Açıortay teoremi

Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.

Bir ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeni düşünün. ${\displaystyle \angle A}$ açısının açıortayının ${\displaystyle B}$ ile ${\displaystyle C}$ arasındaki ${\displaystyle D}$ noktasında ${\displaystyle BC}$ kenarını kesmesine izin verin. Açıortay teoremi, ${\displaystyle BD}$ doğru parçasının uzunluğunun ${\displaystyle DC}$ parçasının uzunluğuna oranının ${\displaystyle AB}$ kenarının uzunluğunun ${\displaystyle AC}$ kenarının uzunluğuna oranına eşit olduğunu belirtir:

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},}$

ve tersine, ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin ${\displaystyle BC}$ kenarındaki ${\displaystyle D}$ noktası ${\displaystyle BC}$'yi ${\displaystyle AB}$ ve ${\displaystyle AC}$ kenarları ile aynı oranda bölerse, daha sonra ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle \angle A}$ açısının açıortayıdır.

Genelleştirilmiş açıortay teoremi, eğer ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle BC}$ doğrusu üzerinde yer alıyorsa, o zaman

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.}$

${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle \angle BAC}$'nin açıortayıysa bu ifade, önceki sürüme indirgenir. ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle BC}$ bölümünün dışında olduğunda, hesaplamada yönlendirilmiş çizgi bölümleri ve yönlendirilmiş açılar kullanılmalıdır.

Açıortay teoremi, açıortayları ve yan uzunlukları bilindiğinde yaygın olarak kullanılır. Bir hesaplamada veya bir ispatta kullanılabilir.

Teoremin doğrudan bir sonucu, bir ikizkenar üçgenin tepe açısının açıortayının aynı zamanda karşı kenarı ikiye böldüğüdür.

Yukarıdaki diyagramda, ${\displaystyle \triangle ABD}$ ve ${\displaystyle \triangle ACD}$ üçgenlerinde sinüs teoremi kullanıldığında:

   

${\displaystyle {\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle BDA}{\sin \angle BAD}}}$

(1)

   

${\displaystyle {\frac {|AC|}{|DC|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}}$

(2)

${\displaystyle \angle BDA}$ ve ${\displaystyle \angle ADC}$ açıları doğrusal bir çift oluşturur, yani bitişik bütünler açılar'dır. Bütünler açılar eşit sinüslere sahip olduğundan,

${\displaystyle {\sin \angle BDA}={\sin \angle ADC}.}$

${\displaystyle \angle BAD}$ ve ${\displaystyle \angle DAC}$ açıları eşittir. Bu nedenle, denklemlerin sağ tarafları (1) ve (2) eşittir, bu nedenle sol tarafları da eşit olmalıdır.

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},}$

bu da açıortay teoremi'dir.

${\displaystyle \angle BAD}$ ve ${\displaystyle DAC}$ açıları eşit değilse, denklemler (1) ve (2) şu şekilde yeniden yazılabilir:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD=\sin \angle BDA},}$

${\displaystyle {{\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}.}$

${\displaystyle \angle BDA}$ ve ${\displaystyle \angle ADC}$ açıları hala bütünlerdir, bu nedenle bu denklemlerin sağ tarafları hala eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:

${\displaystyle {{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ BAD={\frac {|AC|}{|DC|}}\sin \angle \ DAC},}$

bu ifade, teoremi "genelleştirilmiş" versiyona göre yeniden düzenler.

${\displaystyle D}$, ${\displaystyle BC}$ doğrusu üzerinde bir nokta olsun, ${\displaystyle B}$ veya ${\displaystyle C}$'ye eşit olmasın ve ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin bir yüksekliği olmasın (yani ${\displaystyle BD}$ doğrusuna dik olmasın).

${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle \triangle ABD}$ üçgeninin ${\displaystyle B}$ noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun ve ${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle \triangle ACD}$ üçgeninin ${\displaystyle C}$ noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun. Daha sonra, ${\displaystyle D}$ kesinlikle ${\displaystyle B}$ ile ${\displaystyle C}$ arasındaysa, ${\displaystyle B_{1}}$ veya ${\displaystyle C_{1}}$'den biri ve yalnızca biri, ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin içinde yer alır ve ${\displaystyle B_{1}}$'in genelliği kaybetmeden yaptığı varsayılabilir. Bu durum yandaki şekilde tasvir edilmiştir. ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle BC}$ segmentinin dışında yer alıyorsa, o zaman ne ${\displaystyle B_{1}}$ ne de ${\displaystyle C_{1}}$ üçgenin içinde yer alır.

${\displaystyle \angle DB_{1}B}$ ve ${\displaystyle \angle DC_{1}C}$ dik açılar iken, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle BC}$ segmentinde yer alıyorsa (yani, ${\displaystyle B}$ ve ${\displaystyle C}$ arasında) ${\displaystyle \angle B_{1}DB}$ ve ${\displaystyle \angle C_{1}DC}$ açıları eş açılardır ve dikkate alınan diğer durumlarda aynıdır, bu nedenle üçgenler ${\displaystyle \triangle DB_{1}B}$ ve ${\displaystyle \triangle DC_{1}C}$ benzerdir (AAA), yani

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.}$

${\displaystyle D}$ bir yüksekliğin tabanıysa, o zaman,

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|AB|}}=\sin \angle \ BAD{\text{ ve }}{\frac {|CD|}{|AC|}}=\sin \angle \ DAC,}$

ve genelleştirilmiş biçime ulaşılır.

Hızlı bir kanıt, ${\displaystyle A}$'daki açıortay ile oluşturulan ${\displaystyle \triangle BAD}$ ve ${\displaystyle \triangle CAD}$ üçgenlerinin alanlarının oranlarına bakılarak elde edilebilir. Bu alanları farklı formüller kullanarak iki kez hesaplamak, yani ${\displaystyle g}$ taban ve ${\displaystyle h}$ yükseklik olmak üzere ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}gh}$ şeklinde ve ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ kenarlar ve bu kenarlar arasındaki açı ${\displaystyle \gamma }$ olmak üzere ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(\gamma )}$ şeklinde hesaplamak mümkün olup istenen sonucu verecektir.

${\displaystyle h}$, tabanı ${\displaystyle BC}$ olan üçgenlerin yüksekliği ve ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$'daki açının yarısı olsun. Sonra,

${\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|BD|h}{{\frac {1}{2}}|CD|h}}={\frac {|BD|}{|CD|}}}$

ve

${\displaystyle {\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AB||AD|\sin(\alpha )}{{\frac {1}{2}}|AC||AD|\sin(\alpha )}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$

buradan da

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$

bulunur.

Eşkenar olmayan bir üçgendeki dış açıortaylar için, üçgen kenarlarının uzunluklarının oranları arasında benzer denklemler vardır. Daha doğrusu, ${\displaystyle A}$'daki dış açıortay ${\displaystyle E}$'de uzatılmış kenar ${\displaystyle BC}$ ile kesişiyorsa, ${\displaystyle B}$'deki dış açıortay ${\displaystyle D}$'de uzatılmış kenar ${\displaystyle AC}$ ile kesişir ve ${\displaystyle C}$'deki dış açı açıortay ${\displaystyle AB}$ uzatılmış kenar ile ${\displaystyle F}$'de kesişir, ardından aşağıdaki denklemler geçerli olur:^[1]${\displaystyle {\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$, ${\displaystyle {\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}}$, ${\displaystyle {\frac {|DA|}{|DC|}}={\frac {|BA|}{|BC|}}}$

Dış açıortayları ile uzatılmış üçgen kenarları ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ ve ${\displaystyle F}$ arasındaki üç kesişme noktası eşdoğrusaldır, yani bir ortak çizgi üzerindedir.^[2]

Açıortay teoremi, Öklid'in Elemanları Kitap VI'nın Önerme 3'ü olarak görünür. Heath (1956, s. 197 (cilt 2))'e göre, dış açıortay için karşılık gelen ifade Robert Simson tarafından verildi ve Pappus bu sonucu kanıt olmadan doğru varsaydı. Heath, Augustus De Morgan'ın iki ifadenin aşağıdaki gibi birleştirilmesini önerdiğini söyler:^[3]

• G.W.I.S Amarasinghe (2012), "On the Standard Lengths of Angle Bisectors and the Angle Bisector Theorem", Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 1 (1), ss. 15-27, 13 Ocak 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi 

• "A Property of Angle Bisectors". Cut-the-Knot. 24 Kasım 2005 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
• "Intro to angle bisector theorem". Khan Academy. 14 Kasım 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi.