Sayı, sayma, ölçme ve etiketleme için kullanılan bir matematiksel nesnedir. En temel örnek, doğal sayılardır. Sayılar, sayı adı (numeral) ile dilde temsil edilebilir. Daha evrensel olarak, tekil sayılar rakam adı verilen sembollerle temsil edilebilir; örneğin, "5" beş sayısını temsil eden bir rakamdır. Yalnızca nispeten az sayıda sembolün ezberlenebilmesi nedeniyle, temel rakamlar genellikle bir rakam sisteminde organize edilir, bu da herhangi bir sayıyı temsil etmenin organize bir yoludur. En yaygın rakam sistemi Hint-Arap rakam sistemidir, bu sistem on temel sayısal sembol, yani rakam kullanılarak herhangi bir negatif olmayan tam sayının temsil edilmesine olanak tanır. Sayılar sayma ve ölçme dışında, etiketlerde, sıralamada ve kodlarda kullanılmak için de sıklıkla kullanılır. Yaygın kullanımda, bir rakam ile temsil ettiği sayı net bir şekilde ayrılmaz.
Doğal sayılar, 
şeklinde sıralanan tam sayılardır ve kimi tanımlamalara göre 0 sayısı da bu kümeye dâhil edilebilir. Aralarında standart ISO 80000-2'nin de bulunduğu bazı tanımlar doğal sayıları 0 ile başlatır ve bu durum negatif olmayan tam sayılar için 0, 1, 2, 3, ... şeklinde bir karşılık bulurken, bazı tanımlamalar 1 ile başlamakta ve bu da pozitif tam sayılar için 1, 2, 3, ... şeklinde bir eşlenik oluşturur. Doğal sayıları sıfır olmadan ele alan metinlerde, sıfırın da dahil edildiği doğal sayılar bazen tam sayılar olarak adlandırılırken diğer bazı metinlerde bu terim, negatif tam sayılar da dahil olmak üzere tam sayılar için kullanılmaktadır. Özellikle ilkokul seviyesindeki eğitimde, doğal sayılar, negatif tam sayıları ve sıfırı dışlamak ve saymanın ayrık yapısını, gerçek sayıların bir karakteristiği olan ölçümün sürekliliğiyle karşıtlık oluşturmak amacıyla sayma sayıları olarak adlandırılabilir.
Modeller kuramı, matematiksel konseptleri küme kuramı temelinde inceleyen ya da başka bir deyişle matematiksel sistemlerin dayandığı modelleri araştıran matematik dalıdır. Modeller kuramı, 'dış dünyada' matematiksel nesnelerin var olduğunu varsayar ve nesneler, nesneler arasında bazı işlemler ya da bağıntılar ve bir aksiyomlar kümesi verildiğinde, nelerin nasıl tanıtlanabileceğine ilişkin sorular sorar.
Matematiksel ispat, matematiksel bir ifade için türetilmiş varsayımların mantıksal olarak doğru olduğu sonucunu garantileyen, çıkarımsal bir argümandır. Argüman, teoremler gibi önceden oluşturulmuş diğer ifadeleri kullanabilir; lakin prensipte her delil, kabul edilen çıkarım kurallarıyla birlikte yalnızca aksiyom olarak bilinen belirli temel veya orijinal varsayımlar kullanılarak oluşturulabilir.
Matematiksel tümevarım bir önermenin, genellikle tüm doğal sayılar için ya da bazen sonsuz bir sıranın tüm elemanları için, doğru olduğunu göstermek üzere kullanılan bir matematiksel kanıtlama yöntemidir. Matematiksel mantık ve bilgisayar bilimlerinde kullanılan daha genel bir tanıtlama biçimi değerlendirilebilen (hesaplanabilen) ifadelerin denk olduğunu gösterir. Buna yapısal tümevarım denir.
Matematikte, bir S kümesinin boş olmayan her altkümesi için, en küçük bir eleman tanımlayan tam sıralara, S kümesi üzerinde tanımlı bir iyi-sıra denir. İyi-sıralılık özelliğine sahip bir S kümesi iyi sıralı bir kümedir.
Sayılabilirlik, bir kümedeki eleman sayısıyla doğal sayılar arasında birebir eşleme kurulabilme durumu.
Öklid geometrisi, İskenderiyeli Yunan matematikçi Öklid’e atfedilen matematiksel bir sistemdir ve onun Elemanlar adlı geometri üzerine ders kitabında tarif edilmektedir. Öklid'in yöntemi, sezgisel olarak çekici küçük bir aksiyom seti varsaymaktan ve bu aksiyomlara dayanarak birçok başka önermeyi (teoremleri) çıkarmaktan ibarettir. Öklid'in sonuçlarının çoğu daha önceki matematikçiler tarafından ifade edilmiş olsa da, Öklid, bu önermelerin kapsamlı bir tümdengelimli ve mantıksal sisteme nasıl uyabileceğini gösteren ilk kişi oldu. Elemanlar, ilk aksiyomatik sistem ve resmi ispatın ilk örnekleri olarak ortaokulda (lise) hala öğretilen düzlem geometrisi ile başlar. Üç boyutlu katı geometrisi ile devam ediyor. Elemanlar’ın çoğu, geometrik dilde açıklanan, şimdi cebir ve sayı teorisi olarak adlandırılan şeyin sonuçlarını belirtir.
Peano aksiyomları, doğal sayılar kümesinin tanımını vermekte kullanılan, Giuseppe Peano ve Julius Wilhelm Richard Dedekind tarafından ortaya konmuş dört temel ve bir yardımcı aksiyomdur. Bu aksiyomlar:
Matematikte oluşturarak tanıtlama istenen özelliğe sahip somut bir örnek oluşturularak ya da böyle bir nesneyi oluşturma yöntemi verilerek, istenen özellikte bir matematiksel nesnenin var olduğunun tanıtlandığı bir yöntemdir. Bu yöntem, belirli özelliklere sahip olan matematiksel bir nesnenin var olduğunu tanıtlayan fakat bu nesnenin bir örneğini oluşturmak için yol göstermeyen oluşturmacı olmayan tanıtlama yöntemine karşıttır.
Batı felsefesi MÖ 6. yüzyılda Antik Yunan'da başladı. Sokrates öncesi filozoflar çoğunlukla Yunan dünyasının batı veya doğu çevrelerindendiler. Felsefi projeleri asıl, nihai ilkeyi bulmaya ve dış dünyanın doğasını çözmeye yönelikti. Şeylerin maddi ilkesini, kökenlerini ve yok oluşlarını algılamaya çalıştılar. İlk düşünürler olarak şeylerin ussal birliğini vurgulayarak dış dünyanın mitolojik açıklamalarını reddettiler. Cevap aradıkları başlıca meseleler şunlardır:
- Her şey nereden geliyor?
- Her şeyin yaratılış kaynağı nedir?
- Doğada bulunan şeylerin çoğul oluşlarını nasıl açıklarız?
- Matematiksel olarak doğayı nasıl tanımlarız?
Dizi, bir sıralı listedir. Bir küme gibi, ögelerden oluşur. Sıralı ögelerin sayısına dizinin uzunluğu denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Örneğin doğal sayılar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi sonlu olabilir. Ya da tüm çift pozitif tam sayılar gibi sonsuz olabilir.
Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.
Sonsuz, eski Yunanca Lemniscate kelimesinden gelmektedir, çoğunlukla matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan şeyleri ve sayıları tarif etmekte kullanılan soyut bir kavramdır.
Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, çalışmalarının matematiğin temelleri üzerinde büyük etkileri olan bir Alman mantıkçı ve matematikçiydi. Zermelo–Fraenkel aksiyomatik küme teorisini geliştirmedeki rolü ve iyi-sıralılık ilkesi için kanıtıyla tanınır. Ayrıca, 1929'da satranç oyuncularını sıralama üzerine çalışması, ikili karşılaştırma için bu yöntemi kullanan çeşitli uygulamalı alanlar üzerinde derin bir etkisi olmaya devam eden bir modelin ilk tanımıdır.
Sıra teorisi, ikili bağıntıları kullanma sırasının sezgisel kavramını inceleyen bir matematik dalıdır. "Bu, şundan daha küçüktür" veya "bu, şundan daha öncedir" gibi durumları inceler.
Alef sayıları, matematikte, daha ayrıntılı söylemek gerekirse kümeler teorisinde, iyi sıralı olabilen sonsuz kümelerin kardinalitesini göstermek için kullanılan sayılardır. Alef sayısı ismini sembolünden, İbranice alef harfinden alır. Bazı eski matematik kitaplarında yanlışlıkla alef sembolü ters basılmıştır.
Makalenin kısa özeti; farklı nesnelerin koleksiyonları olarak kümeler hakkında konuşur, matematikte birçok kullanımları olduğunu ve matematiğin set teorisinde kodlanabileceğini ve matematiğin çoğunu yapmak için yeterince küme teorisinin aksiyomatize edilebileceğini belirtir. Konunun aksiyomları veya amaçlanan yorumu ile tanımlanıp tanımlanmadığı konusunda tarafsız kalır. Antinomilerden bahsedilirse, aksiyomatizasyonun çözüm olduğunu iddia etmemeli, ancak bazılarının onları aksiyomatizasyon ile çözüldüğünü, diğerleri de kümülatif hiyerarşi ile değerlendirdiğini belirtmelidir. -> 
Venn diyagramı, ikisinin set matematik Kümeleri. Küme teorisi, gayri resmi olarak nesne koleksiyonları olan matematiksel mantığın ' kümeleri üzerinde çalışan bir dalıdır. Herhangi bir nesne türü bir kümede toplanabilse de, küme teorisi çoğunlukla matematikle ilgili nesnelere uygulanır. Küme teorisinin dili neredeyse tüm matematiksel nesne leri tanımlamak için kullanılabilir.
Matematikte Arşimet dışı geometri, Arşimet aksiyomunun reddedildiği geometri biçimlerinin adıdır. Dehn düzlemi bu geometrilerin bir örneğidir. Bu örnekten de anlaşılabileceği üzere, Arşimet dışı geometriler Öklid geometrisinden önemli ölçüde farklı özelliklere sahip olabilir.
Matematikte seçim aksiyomu, küme teorisinde kullanılan bir aksiyomdur.
