İntegral geometri - Turkipedia

Matematikte, integral geometri, belirli bir uzayın simetri grubu altındaki geometrik uzay değişmezi üzerindeki ölçü teorisidir. Daha yakın zamanlarda, anlam, bir geometrik uzaydaki fonksiyon uzayından başka bir geometrik uzaydaki fonksiyon uzayına değişmeyen (veya eşdeğer olan) dönüşümlerin bir görünümünü içerecek şekilde genişletildi. Bu tür dönüşümler genellikle Radon dönüşümü ve genellemeleri gibi integral dönüşümlerin biçimini alır.

Klasik bağlam

İntegral geometri ilk olarak geometrik olasılık teorisinin belirli ifadelerini iyileştirme girişimi olarak ortaya çıktı. Luis Santaló^[1] ve Wilhelm Blaschke'nin^[2] ilk çalışmaları bu bağlamdaydı. Bir düzlem eğrisinin uzunluğunu rastgele bir çizgi ile kesişme sayısının bir beklentisi olarak ifade eden klasik Crofton teoreminden kaynaklanır. Burada "rastgele" kelimesi, doğru simetri değerlendirmelerine tabi olarak yorumlanmalıdır.

Düzlemin afin grubunun etki ettiği bir örnek çizgi uzayı vardır. Simetri grubu altında değişmeyen bu uzayda bir olasılık ölçüsü aranır. Bu durumda olduğu gibi, böyle benzersiz bir değişmez ölçü bulabilirsek, o zaman bu, 'rastgele doğrunun' ne anlama geldiğini doğru bir şekilde formüle etme problemini çözer ve beklentiler bu ölçüye göre integral olur. (Örneğin, 'bir çemberin rastgele kirişi' ifadesinin bazı paradokslar oluşturmak için kullanılabileceğini unutmayın - örneğin Bertrand paradoksu.)

Bu nedenle integral geometrinin, Klein'ın Erlangen programı bağlamında olasılık teorisinin (Kolmogorov tarafından aksiyom haline getirildiği üzere) uygulaması olduğunu söyleyebiliriz. Teorinin içeriği, Lie gruplarının (tercihen tıkız) homojen uzayları üzerindeki değişmez (pürüzsüz) ölçümlerin etkili bir şekilde olması ve diferansiyel formların integrallerinin değerlendirilmesidir.^[3]

Buffon'un iğnesi problemi çok meşhur bir durumdur: kalaslardan yapılmış bir zemine bir iğne bırakın ve iğnenin bir çatlak üzerine denk gelme olasılığını hesaplayın. Genelleme, bu teori geometrik ve sıklık sorularıyla ilgili çeşitli stokastik süreçlere uygulanır. Bkz. Stokastik geometri.

İntegral geometri formundaki en ilginç teoremlerden biri, Öklid ortamında Hadwiger teoremidir. Daha sonra Hadwiger-tipi teoremler, değerleme teorisindeki gelişmiş araçlar kullanılarak, özellikle Hermityen geometride olmak üzere çeşitli ortamlarda oluşturuldu.

İntegral geometrinin daha yeni anlamı Sigurdur Helgason^[4]^[5] ve Israel Gelfand'ın tanımladıkları anlamıdır.^[6] Daha spesifik olarak, Radon dönüşümü üzerine modellenen integral dönüşümlerle ilgilenir. Burada altta yatan geometrik geliş ilişkisi (Crofton örneğinde çizgiler üzerinde uzanan noktalar), geliş grafiğine geri çekilme ve daha sonra ileri itme olarak oluşturulmuş integral bir dönüşümün yeri olarak daha özgür bir ışıkta görülür.

Notlar

^ Luis Santaló (1953), Introduction to Integral Geometry, Paris: Hermann
^ Wilhelm Blaschke (1955), Vorlesungen über Integralgeometrie, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
^ Luis Santaló (1976), Integral Geometry and Geometric Probability, Addison-Wesley, doi:10.1002/zamm.19790590633, ISBN 0201135000
^ Sigurdur Helgason (2000), Groups and Geometric Analysis: integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions, American Mathematical Society, ISBN 0821826735
^ Sigurdur Helgason (2011), Integral Geometry and Radon Transforms, Springer, ISBN 9781441960542
^ I. M. Gel’fand (2003), Selected Topics in Integral Geometry, American Mathematical Society, ISBN 0821829327

Kaynakça

Shushurin, S.F (2001), "Integral geometry", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Matematik</span> nicelik, yapı, uzay ve değişim gibi konularla ilgilenen bilim dalı

Matematik ; sayılar, felsefe, uzay ve fizik gibi konularla ilgilenir. Matematikçiler ve filozoflar arasında matematiğin kesin kapsamı ve tanımı konusunda görüş ayrılığı vardır.

Öklid geometrisi, İskenderiyeli Yunan matematikçi Öklid’e atfedilen matematiksel bir sistemdir ve onun Elemanlar adlı geometri üzerine ders kitabında tarif edilmektedir. Öklid'in yöntemi, sezgisel olarak çekici küçük bir aksiyom seti varsaymaktan ve bu aksiyomlara dayanarak birçok başka önermeyi (teoremleri) çıkarmaktan ibarettir. Öklid'in sonuçlarının çoğu daha önceki matematikçiler tarafından ifade edilmiş olsa da, Öklid, bu önermelerin kapsamlı bir tümdengelimli ve mantıksal sisteme nasıl uyabileceğini gösteren ilk kişi oldu. Elemanlar, ilk aksiyomatik sistem ve resmi ispatın ilk örnekleri olarak ortaokulda (lise) hala öğretilen düzlem geometrisi ile başlar. Üç boyutlu katı geometrisi ile devam ediyor. Elemanlar’ın çoğu, geometrik dilde açıklanan, şimdi cebir ve sayı teorisi olarak adlandırılan şeyin sonuçlarını belirtir.

Diferansiyel geometri türevin tanımlı olduğu Riemann manifoldlarının özellikleriyle uğraşan matematiğin bir alt disiplinidir. Başka bir deyişle, bu manifoldlar üzerindeki metrik kavramlarla uğraşır. Eğrilik, eğriler için burulma ve yüzeyler için değişik eğrilikler, araştırılan özellikler arasındadır.

Fizikte eşbakışım (simetri), herhangi bir gözlenebilir büyüklük düşünüldüğünde belirli dönüşümler altında sistemin bazı özelliklerin değişmeyişini anlatır. Bir fizik siteminin eşbakışımı sistemin fizik veya matematik ile ilgili gözlemlenebilir veya içsel ve bazı etkenlerin değişmesi altında değişmeyen bir özelliğini ifade eder.

Ayar teorisi veya ayar kuramı, kuramsal fizikte temel etileşmeleri açıklar. Türkçede bazen yerelleştirilmiş bakışım kuramı olarak da geçer.

Integral geometride, Hadwiger teoremi Rⁿ içinde dışbükey cisim üzerinde değerleri karakterize ederler. Bu Hugo Hadwiger tarafından sağlandı.

Projektif geometride, Desargues teoremi, adını Girard Desargues'den alır, şunu belirtir:

İki üçgen, ancak ve ancak merkezi olarak perspektif içindeyse eksenel olarak perspektif içindedir.

Tarih boyunca matematiğin konu çeşitliliği ve derinliği artmaktadır, matematiği kavrama, birçok konuyu matematiğin daha genel alanlarına göre sınıflandırma ve düzenleme için bir sistem gerektirir. Bir dizi farklı sınıflandırma şeması ortaya çıkmıştır ve bazı benzerlikleri paylaşsalar da, kısmen hizmet ettikleri farklı amaçlara bağlı olarak farklılıkları vardır. Ek olarak, matematik geliştirilmeye devam ettikçe, bu sınıflandırma şemaları da yeni oluşturulan alanları veya farklı alanlar arasında yeni keşfedilen bağlantıları dikkate alacak şekilde değişmelidir. Farklı alanlar arasındaki sınırı aşan, genellikle en aktif olan bazı konuların sınıflandırılması daha zor hale gelir.

Stokastik süreç, Stokastik işlemi, zaman veya mekana göre değişen/evrilen olguları tanımlamak için kullanılan bir olasılık modelidir. Daha kapsamlı olarak, olasılık teorisinde, stokastik süreç, değişimi rastgele bir varyasyona bağlı olan bir değişken tarafından temsil edilen bazı sistemlerin gelişimini yansıtan bir zaman dizisidir. Bu, belirleyici süreç anlamına gelen deterministik sürecin olasılıkçı muadilidir. Sadece tek yönlü olarak değişebilen bir süreci tasvir etmek yerine bir stokastik veya rastgele süreçte, bazı belirsizlikler vardır. Hatta başlangıçtaki durum biliniyor olsa dahi sürecin gelişebileceği/değişebileceği bazı yönler vardır. Birçok stokastik süreçte, bir sonraki duruma veya konuma geçiş, yalnızca mevcut duruma bağlıdır ve işlemin önceki durumlarından veya değerlerinden bağımsızdır.

Geometride, Barbier teoremi, kesin şekli ne olursa olsun, sabit genişliğe sahip her eğrinin çevresinin, genişliğinin $π$ katı olduğunu belirtir. Bu teorem, ilk olarak Joseph-Émile Barbier tarafından 1860'ta yayınlandı.

Bu sayfa teoremlerin bir listesidir. Ayrıca bakınız:

Sonlu basit grupların sınıflandırılması
Temel teoremlerin listesi
Yardımcı teoremler listesi
Varsayımların listesi
Eşitsizliklerin listesi
Matematiksel kanıtların listesi
Yanlış adlandırılmış teoremlerin listesi

<span class="mw-page-title-main">Matematikte simetri</span> matematikte simetri kavramı

Simetri yalnızca geometride değil, matematiğin diğer dallarında da ortaya çıkar. Simetri bir tür değişmezliktir: matematiksel bir nesnenin bir dizi işlem veya dönüşüm altında değişmeden kaldığı özelliktir.

<span class="mw-page-title-main">Felix Klein</span> Alman matematikçi, Erlangen Programının yazarı (1849-1925)

Christian Felix Klein, grup teorisi, karmaşık analiz, Öklid dışı geometri ve geometri ile grup teorisi arasındaki ilişkiler üzerine yaptığı çalışmalarla tanınan Alman matematikçi ve matematik eğitimcisi. Klein'ın geometrileri temel simetri gruplarına göre sınıflandıran 1872 Erlangen programı, döneminin matematiğinin büyük kısmının etkili bir senteziydi.

Matematikte, dönüşüm geometrisi veya dönüşümsel geometri, geometrik dönüşüm gruplarına ve bunların içindeki değişmez özelliklere odaklanarak geometri çalışmalarına verilen matematiksel ve pedagojik yaklaşımın adıdır. Teoremleri ispatlamaya odaklanan Öklid geometrisinin klasik sentetik geometri yaklaşımına karşıdır.

Matematiksel analizde, küme üzerindeki bir ölçü, bu kümenin her bir uygun alt kümesine bir sayı atamanın sistematik bir yoludur ve sezgisel olarak kümenin boyutu olarak yorumlanır. Bu anlamda ölçü, uzunluk, alan ve hacim kavramlarının bir genellemesidir. Özellikle önemli bir örnek, Öklid geometrisinin geleneksel uzunluğunu, alanını ve hacmini $n$ -boyutlu Öklid uzayının $R n$ uygun alt kümelerine atayan bir Öklid uzayındaki Lebesgue ölçüsüdür. Örneğin, gerçek sayılardaki $[0, 1]$ aralığının Lebesgue ölçüsü, kelimenin günlük anlamındaki uzunluğudur ve tam olarak 1'dir.

Tarihte birleşik bir matematik teorisine ulaşmak için çeşitli girişimlerde bulunulmuştur. En büyük matematikçilerden bazıları, tüm konunun tek bir teoriye sığdırılması gerektiği görüşünü dile getirdiler.

Bu Rus matematikçiler listesi, Rusya İmparatorluğu, Sovyetler Birliği ve Rusya Federasyonu'ndan ünlü matematikçileri içermektedir.

Geometri, şekil, boyut, şekillerin göreceli konumu ve uzayın özellikleri ile ilgili sorularla ilgilenen bir matematik dalıdır. Geometri, en eski matematiksel bilimlerden biridir.

Bu liste saf matematikte ve fizikte bulunan eşitsizliklerin bir listesidir.

Matematikte Radon-Nikodym teoremi, aynı ölçülebilir uzayda tanımlanmış iki ölçü arasındaki ilişkiyi ifade eden bir sonuçtur. Burada ölçü ile kastedilen ölçülebilir bir uzayın ölçülebilir alt kümelerine tutarlı bir büyüklük atayan bir küme fonksiyonudur. Ölçü örnekleri arasında alan ve hacim verilebilir.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.