Abel testi

Matematikte Abel testi (Abel kriteri veya Abel ölçütü olarak da bilinir) sonsuz bir serinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test matematikçi Niels Abel'e ithafen bu şekilde isimlendirilmiştir. Abel testinin farklı iki çeşidi vardır – birisi gerçel sayıların serileriyle kullanılır; diğeri ise karmaşık analizdeki kuvvet serileriyle kullanılır.

Gerçel sayıların iki dizisi ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ve ${\displaystyle \{b_{n}\}}$, şunları sağlarsa

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ yakınsar
• ${\displaystyle \lbrace b_{n}\rbrace \,}$ monotondur ve ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}\neq \infty }$

o zaman,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

serisi yakınsar.

Yine Abel testi olarak bilinen oldukça yakın ilişkili yakınsaklık testi sıklıkla bir kuvvet serisinin yakınsaklık çemberinin sınırı üzerindeki yakınsaklığını kurmak için kullanılır. Daha ayrıntılı olarak, Abel testi şunu ifade eder:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,}$

ise ve

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\,}$

serisi |z| < 1 iken yakınsarsa, |z| > 1 iken ıraksarsa, n > m için (yani başka bir deyişle çok büyük n 'ler için) {a_n} katsayıları sıfır limitine doğru monoton olarak azalan pozitif gerçel sayılar ise, o zaman f(z) 'nin kuvvet serisi birim çember üzerindeki z = 1 dışında her yerde yakınsaktır. Abel testi z = 1 olduğunda uygulanamaz; bu yüzden bu noktadaki yakınsaklık ayrı bir şekilde incelenmelidir. Abel testi aynı zamanda yakınsaklık yarıçapı R ≠ 1 olan bir kuvvet serisine basit bir ζ = z/R değişken değiştirmesiyle uygulanabilir.^[1]

Abel testinin kanıtı: z birim çemberin üzerinde bir nokta ve z ≠ 1 olsun. O zaman

${\displaystyle z=e^{i\theta }\quad \Rightarrow \quad z^{\frac {1}{2}}-z^{-{\frac {1}{2}}}=2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\neq 0}$

olur; böylece, p > q > m olan herhangi iki pozitif tam sayı için

${\displaystyle {\begin{aligned}2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)&=\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right]-a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}+a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\,\end{aligned}}}$

yazabiliriz. S_p ve S_q burada kısmi toplamlardır:

${\displaystyle S_{p}=\sum _{n=0}^{p}a_{n}z^{n}.\,}$

Ancak şimdi, |z| = 1 ve a_n 'ler n > m iken monoton olarak azalan pozitif gerçel sayılar olduğu için, ayrıca

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)\right|&=\left|\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\right|\\&\leq \left[\sum _{n=q+2}^{p}\left|\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right|\right]+\left|a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}\right|+\left|a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\right|\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)\right]+a_{q+1}+a_{p}\\&=a_{q+1}-a_{p}+a_{q+1}+a_{p}=2a_{q+1}\,\end{aligned}}}$

yazabiliriz. Şimdi Cauchy yakınsaklık testini uygulayabiliriz ve f(z) 'nin kuvvet serisinin seçilmiş z ≠ 1 noktasında yakınsadığını söyleyebiliriz çünkü sin(½θ) ≠ 0 sabit bir niceliktir ve a_q+1, q yeterince büyük seçilerek verilmiş herhangi bir ε > 0 'dan daha küçük yapılabilir.

• Kanıt (gerçel seriler için),PlanetMath.org sitesinde12 Mart 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964