Aşkın sayı

Matematikte cebirsel olmayan herhangi bir karmaşık sayıya aşkın sayı denir. Diğer bir deyişle, rasyonel katsayılı bir polinomun kökü olmayan sayılara aşkın sayı denir. Buradan, tüm aşkın sayıların irrasyonel olduğu sonucuna varılabilir. Ancak tüm irrasyonel sayılar aşkın sayı değildir, örneğin ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ irrasyoneldir, ancak ${\displaystyle x^{2}-2=0\!}$ polinomunun bir köküdür.

Sayılamaz sayıda aşkın sayı vardır. Aşağıdaki sayılar, aşkın olarak bilinir:

• Liouville sayıları (aşkın olduğu ilk ispatlananlar)
• ${\displaystyle a\neq 0}$ karmaşık bir sayı ise ya ${\displaystyle e^{a}}$ ya da ${\displaystyle a}$ aşkındır. (Lindemann-Weierstrass teoreminin sonuçlarından biri)
• İkinci maddeden dolayı ${\displaystyle \pi }$ ve ${\displaystyle e}$. (${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$ cebirsel olduğu için ${\displaystyle i\pi }$, dolayısıyla da ${\displaystyle \pi }$ aşkındır)
• ${\displaystyle e^{\pi }}$ ve ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ (Gelfond–Schneider teoreminin sonucu olarak)

Sayı sistemleri Karmaşık ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ Reel ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ Rasyonel ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ Tam sayı ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ Doğal ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ Sıfır: 0 Bir: 1 Asal sayılar Bileşik sayılar Negatif tam sayılar Kesir Sonlu ondalık sayı İkili (sonlu ikili) Devirli ondalık sayı İrrasyonel Cebirsel irrasyonel Aşkın Sanal