların etkileşiminin renk simetrisi izospin veya çeşni simetrileri olduğu gibi, kuvvetli etkileşimin iç simetrisine bir örnektir.

Bu bileşenleri birbirine dönüştürmek altında uzayzamanı kapsamayan sorunun bir simetrisi, var ise, o zaman simetrilerin bu dizisi bir iç simetrik olarak adlandırılır. Bir de iç simetrileri altında alanların yüklerinin bir sınıflandırması yapılabilir.

İstatistiksel alan teorisi çoklu-cisim sistemleri ve istatistik mekanik'e yönelik alan teorik paradigmasını genişletmek için çalışır. Yukarıdaki gibi, bileşen serbestlik derecesi olağan sonsuz sayıya ulaşılabiliyor.

Çok istatistiksel mekanik gibi kuantum ve klasik mekaniğin arasında bazı örtüşmeler vardır, istatistiksel alan teorisi birçok yöntemleri paylaştığı özellikle önceki, hem kuantum ve hem de klasik alan teorileri bağlantıları vardır. Önemli bir ortalama alan teorisi örneğidir.

Bu tür elektromanyetik alanındaki gibi yukarıdaki klasik alanların, genellikle sonsuz türevlenebilir fonksiyonlar, ama hemen hemen her zaman, her durumda iki kez türevlenebilenleri vardır. Buna karşılık, genelleştirilmiş fonksiyonlar sürekli değildir. Sonlu sıcaklıkta klasik alanlar ile dikkatlice uğraşırken termal dalgalanan klasik alanlar hiçbir yerde türevlenebilir olmadığından, sürekli rastgele alanlar matematiksel yöntemleri kullanılır. Rastgele alanlar rastgele değişkenlerin indisli setleridir, sürekli rastgele alan kendi dizin kümesi gibi fonksiyonları bir dizin olan rastgele bir alandır Özellikle, sık sık onun indisli seti gibi fonksiyonların bir Schwartz uzayı'na sahip sürekli bir rastgele alanı almak matematiksel olarak uygundur ki bu durum sürekli rastgele bir alanına bir.katkılı dağılımlıdır. Biz sürekli bir rastgele alanı hakkında düşünebiliriz, bir (çok) kaba bir şekilde, hemen hemen her yerde ${\displaystyle \pm \infty }$ olduğunu, ancak bu sıradan bir fonksiyonu olarak bir bütün sonsuzlukların ağırlıklı ortalamasını alırken herhangi bir sonlu bölge üzerinde ise sonlu bir sonuç alabiliriz. Sonsuz iyi tanımlanmış değildir, ancak sınırlı değerler sonlu değerlerini elde etmek için ağırlık işlevleri olarak kullanılan işlevler ile ilişkili olabilir ve bu iyi tanımlanmış olabilir. Biz gerçek sayıların içine fonksiyonların bir uzaydan gelen bir doğrusal haritanın yeterince sürekli bir rastgele alanını tanımlayabiliriz.

Süreklilik görünümü (dolayısıyla "alan" terimi) sistem serbestlik derecesine sonsuz sayıyı sağlayarak ulaşılabiliyor. Bir vektör adi diferansiyel denklemin boyutu sadece vektör bağımlı değişken veya vektör fonksiyonun boyutudur. Bu anlamda kısmi diferansiyel denklemler yani sonsuz boyutun (birleştirilmiş)ODE'lerinin (bileşen serbestlik derecesi matematiksel yorumlama) olarak düşünülebilir. Ayrıca^[15] yön alanları olarak adlandırılan vektör alanları önemli araçları ODE'lerinin sonuçları içinde analiz bulunmaktadır (faz düzlemine bakınız).

nesnenin gerçek doğası diferansiyel denklemi analizin türünü belirler(Ve bağımsız değişkenlerini) (örneğin gerçek skaler, karmaşık matris, Öklid vektör veya dört vektör vs.) - (bizim örneklerde - tek değişken bir real hesabı, karmaşık bir matriks ve reel vektör alanlar üzerinde) gerekli. Kısmi diferansiyel denklemlerin dışında, (klasik) reel analiz ve karmaşık analizin diğer parçalar ya esinlenmiş veya teknikleri alan teorisi (veya her ikisi) uyguladık. Bu tür alanlara örnek spektral teorisi ve harmonik analiz (titreşim ve dalgalar) veya kendini açıklayıcı potansiyel teorisi, kendi başlarına tüm matematiksel konulardır. Ancak belki de en belirgin örnekleri varyasyon hesabı (Lagrangiyen ve Hamiltoniyen biçimcilikler) verilen bağlantılar) ve çok değişkenli hesabı ile diferansiyel geometri genellemeleri vardır - tensör hesabı da dahil olmak üzere ve ayar kuramı - ve onun yakın akrabası diferansiyel topoloji.

• Kovaryant Hamiltonyen alan teorisi
• Skaler alan teorisi

• Landau, Lev D. ve Lifshitz, Evgeny M. (1971). Classical Theory of Fields (3rd ed.). London: Pergamon. ISBN 0-08-016019-0. Vol. 2 of the Course of Theoretical Physics.

• Parçacık ve Polimer Alan Kuramları