abc sanısı - Turkipedia

abc sanısı veya abc konjektürü sayılar teorisindeki bir sanı yani konjektürdür. 1985'te Joseph Oesterlé ve David Masser tarafından ortaya atılmıştır. Biri diğer ikisinin toplamı şeklinde ifade edilen üç tam sayının özellikleri üzerine kurulmuştur. Problemi çözmek için açık bir strateji bulunmadığı halde, sanı bazı ilginç sonuçları sayesinde tanınmıştır.

Formülleştirme

n pozitif tam sayısı için n'in radikali rad(n) ile gösterilir ve n'in asal sayı bölenlerinin çarpımını ifade eder. Örneğin:

rad(16) = rad(2⁴) = 2,
rad(17) = 17,
rad(18) = rad(2·3²) = 2·3 = 6.

a, b ve c aralarında asal pozitif tam sayılarsa ve a + b = c ise (a, b, c) tam sayı üçlüsünün kalitesi q(a, b, c) ile gösterilir ve aşağıdaki formülle tanımlanır:

q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}

Örneğin:

q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...
q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

a + b = c'yi sağlayan tipik bir (a, b, c) aralarında asal tam sayı üçlüsünün kalitesi q(a, b, c) < 0 olacaktır. Birinci örnekteki gibi q > 1 olan üçlüler aslında özellerdir ve küçük asal sayıların büyük üssel katlarını içerirler.

abc sanısı, herhangi bir ε > 0 için, a + b = c 'i sağlayan sonlu sayıda (a, b, c) aralarında asal pozitif tam sayı üçlüsü bulunacağını belirtir; öyle ki, q(a, b, c) > 1 + ε.

a + b = c yi sağlayan, q(a, b, c) > 1 olan sonsuz sayıda (a, b, c) aralarında asal tam sayı üçlülerinin bulundukları bilindiği halde; sanı, bunların sadece sonlu sayıdaki bir kısmının q > 1.01 ya da q > 1.001 ya da q > 1.0001, vs. olduğunu tahmin eder.

Benzer bir formülleştirme; herhangi bir ε > 0 için, bir K vardır ki,

c<K\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }

eşitsizliği sağlanır.

Bazı sonuçlar

abc sanısı henüz kanıtlanmış değil; ama bir takım ilginç sonuçları var. Bunların arasında zaten bilinen sonuçlar olduğu gibi, koşullu kanıt verdiği sanılar da bulunmakta.

Thue–Siegel–Roth teoremi (Klaus Roth tarafından kanıtlandı)
Fermat'in Son Teoremi büyük bileşenler için (Andrew Wiles tarafından kanıtlandı)
Mordell sanısı (Gerd Faltings tarafından kanıtlandı)
Erdős–Woods sanısı sonlu sayıda arşıt örenk hariç
sonsuz sayıda Wieferich asalının varlığı
Hall'ın sanısının zeyıf formu
Dirichlet L-fonksiyonu L(s, (-d/.)) Legendre sembolü ile kurulur, Siegel sıfırı yoktur.
P(x)'in x tam sayısı için sadece sonlu sayıda tam üssü vardır, öyle ki P en az üç basit sıfırlı bir polinomdur.^[1]
Tijdeman'ın teoreminin genelleştirilmesi
Granville-Langevin sanısına eştir
modifiye edilmiş Szpiro sanısına eştir.
Dąbrowski (1996) abc sanısının $n!+A=k^{2}\,$ ı kanıtladığını gösterdi, öyle ki herhangi bir A tam sayısı için sonlu sayıda çözümü vardır.^[2]

Notlar

^ "Arşivlenmiş kopya" (PDF). 5 Şubat 2009 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Mayıs 2009.
^ Andrzej Dąbrowski (1996). "On the diophantine equation $x!+A=y^{2}$ ". Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. Cilt 14. ss. 321-324.

İlgili Araştırma Makaleleri

Sayı, sayma, ölçme ve etiketleme için kullanılan bir matematiksel nesnedir. En temel örnek, doğal sayılardır. Sayılar, sayı adı (numeral) ile dilde temsil edilebilir. Daha evrensel olarak, tekil sayılar rakam adı verilen sembollerle temsil edilebilir; örneğin, "5" beş sayısını temsil eden bir rakamdır. Yalnızca nispeten az sayıda sembolün ezberlenebilmesi nedeniyle, temel rakamlar genellikle bir rakam sisteminde organize edilir, bu da herhangi bir sayıyı temsil etmenin organize bir yoludur. En yaygın rakam sistemi Hint-Arap rakam sistemidir, bu sistem on temel sayısal sembol, yani rakam kullanılarak herhangi bir negatif olmayan tam sayının temsil edilmesine olanak tanır. Sayılar sayma ve ölçme dışında, etiketlerde, sıralamada ve kodlarda kullanılmak için de sıklıkla kullanılır. Yaygın kullanımda, bir rakam ile temsil ettiği sayı net bir şekilde ayrılmaz.

Tam sayılar, sayılar kümesinde yer alan sıfır (0), pozitif yönde yer alan doğal sayılar ve bunların negatif değerlerinden oluşan negatif sayılardan oluşan sayı kümesidir.

Matematikte reel sayılar kümesi, Fransızca réel “gerçek” den gelmektedir. Oranlı sayılar kümesinin evrim sürecinden elde edilen bir varsayım kombinasyonudur. Reel sayılar kümesi $\text{[math]}$ sembolüyle gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Aritmetiğin temel teoremi</span>

Matematik'te aritmetiğin temel teoremi, aynı zamanda benzersiz çarpanlara ayırma teoremi ve asal çarpanlara ayırma teoremi olarak da adlandırılır, şunu belirtir: 1'den büyük her tamsayı, benzersiz bir şekilde asal sayıların üslerinin çarpımı olarak gösterilebilir.

<span class="mw-page-title-main">Asal sayı</span> sadece iki pozitif tam sayı böleni olan doğal sayılardır

Bir asal sayı, yalnızca 1'den büyük olup kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilemeyen bir doğal sayıdır. 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı adı verilir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır çünkü onu bir çarpım olarak ifade etmenin mümkün olan yolları, 1 × 5 veya 5 × 1, yalnızca 5 sayısını içermektedir. Ancak, 4 bir bileşik sayıdır çünkü bu, her iki sayının da 4'ten küçük olduğu bir çarpım şeklindedir. Asal sayılar, aritmetiğin temel teoreminden ötürü sayı teorisi alanında merkezi öneme sahiptir: 1'den büyük her doğal sayı, ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıralamalarından bağımsız bir şekilde, benzersiz olarak çarpanlarına ayrılabilir.

İkiz asallar, aralarındaki fark 2 olan asal sayılar. Örneğin 3-5, 5-7, 11-13 ikiz asallardır. 2-3 çifti hariç iki asal sayı arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir.

<span class="mw-page-title-main">Rasyonel sayılar</span>

Rasyonel sayılar, iki tam sayı arasındaki oranı temsil eden, bir pay $p$ ve sıfırdan farklı bir payda $q$ olmak üzere, bir bölme işlemi veya kesir formunda ifade edilebilen sayıları tanımlar. Örneğin, $\text{[math]}$ rasyonel bir sayı olarak kabul edilir, bu kapsamda her tam sayı da rasyonel sayılar kategorisindedir. Rasyonel sayılar kümesi, çoğunlukla kalın harf biçimindeki Q veya karatahta vurgusu kullanılarak $\text{[math]}$ şeklinde ifade edilir.

<span class="mw-page-title-main">Totient</span>

Totient sayılar teorisinde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile aralarında asal olan sayma sayı sayısını belirten fonksiyondur. Genellikle Euler Totient ya da Euler'in Totienti olarak adlandırılan Totient, İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından yaratılmıştır. Totient fonksiyonu, Yunan harflerinden $\text{[math]}$ ile simgelendiği için Fi fonksiyonu olarak da anılabilir.

Dizi, bir sıralı listedir. Bir küme gibi, ögelerden oluşur. Sıralı ögelerin sayısına dizinin uzunluğu denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Örneğin doğal sayılar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi sonlu olabilir. Ya da tüm çift pozitif tam sayılar gibi sonsuz olabilir.

Collatz sanısı, Lothar Collatz tarafından ortaya atılan, 1'den büyük tüm doğal sayıların 1'e indirebildiğini anlatan bir konjektür. Ancak daha kesinleşememiştir. Çünkü; 2⁶⁸ ≈ 2.951×10²⁰. sayısına kadar olan sayılar, ancak kanıtlanabildi. Bu sayı ve daha yüksekleri ise daha hâlâ matematikçiler tarafından uğraşılmaktadır.

Matematikte Riemann zeta işlevi , Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından 1859'da bulunmuş olan ve asal sayıların dağılımıyla olan ilişkisinden ötürü sayı kuramında önemli yeri bulunan seçkin bir işlevdir. İşlev; fizik, olasılık kuramı ve uygulamalı istatistikte de kullanılmaktadır.

Rabin şifreleme sistemi, Rabin kriptoloji veya Rabin kriptosistemi, güvenliği RSA'daki gibi tam sayı çarpanlarına ayırmanın zorluğu üzerine kurgulanmış olan asimetrik bir kriptografik tekniktir. Bununla birlikte, Rabin kriptosisteminin avantajı, saldırgan tam sayıları verimli bir şekilde çarpanlarına ayıramadığı sürece, seçilmiş bir düz metin saldırısına karşı hesaplama açısından güvenli olduğu matematiksel olarak kanıtlanmıştır, oysa RSA için bilinen böyle bir kanıt yoktur. Rabin fonksiyonunun her çıktısının dört olası girdiden herhangi biri tarafından üretilebilmesi dezavantajı; her çıktı bir şifreli metinse, olası dört girdiden hangisinin gerçek düz metin olduğunu belirlemek için şifre çözmede ekstra karmaşıklık gerekir.

Sayı teorisinde, asal çarpanlara ayırma bir bileşik sayının, çarpıldıklarında yine aynı sayıyı verecek şekilde, bir ve kendisi dışındaki bölenlerine ayrılmasıdır.

Matematikte, özellikle soyut cebir ve uygulamalarında, ayrık logaritma, genel logaritmanın grup kuramındaki karşılığıdır. Genel olarak bakıldığında, log_a(b) ifadesi, a^x = b ifadesinin gerçel sayılar kümesi içindeki çözümlerine karşılık gelir. Benzer olarak, g ve h sonlu devirli grup G'nin elemanları olduğunda, g^x = h ifadesinin çözümü olan x sonuçlarına h'nin g tabanındaki ayrık logaritması denir.

<span class="mw-page-title-main">Çarpanlara ayırma</span>

Çarpanlara ayırma, bir polinomun, tam sayının ya da matrisin kendisini oluşturan bileşenlerin çarpımı şeklinde yazılmasıdır. Örneğin 15 sayısı 3 ve 5 asal sayılarının çarpımı şeklinde yazılabilir: 3 × 5 ya da x² − 4 polinomu (x − 2)(x + 2) şeklinde yazılabilir.

Öklid'in teoremi, sayılar teorisinde temel bir ifade olup sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ileri sürer. Teoremin iyi bilinen farklı ispatları bulunmaktadır.

Schmidt-Samoa şifreleme, Alman araştırmacı Katja Schmidt-Samoa tarafından 2005’te oluşturulan asimetrik kriptografi yöntemidir. Bu şifrelemenin güvenilirliği Rabin'deki gibi çarpanlara ayırma probleminin zorluğuna dayanmaktadır. Bu algoritma, Rabin'in aksine şifreleme hızı pahasına, şifre çözmede belirsizlik oluşturmamaktadır.

İki tabanlı logaritma ya da ikili logaritma taban olarak 2 nin kullanıldığı bir logaritma fonksiyonudur. Logaritmada her pozitif sayı taban olarak kullanılabilir. Ama uygulamada en yaygın logaritma tabanları 10 ve e=2,718281.. dir. Bunlardan 10 tabanlı logaritmaya adi logaritma, e tabanlı logaritmaya da doğal logaritma denilir. Kimi uygulamalarda ise 2 tabanı tercih edilir. Fonksiyon $\text{[math]}$ olarak gösterilirse de $\text{[math]}$ olarak gösteren kitaplar da vardır. Bununla birlikte Rus ve Alman matematikçiler bu notasyonu 10 tabanlı logaritma için de kullandıkları için $\text{[math]}$ şeklindeki gösterim daha doğrudur.

Benaloh kriptosistemi 1994 yılında Josh (Cohen) Benaloh tarafından oluşturulan Goldwasser-Micali şifreleme sisteminin bir genişletilmesidir. Goldwasser-Micali'de bitler tek tek şifrelenirken, Benaloh Kriptosisteminde veri blokları grup olarak şifrelenmektedir. Orijinal makaledeki küçük bir hata Laurent Fousse et al. 'da düzeltilmiştir.

Möbius fonksiyonu $\text{[math]}$ , 1832 yılında Alman matematikçi August Ferdinand Möbius tarafından ortaya atılan çarpımsal bir fonksiyondur. Temel ve analitik sayılar teorisi'nde çoğunlukla kullanılan fonksiyon, genellikle Möbius inversiyon formülü'nün bir parçası olarak görülür. Gian-Carlo Rota'nın 1960'lı yıllardaki çalışmaları sonucunda $\text{[math]}$ ile gösterilen Möbius fonksiyonunun genellemeleri kombinatoriğe tanıtılmıştır.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.